河北省张家口市2026届高三上学期期末教学质量监测数学试题

试卷更新日期：2026-01-10 类型：期末考试

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一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知复数 $z = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i$ （ $i$ 是虚数单位）的共轭复数为 $\bar{z}$ ，则 $z \cdot \bar{z} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2}$ B、 $1$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- 1$

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2. 已知集合 $U = R, A = \{x ||x - 2| > 3\}$ ，则 $∁_{U} A =$ （）

A、 $(- \infty, - 1) \cup (5, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 1]\cup[5, + \infty)$ C、 $(- 1, 5)$ D、 $[- 1, 5]$

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3. 双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的渐近线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ 或 $\frac{5 π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ 或 $\frac{3 π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{12}$ 或 $\frac{7 π}{12}$

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4. 已知函数 $f (x) = |tan (3 x + \frac{π}{3})|$ 图象的对称轴为直线 $x = a$ ，其中 $a > 0$ ，则 $a$ 的最小值为（）

A、 $\frac{π}{18}$ B、 $\frac{π}{9}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$

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5. 已知直线 $l ： x - 2 y + 4 = 0$ 的倾斜角为 $α$ ，直线 $l$ 与 $y$ 轴的交点为点 $A$ ， $l$ 绕点 $A$ 顺时针方向旋转 $45 °$ 得到直线 $l_{1}$ ， $l_{1}$ 与 $x$ 轴的交点为点 $B$ ，则点 $B$ 的坐标是（）

A、 $(\frac{2}{3}, 0)$ B、 $(8, 0)$ C、 $(4, 0)$ D、 $(6, 0)$

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6. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, \frac{n + 1}{a_{n + 1}} = \frac{n + 2 a_{n}}{a_{n}}$ ，则数列 $\{\frac{n}{a_{n}}\}$ 的前10项和为（）

A、9 B、10 C、100 D、99

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7. 已知甲、乙、丙、丁四名学生利用假期的某周周一到周五去敬老院参加志愿者活动，每天去一人，且甲参加两天活动，其余三名学生每人一天，则安排甲不在相邻两天做志愿者的概率为（）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{4}{5}$

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8. 已知实数 $a ， b ， c$ 满足 $2^{\frac{1}{2} - a} = 3^{\frac{1}{3} - b} = 7^{\frac{1}{7} - c}$ ，则下列关系一定不成立的是（）

A、 $a < b < c$ B、 $b < c < a$ C、 $c = a < b$ D、 $c < a < b$

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二、选择题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，不选或有选错的得0分．

9. 下列命题中的真命题是（）

A、数据：1，2，3，4，5，6，7，8，9，11的 $90 %$ 分位数是10 B、已知 $m = (x, 1), n = (y, - 1)$ ，命题“ $\exists x, y > 0$ ，使 $m, n$ 平行”的否定是“ $\forall x, y > 0$ ， $m, n$ 平行” C、设 $a, b \in R$ ，则“ $|a| > b$ ”是“ $a > b$ ”成立的必要不充分条件 D、奇函数 $f (x) = x - \frac{1}{x}$ 在定义域上单调递增

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10. 已知动直线 $l : x = m y + 1$ 经过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ ，与 $C$ 交于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点，则下列结论正确的是（）

A、 $p = 1$ B、 $|M N|$ 的最小值为4 C、抛物线 $C$ 在 $M, N$ 处的切线的交点在准线上 D、当直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{2 π}{3}$ 时， $△ O M N$ 是等腰三角形

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11. 已知动圆 $C ： {(x - x_{0})}^{2} + {(y - y_{0})}^{2} = 4$ 的圆心 $C (x_{0}, y_{0})$ 在曲线 $y = e^{x}$ 上运动， $O$ 是原点，则下列结论正确的是（）

A、存在两个不同的实数 $x_{0}$ 满足圆 $C$ 经过点 $O$ B、若圆 $C$ 被直线 $y = e x$ 平分，则圆心的坐标为 $(1, e)$ C、当 $x_{0} > 0$ 时，存在某个位置使得圆 $C$ 被两条坐标轴截得的弦长相等 D、若点 $M$ 在圆 $C$ 上运动，点 $N$ 在直线 $y = x - 3$ 上运动，则 $|M N|$ 的最小值为 $2 \sqrt{2} - 2$

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三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．

12. 在 ${(x^{2} - \frac{2}{x})}^{5}$ 的二项展开式中， $x^{- 2}$ 的系数为（用数字作答）．

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13. 某大型购物商场为吸引顾客设置购物抽奖活动，顾客消费满一定金额后可以参加抽奖活动，抽奖规则是：从一个装有6个大小、形状、质地完全相同的小球（2个红球、4个白球）的不透明盒子中每次随机抽取1个球，记下颜色后放回，摇匀后进行下一次抽取，每名顾客一共有4次抽奖机会，若前3次都抽到红球，则不需要抽第4次，根据抽出的红球数计算奖次．记 $X$ 为抽到红球的次数，则 $P (X = 3) =$ ．

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14. 在一个半径 $R = 4$ 的大球内放入 $n$ 个半径均为 $r_{n}$ 的小球，若 $n = 2$ ，则 $r_{2}$ 的最大值为；若 $n = 4$ ，则 $r_{4}$ 的最大值为．

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四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

15. 已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 2$ ，且 $a_{1} = 1$ ．

(1)、求 $a_{2} ， a_{3}$ 的值；

(2)、证明数列 $\{a_{n} + 2\}$ 为等比数列；

(3)、求数列 $\{n (a_{n} + 2)\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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16. 某省为了解高中生对足球赛事的了解情况，特地举办了一次足球常识问卷调查，问卷的满分为100分，统计结果显示，学生成绩 $X \sim N (70 ， σ^{2})$ ，不低于60分为及格，高于80分为优秀，且优秀率为20%．根据某高中学校参加问卷的90名学生的调查结果，得到如下列联表：
性别
关注足球赛事
不关注足球赛事
合计
男
55
5
60
女
20
10
30
合计
75
15
90

(1)、根据小概率值 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析该校学生对足球赛事的关注是否与性别有关；

(2)、在这90名学生中随机抽取一名，记事件 $A$ 表示抽到“学生关注足球赛事”，事件 $B$ 表示抽到“学生是女生”，求 $P (A \cup B)$ 及 $P (B ∣ A)$ 的值；

(3)、从全省参与调查的学生中随机选出5人，这5人中及格的人数记作 $Y$ ，求 $Y$ 的期望 $E (Y)$ 与方差 $D (Y)$ ．
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
常用的小概率值和相应的临界值：
$α$
0.05
0.01
0.001
$x_{0}$
3.841
6.635
10.828

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17. 已知在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a ， b ， c$ ，且 $a = 2 ， sin B = 2 sin C$ ．

(1)、若 $A = 2 C$ ，求 $△ A B C$ 的外接圆的半径；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + b x^{2} (a, b \in R)$ ．

(1)、当 $a = 1 ， b = 0$ 时，
（i）求 $f (x)$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；
（ii）过原点 $O (0, 0)$ 向 $f (x)$ 的图象作切线，求该切线的方程；

(2)、若 $b = - \frac{1}{2}$ 时，函数 $f (x)$ 有两个极值点 $x_{1} ， x_{2}$ ，且 $x_{2} \geq 3 x_{1}$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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19. 在空间直角坐标系 $O x y z$ 中，三棱锥 $P - A B C$ 的顶点 $A (0, - 2, 0) ， C (0, 2, 0)$ ，顶点 $B$ 在 $x O y$ 平面内，侧面 $P A C$ 绕 $A C$ 转动且与底面 $B A C$ 形成的二面角 $P - A C - B$ 为 $θ$ ，在转动过程中满足：① $P B ⊥ A C$ ；② $|P A| + |P C| = 4 \sqrt{2}$ ；③ $||B A| - |B C|| = 2 \sqrt{2}$ ．

(1)、点 $P$ 和点 $B$ 纵坐标是否相等？证明你的结论；

(2)、当侧面 $P A C$ 所在平面为 $y O z$ 平面时，
（i）求动点 $B$ 在 $x O y$ 平面内的轨迹方程和点 $P$ 在 $y O z$ 平面内的轨迹方程；
（ii）求三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值；

(3)、当 $θ = 60 °$ ，且 $B C ⊥ A C$ 时，求三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积．

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性别	关注足球赛事	不关注足球赛事	合计
男	55	5	60
女	20	10	30
合计	75	15	90

$α$	0.05	0.01	0.001
$x_{0}$	3.841	6.635	10.828