湖南省教育战略合作学校2025-2026学年高三上学期第二次联考数学试题

试卷更新日期：2026-01-18 类型：月考试卷

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合 $A = \{x | \log_{2} x < 1\}$ ，则 $∁_{R} A =$ （）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$

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2. 设复数 $z^{2} = 2 i$ ，则z在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第一、三象限 D、第二、四象限

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3. 已知 $\{a_{n}\}$ 是各项均为正数的等比数列，设其前n项和为 $S_{n}$ ，若 $4 a_{2}, a_{4}, 2 a_{3}$ 成等差数列，则 $\frac{S_{6}}{S_{3}} =$ （）

A、9 B、2 C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{1}{9}$

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4. 已知圆锥的母线长l为5，体积V为 $1 2π$ ，底面半径r，高为 $h (r < h)$ ，该圆锥的表面积为（）

A、 $15 π$ B、 $20 π$ C、 $24 π$ D、 $30π$

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5. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，且 $\vec{a} + \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为单位向量，则 $|\vec{b}| =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、3 D、2

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6. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x - \frac{π}{3}) - m$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上恰有两个不同的零点 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $\cos (x_{1} - x_{2})$ 的值可能为（）

A、0 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{7}{8}$ D、1

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7. 若曲线 $y = \ln x - m$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = 2$ 恰有一个公共点，则实数m的值为（）

A、e B、2 C、 $\frac{e}{2}$ D、1

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8. 已知双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1} 、 F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l_{1} : x + y + 2 = 0$ 与双曲线的左支交于A、B两点，若 $∠ A F_{2} B$ 的角平分线为 $l_{2} : x + 7 y - 2 = 0$ ，与直线 $l_{1}$ 交于点D， $△ A F_{2} B$ 的内切圆圆心为C，则 $\tan ∠ D C F_{1}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、2

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二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9. 已知实数x，y满足 $1 \leq x + y \leq 3, 0 \leq x - y \leq 1$ ，则下列说法正确的有（）

A、x的取值范围为 $[\frac{1}{2}, 2]$ B、y的取值范围为 $[0, 1]$ C、 $x + \frac{4}{x}$ 的取值范围为 $[2, 5]$ D、 $e^{x} (e^{y} - e^{- y})$ 的取值范围为 $[0, e^{3} - 1]$

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10. 在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为2的正三角形，侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 是菱形，且 $∠ A B B_{1} = 60 °$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $D$ 为 $A B$ 的中点， $E, F$ 分别是 $B_{1} C_{1}, A_{1} C_{1}$ 的动点，满足 $\vec{B_{1} E} = λ \vec{B_{1} C_{1}}$ ， $\vec{A_{1} F} = μ \vec{A_{1} C_{1}}$ ， $(0 < λ, μ < 1)$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $λ = μ$ 时，直线 $E F //$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ B、三棱锥 $C - A B B_{1}$ 的外接球表面积为 $\frac{28}{3} π$ C、若 $λ + μ = 1$ ，且 $E F ⊥ B_{1} C_{1}$ ，则 $λ = \frac{3}{4}, μ = \frac{1}{4}$ D、当 $λ = \frac{1}{2}, μ = \frac{1}{3}$ 时，三棱锥 $C - A E F$ 的体积为 $\frac{1}{2}$

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11. 设离散型随机变量 $ξ$ 的取值为1，2，3，…，99，且 $P (ξ = k) = a_{k} (k = 1, 2, 3, \dots, 99)$ ，则（）

A、当数列 $\{a_{k}\}$ 为等差数列时， $a_{50} = \frac{1}{99}$ B、数列 $\{a_{k}\}$ 的通项公式可能为 $a_{k} = \frac{1}{9 (\sqrt{k} + \sqrt{k + 1})}$ C、当数列 $\{a_{k}\}$ 满足 $a_{k} = \frac{1}{2^{k}} (k = 1, \dots, 98)$ 时， $a_{1} \cdot a_{2} \dots a_{99} = \frac{1}{2^{4950}}$ D、当数列 $\{a_{k}\}$ 满足 $P (ξ \leq k) = k^{2} a_{k} (k = 1, 2, \dots, 99)$ 时， $a_{1} = \frac{50}{99}$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12. ${(2 x - \frac{1}{y})}^{5}$ 的二项展开式中的第3项的系数为．

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13. 若 $\sin 2 α = 2 \sin 2 β$ ，则 $\frac{\tan (α + β)}{\tan (α - β)}$ 的值为．

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14. 已知函数 $f (x) = x^{2} - (a + 3) x + 2 a + 3$ 的图象总在 $g (x) = - e^{4 - x}$ 的图象的上方，则实数a的取值范围是．

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四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

15. 记 $△ A B C$ 内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $2 \sin B - \cos C = \frac{\sin C}{\tan A}$ ．

(1)、求A的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 为锐角三角形，且 $a = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的取值范围．

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16. 现有6个除颜色外大小和形状完全相同的小球，其中3个红球，3个白球．甲同学将这6个小球全部分配到一号和二号盒子中，分配完成后，乙先随机选一个盒子，再从选中的盒子中随机摸1个球，试验结束．

(1)、若甲在一号盒子中放置了2个红球和1个白球，求乙摸到红球的概率；

(2)、甲应该如何分配这些球，才能使乙摸到红球的概率最大，说明理由并求出此时概率的最大值．

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17. 四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ B A D = 60 °$ ， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = 2$ ，点 $E, F$ 分别是 $B C, P D$ 的中点．

(1)、若过点 $A, E, F$ 的平面交 $P C$ 于点 $G$ ，求 $\frac{P G}{G C}$ 的值；

(2)、在棱 $P C$ 上取一点 $H$ ，使得 $P D ⊥$ 平面 $A H F$ ，求面 $A F H$ 与面 $E F H$ 夹角的余弦值．

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18. 已知函数 $f (x) = e^{x} - a \ln x - a$ ，其中 $a \in R$ ， $e$ 为自然对数的底数．

(1)、当 $a = e$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，证明：对于任意的 $x \in (1, + \infty)$ ，都有 $f (x) > \frac{1}{2} x^{2} - x + 1$ ；

(3)、若函数 $f (x)$ 存在极小值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) \geq 0$ ，求a的取值范围．

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19. 已知圆 $F_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ ，圆 $F_{2} : x^{2} + {(y + 1)}^{2} = 9$ ．若动圆C与圆 $F_{1}$ 外切，且与圆 $F_{2}$ 内切，设圆心C的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、已知双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{4} = 1$ ，过其右顶点A作直线 $l_{1}$ 分别交曲线E和双曲线 $Γ$ 于点 $M, N$ （异于点A），作直线 $l_{2}$ 分别交曲线E和双曲线Γ于点 $P, Q$ （异于点A），设直线 $M Q$ 与直线 $N P$ 交点为H，
（ⅰ）求证：点 $M, N$ 的横坐标乘积为定值，并求出该定值．
（ⅱ）求证：点H在定直线上，并求出该定直线的方程．

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