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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a e^{x} - x$ .

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(2)、设 $g (x) = f (x) - x^{2} + x + 3$ ，若函数 $g (x)$ 有两个零点，求 $a$ 的取值范围

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2、设 $x > 0$ ， $f (x) = \ln x$ ， $g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ ，两个函数的图象如图所示.

(1)、判断 $f (x)$ ， $g (x)$ 的图象与 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 之间的对应关系；

(2)、根据 $C_{1}$ ， $C_{2}$ 的位置关系，写出一个关于 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的不等式，并证明.

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且满足 $a_{n + 1} + a_{n} = 4 \times 3^{n}$ .

(1)、求证： $\{a_{n} - 3^{n}\}$ 是等比数列，并求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = a_{n} - {(- 1)}^{n}$ ，求数列 $\{n b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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4、人们很早以前就开始探索高次方程的数值求解问题.牛顿在《流数法》一书中给出了高次代数方程的一种数值求法——牛顿法，用“作切线”的方法求方程的近似解.如图，方程 $f (x) = 0$ 的根就是函数 $f (x)$ 的零点 $r$ ，取初始值 $x_{0}$ ， $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{1}$ ， $f (x)$ 在 $x = x_{1}$ 处的切线与 $x$ 轴的交点横坐标为 $x_{2}$ ，一直继续下去，得到 $x_{0}$ 、 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $\dots$ 、 $x_{n}$ ，它们越来越接近 $r$ .若 $f (x) = x^{3} - 3 x^{2} + 3 x - 3$ ，取 $x_{0} = 3$ ，则用牛顿法得到的 $r$ 的近似值 $x_{1} =$ ， $x_{2} =$ .

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5、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{4} = 4 S_{2}$ ， $a_{2 n} = 2 a_{n} + 1 (n \in N^{*})$ .则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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6、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} + x - 1}{e^{x}}$ ，则下列结论错误的是（）

A、函数 $f (x)$ 存在两个不同的零点 B、函数 $f (x)$ 只有极大值没有极小值 C、当 $- e < k < 0$ 时，方程 $f (x) = k$ 有且只有两个实根 D、若 $x \in [t, + \infty)$ 时， $f {(x)}_{max} = \frac{5}{e^{2}}$ ，则t的最小值为2

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7、以下关于数列的结论正确的是（）

A、若数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和 $S_{n} = 3 n^{2} + 2 n$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列 B、若数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项的和 $T_{n} = 3^{n + 1} - 2$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 为等比数列 C、若数列 $\{c_{n}\}$ 满足 $c_{n + 1} = \frac{c_{n} + c_{n + 2}}{2}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 为等差数列 D、若数列 $\{d_{n}\}$ 满足 $d_{n + 1} = \sqrt{d_{n} d_{n + 2}}$ ，则数列 $\{d_{n}\}$ 为等比数列

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8、下列函数求导错误的是（）

A、 ${(sin x)}^{'} = - cos x$ B、 ${(e^{3})}^{'} {=e}^{3}$ C、 ${(\frac{e^{x}}{x})}^{'} = \frac{x e^{x} - e^{x}}{x^{2}}$ D、 ${(e^{2 x + 1})}^{'} = e^{2 x + 1}$

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9、已知函数 $f (x) = x + 2 \sin x (x > 0)$ 所有极小值点从小到大排列成数列 $\{a_{n}\}$ ，则 $\sin (a_{9}) =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$

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10、函数 $f (x) = \ln x - k x$ ，当 $x \in (0, + \infty)$ 时， $f (x) \leq 0$ 恒成立，则k的取值范围是（）

A、 $k \geq 1$ B、 $k \geq 2$ C、 $k \geq e$ D、 $k \geq \frac{1}{e}$

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11、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n} = 1 - \frac{2}{a_{n + 1} + 1}$ ，其前 $n$ 项的积为 $T_{n}$ ，则 $T_{2025} =$ （）

A、1 B、-6 C、2 D、3

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12、如图，雪花形状图形的作法是：从一个正三角形开始，把每条边分成三等份，然后以各边的中间一段为底边分别向外作正三角形，再去掉底边.反复进行这一过程，就得到一条“雪花”状的曲线.设原正三角形（图①）的边长为2，把图①，图②，图③，图④中图形的面积依次记为 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ ， $S_{4}$ ，面积的改变量 $Δ S_{i} = S_{i + 1} - S_{i}$ ， $i = 1, 2, 3$ ，则 $Δ S_{2} =$ （）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{9}$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{27}$

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13、已知函数 $y = f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，下列说法不正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 2)$ 上单调递减 B、函数 $f (x)$ 在 $(- 2, 0)$ 上单调递增 C、函数 $f (x)$ 在 $x = - 1$ 处取得极小值 D、函数 $f (x)$ 共有两个极小值点

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14、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} = a_{n} + 3 n - 16$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的最小项是第（）项

A、5 B、6 C、7 D、8

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = 3$ ， $a_{2} a_{3} = 48$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、16 B、4 C、-2 D、-4

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16、已知函数 $f (x) = \sin x$ ，则 $\lim_{△ x \to 0} \frac{f (\frac{π}{6} + △ x) - f (\frac{π}{6})}{△ x} =$ （）.

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} + 2 a x$ .
（1）求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上的最小值为 $0$ ，求实数 $a$ 的值.

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18、已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的不恒为零的函数，对于任意的 $a$ 、 $b \in R$ 都有 $f (a \cdot b) = a f (b) + b f (a)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{2}$ ，设数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \frac{2^{n}}{f (2^{n})}$ ．

(1)、写出 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、用 $S_{n}$ 表示数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和．试问：是否存在关于 $n$ 的整式 $g (n)$ ，使得 $S_{1} + S_{2} + S_{3} + \cdot \cdot \cdot + S_{n - 1} = (S_{n} - 1) \cdot g (n)$ 对于一切不小于2的自然数 $n$ 恒成立？若存在，写出 $g (n)$ 的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．

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19、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ，底面 $A B C D$ 是边长为2的正方形， $P A = 2 \sqrt{3}$ ， $G$ 为 $C D$ 的中点， $E$ ， $F$ 是棱 $P D$ 上两点（ $F$ 在 $E$ 的上方），且 $E F = 2$ ．

(1)、若 $D E = 1$ ，求证： $B F / /$ 平面 $A E G$ ；

(2)、当点 $F$ 到平面 $A E C$ 的距离取得最大值时，求直线 $A G$ 与平面 $A E C$ 所成角的正弦值．

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20、“潮州柑”是一种象征吉祥的果子，因比桔大，故俗称“大吉”，而桔与吉同音，用谐音会意法，就成了大吉．春节时候，潮州人有带“大吉”拜年的习俗，互换“大吉”，愿彼此“大吉大利”．春节将至，某水果店对“潮州柑”进行试销，得到一组销售数据，如下表所示：
试销单价 $x$ （元）
3
4
5
6
7
产品销量 $y$ 件
20
16
15
12
6

(1)、经计算相关系数 $r \approx - 0.97$ ，变量 $x$ ， $y$ 线性相关程度很高，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程；

(2)、用（1）中所求的经验回归方程来拟合这组成对数据，当样本数据的残差的绝对值大于1.2时，称该对数据为一个“次数据”，现从这5个成对数据中任取3个做残差分析，求取到的数据中“次数据”个数 $X$ 的分布列和数学期望．
参考公式：线性回归方程中 $\hat{b}$ ， $\hat{a}$ 的最小二乘法估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．
参考数据： $\sum_{i = 1}^{5} x_{i} y_{i} = 313$

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试销单价 $x$ （元）	3	4	5	6	7
产品销量 $y$ 件	20	16	15	12	6