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相关试卷

1、陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地视为由一个圆锥和一个圆柱组合而成的几何体，如图1是一种木陀螺，其直观图如图2所示， $P$ 为圆锥的顶点， $A$ ， $B$ 分别为圆柱上、下底面圆的圆心，若圆锥的底面周长为 $6 π$ ，高为3，圆柱的母线长为4，则该几何体的表面积为（）

A、 $(33 + 9 \sqrt{2}) π$ B、 $(24 + 9 \sqrt{2}) π$ C、 $(33 + 18 \sqrt{2}) π$ D、 $(24 + 18 \sqrt{2}) π$

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2、 $(1 - 5 i) (4 + 3 i)$ 在复平面内所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面ABCD为直角梯形，侧面PCD为正三角形，且平面PCD $⊥$ 平面ABCD， $A D // B C$ ， $A D ⊥ A B$ ， $A D = A B = 1$ ， $B C = 2$ .

(1)、证明： $P C ⊥ B D$ .

(2)、已知Q为侧棱PB上一点， $P D //$ 平面QAC.
①求 $\frac{P Q}{P B}$ 的值；
②求直线DQ与平面QAC所成角的正弦值.

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4、已知函数 $f (x) = (x + a) e^{x}$ .

(1)、若 $f (x)$ 在 $x = 2$ 处取得极值，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $f (x) < e^{2 x}$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{n} = 3 n^{2} + k n + k$ .

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} a_{n + 1}}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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6、已知函数 $f (x) = 9 \ln x + \frac{5}{x} + 2 x + 7$ ，则函数 $f (x)$ 的最小值为；若过原点可向曲线 $y =$ $f (x) - \frac{1}{2 x} + a$ 作两条切线，则a的取值范围是.（注：当 $x \to 0$ 时， $\ln x + \frac{1}{x} \to + \infty$ ）

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7、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, λ)$ ，若 $(\vec{b} - \vec{a}) ⊥ \vec{a}$ ，则 $\cos 〈 \vec{a}, \vec{b} 〉 =$ .

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8、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{25} = 1$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，椭圆C上有一点P，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为.

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9、若函数 $f (x) = \sin x + a \cos x$ 图象的一条对称轴方程为 $x = \frac{2 π}{3}$ ，则（）

A、 $a = \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $a = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $f (x)$ 图象的一条对称轴为直线 $x = - \frac{π}{3}$ D、 $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{3}, \frac{5 π}{6})$ 上单调递增

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10、若 ${(2 x - 1)}^{9} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + \dots + a_{9} {(x + 1)}^{9}$ ，则（）

A、 $a_{0} = - 3^{9}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{9} = 3^{9} - 1$ C、 $a_{5} = - 7 \times 6^{6}$ D、 $\frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} + \dots + \frac{a_{9}}{2^{9}} = 3^{9} - 2^{9}$

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11、某地种植的新品种哈密瓜获得了丰收，随机从采摘好的哈密瓜中挑选了100个称重（单位：kg），并整理数据，得到如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图，下面结论正确的是（）

A、 $m = 0.1$ B、估计该哈密瓜的质量不低于1.6kg的比例为 $30 %$ C、估计有一半以上的该哈密瓜的质量介于1.4kg至1.6kg之间 D、估计该哈密瓜的质量的中位数介于1.5kg至1.6kg之间

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12、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} 2 a x - 2, x < 1 \\ a^{x}, x \geq 1 \end{cases}$ 满足 $\forall x_{1}, x_{2} \in R$ 且 $x_{1} \neq x_{2}$ ， $(x_{2} - x_{1}) [f (x_{1}) - f (x_{2})] < 0$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, 2]$ D、 $(0, 1) \cup (1, + \infty)$

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13、某学习小组研究一种如图1所示的卫星接收天线，发现其轴截面为如图2所示的抛物线，在轴截面内的卫星信号波束呈近似平行的状态射入，经反射聚焦到焦点F处，已知卫星接收天线的口径（直径）为10m，深度为3m，则该卫星接收天线轴截面所在的抛物线焦点到顶点的距离为（）

A、 $\frac{5}{3} m$ B、 $\frac{25}{12} m$ C、 $\frac{25}{6} m$ D、 $\frac{5}{4} m$

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14、已知 $\tan (\frac{π}{4} - α) = - \frac{1}{2}$ ，则 $\frac{\sin 2 α + 2}{3 - \cos^{2} α} =$ （）

A、 $- \frac{13}{14}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{26}{29}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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15、直线 $l : 3 x + 4 y + 1 = 0$ 被圆 $C : x^{2} + y^{2} - 4 x + 6 y + 4 = 0$ 截得的弦长为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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16、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $a = 6$ ， $A = \frac{2 π}{3}$ ，则 $△ A B C$ 外接圆的半径为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、6 D、12

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17、在复平面内，复数 $9 i (8 + 5 i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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18、设集合 $A = {x |\ln x < 1}$ ， $B = {x |- 1 \leq x \leq 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x |- 1 \leq x < 1}$ B、 ${x |- 1 \leq x < e}$ C、 ${x |0 < x \leq 1}$ D、 ${x |0 < x < e}$

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19、已知 $f (x) = 2 x \ln x + a x^{2} + b$ 在点 $(1, f (1))$ 处与 $x$ 轴相切.

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、若 $m > n > 0$ ，求证 $\sqrt{m n} < \frac{m - n}{\ln m - \ln n}$ .

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20、如图所示的平面直角坐标系中，是一个模拟某旅游地区的 $(n + 1) \times (n + 1)$ 格点图，共有 ${(n + 1)}^{2}$ 个格点.阴影区域 $S_{1}$ 与 $S_{2}$ 分别是该城市两大著名景区，阴影部分内的格点代表景区内的景点.游客在格点之间必须乘坐观光车，从格点 $A (0, 0)$ 出发，最后到达终点 $B (n, n)$ ，游客经过阴影区域中的格点都会进行游览.观光车只能在图中格点的连线上行驶，且整个过程将以最小行驶距离到达终点.

(1)、当 $n = 3$ 时，求一辆观光车从 $A$ 点到 $B$ 点会经过格点 $(2, 1)$ 的路线总数；

(2)、已知一个由 $m$ 个 $+ 1$ 和 $m$ 个 $- 1$ 构成的含有 $2 m$ 项的序列： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{2 m}$ ，满足任意前 $k$ 项和 $\sum_{i = 1}^{k} a_{i} \geq 0 (1 \leq k \leq 2 m)$ .序列个数为 $C_{2 m}^{m} - C_{2 m}^{m - 1}$ .
（i）当 $n = 4$ 时，某游客游览了7个景点，求他游览的路线总数；
（ii）设某游客游览了两个景区各至少1个景点的路线总数为 $Q_{n}$ ，求证：当 $n \geq 5$ 时， $168 \times {(\frac{19}{5})}^{n - 5} \leq Q_{n} \leq \frac{21}{2} \times 4^{n - 3}$ .

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