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相关试卷

1、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左右顶点为 $A, B$ ，且 $|A B| = 2$ ，双曲线 $C$ 的一条渐近线的斜率为 $\sqrt{2}$ ，过点 $R (2, 0)$ 的直线 $l_{1}$ 交双曲线 $C$ 于 $M, N$ 两点， $O$ 为坐标原点.

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若双曲线 $C$ 上存在点 $T$ ，且 $\vec{O T} = \frac{\sqrt{2}}{8} (\vec{O M} + \vec{O N})$ ，求此时直线 $l_{1}$ 的方程.

(3)、过点 $R (2, 0)$ 的直线 $l_{2}$ 双曲线 $C$ 于 $P, Q$ 两点，直线 $l_{1}$ 的斜率为 $k_{1} (\frac{1}{2} < k_{1} < 1)$ ，直线 $l_{2}$ 的斜率为 $k_{2}$ ，且 $k_{1} \cdot k_{2} = - \frac{1}{3}$ ，求 $|M R| \cdot |N R| \cdot |P R| \cdot |Q R|$ 的最小值.

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2、如图1，等腰梯形 $A B C D$ 中， $A B // C D, C D = A B + 2, E, F$ 分别为 $A B, C D$ 的中点，且 $E F = \sqrt{6}$ ，将梯形 $A E F D$ 沿 $E F$ 翻折至梯形 $A_{1} E F D_{1}$ ，使得平面 $A_{1} E F D_{1} ⊥$ 平面 $B E F C$ ，得到如图的多面体 $A_{1} B E D_{1} C F$ ，且 $B F ⊥ A_{1} C$ .

(1)、证明： $A_{1}, B, C, D_{1}$ 四点共面；

(2)、求 $B E$ 的长；

(3)、在 $D_{1} C$ 上取一点 $P$ ，使得平面 $E F P ⊥$ 平面 $A_{1} B C D_{1}$ ，求平面 $B F P$ 与平面 $B E F C$ 夹角的余弦值.

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3、已知函数 $f (x) = x^{2} + 4 ln x - a x - m$ （实数 $a, m$ 为常数）在 $x = 1$ 处取得极值.

(1)、求实数 $a$ 的值，并求 $f (x)$ 的极小值：

(2)、当 $x \in [1, 2]$ 时，设 $T (m)$ 为 $|f (x)|$ 的最大值，求 $T (m)$ 的最小值.

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4、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ，且 $4 a_{3}, 2 a_{4}, a_{5}$ 成等差数列.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式：

(2)、求 $a_{n} + \frac{a_{n - 1}}{4} + \frac{a_{n - 2}}{4^{2}} \dots + \frac{a_{1}}{4^{n - 1}}$ .

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5、在坐标平面 $x O y$ 中，已知过点 $M (a, b)$ 恰能作曲线 $y = \ln x^{2}$ 的2条切线，则由所有点 $M$ 构成的集合为.

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6、在一次知识竞赛中，小张需要按顺序依次回答甲､乙､丙3个问题，已知他答对甲､乙､丙的概率分别为0.8，0.5，0.2，各题回答正确与否相互独立.若至少能够连续将2道题都答对，可获得额外加分，则小张获得额外加分的概率为.

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7、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{4} + a_{5} = - 2$ ，则 $S_{8} =$ .

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8、已知集合 $P \subseteq N^{*}$ ，对于 $P$ 中的任意两个元素 $a, b$ 都有 $a b - 16 |a - b| \leq 0$ ，则集合 $P$ 的元素个数可以为（）

A、4个 B、7个 C、9个 D、10个

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $A$ 是 $△ A B C$ 的最小内角，且 $tan A$ 为整数，若 $sin A + a sin B = \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{4}$ B、 $b = 2$ C、若 $B < C$ ，且 $tan B$ 为整数，则 $tan B = 2$ D、若 $△ A B C$ 为直角三角形，则 $△ A B C$ 的面积为1

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10、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x}, x > a \\ f (x + 3), x \leq a \end{array}$ ，且 $f (- 1) = 9$ ，则（）

A、 $a$ 的值可以为 $- 1$ B、 $a$ 的值可以为2 C、若 $f (a) = 81$ ，则 $a = 1$ D、若 $m > n$ ，且 $f (m) = f (n)$ ，则 $m$ 的最大值为 $a + 3$

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11、已知 $P$ 是椭圆 $16 x^{2} + 25 y^{2} = 1600$ 上的一点，且在 $x$ 轴上方， $F_{1}, F_{2}$ 分别是该椭圆的左、右焦点，直线 $P F_{2}$ 的斜率为 $- 4 \sqrt{3}$ ，则 $cos ∠ P F_{1} F_{2} =$ （）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{7}$ C、 $\frac{11}{13}$ D、 $\frac{37}{91}$

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12、已知 $tan α sin α = 3$ ，则 ${tan}^{2} α - {sin}^{2} α$ 的值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、9 D、81

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13、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $C A ⊥ C B, A B = C C_{1} = 2$ ，该三棱柱所有顶点都在球 $O$ 的球面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ B、 $\frac{32 π}{3}$ C、 $8 π$ D、 $\frac{64 \sqrt{2} π}{3}$

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14、某家电公司生产了 $A, B$ 两种不同型号的空调，公司统计了某地区2024年的前6个月这两种型号空调的销售情况，得到销售量的折线统计图如图所示，分析这6个月的销售数据，下列说法不正确的是（）

A、 $A$ 型号空调月销售量的极差比 $B$ 型号空调月销售量的极差大 B、 $A$ 型号空调月平均销售量比 $B$ 型号空调月平均销售量大 C、 $A$ 型号空调月销售量的上四分位数比 $B$ 型号空调销售量的上四分位数大 D、 $A$ 型号空调月销售量的方差比 $B$ 型号空调月销售量的方差小

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15、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F, P$ 是 $C$ 上一点，且 $△ O P F$ 的面积为1.则 $|P F| =$ （）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、 $2 \sqrt{2}$

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16、设 $a, b \in R$ ，则“ $a b < 1$ ”是“ $0 < a < \frac{1}{b}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、已知平面向量 $\vec{a} = (- 1, 1), \vec{b} = (1, m)$ ，若 $\vec{a} // \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $- 2$ B、0 C、1 D、2

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18、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，则 $z$ 的共轭复数为（）

A、 $- i$ B、 $i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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19、双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数（历史上著名的“悬链线问题”与之相关）.其中双曲正弦函数： $\sinh (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2}$ ，双曲余弦函数： $\cosh (x) = \frac{e^{x} + e^{- x}}{2}$ （ $e$ 是自然对数的底数， $e = 2.71828 \dots$ ）.

(1)、求 $\cosh^{2} (x) - \sinh^{2} (x)$ 的值；

(2)、证明：两角和的双曲余弦公式 $\cosh (x + y) = \cosh (x) \cosh (y) + \sinh (x) \sinh (y)$ ；

(3)、若关于 $x$ 的不等式 $4 m \cosh^{2} (x) - 2 \sinh (2 x) - 3 \geq 0$ 在 $[\ln 2, + \infty)$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围.

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20、如图，在平行四边形ABCD中， $\vec{B A} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{C P} = 2 \vec{P D}$ ， $\vec{A D} = 3 \vec{A Q}$ ， $\vec{P Q} = λ \vec{a} + μ \vec{b}$ ，

(1)、求 $λ + μ$ 的值；

(2)、若 $|\vec{a}| = 2$ ， $|\vec{b}| = 3$ ， $∠ A B C = 60 °$ ，求 $\vec{B D} \cdot \vec{P Q}$ 的值．

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