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相关试卷

1、若曲线 $y = \ln x$ 与曲线 $y = x^{2} + 2 x + a (x < 0)$ 有公切线，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \ln 2 - 1, + \infty)$ B、 $[- \ln 2 - 1, + \infty)$ C、 $(- \ln 2 + 1, + \infty)$ D、 $[- \ln 2 + 1, + \infty)$

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2、为促进山区扶贫事业的持续发展，某研究所为深入研究当地海拔因素对某种古茶树产茶量的影响，在山上和山下的试验田中分别种植了 $m$ 株和 $n$ 株（ $m$ ， $n \in N^{*}$ ）古茶树进行对比试验.现在从山上和山下的试验田中各随机选取了4株作为样本，每株采摘的茶叶量（单位： $kg$ ）如下表所示：
编号位置
①
②
③
④
山上
5
4
4
3
山下
4
2
2
1

(1)、根据样本数据，试估计山上试验田古茶树产茶的总产量；

(2)、记出上、山下试验田古茶树产茶量方差分为 $s_{1}^{2}$ ， $s_{2}^{2}$ ，根据样本数据估计 $s_{1}^{2}$ 与 $s_{2}^{2}$ 的大小关系；

(3)、从样本中的山上与山下古茶树中各随机选取1株，记这2株产茶量的总和为 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望.

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3、（1）已知 ${(4 x^{2} - 4 x + 1)}^{2} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4}$ ，求 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4}$ 的值；
（2）解不等式： $3 A_{x}^{3} < 2 A_{x + 1}^{2} + 6 A_{x}^{2}$ .

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4、在一个抽奖游戏中，主持人从编号为 $1$ 、 $2$ 、 $3$ 、 $4$ 的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，也就是主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开了另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率.用 $A_{i}$ 表示 $i$ 号箱有奖品 $(i = 1, 2, 3, 4)$ ，用 $B_{i}$ 表示主持人打开 $i$ 号箱子 $(i = 2, 3, 4)$ ，现在已知甲选择了 $1$ 号箱，则 $P (B_{3} |A_{2}) =$ ； $P (B_{3}) =$ .

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5、已知函数 $f (x) = a e^{x} + x$ （ $a > 0$ ）在点 $(0, f (0))$ 处的切线为直线 $l$ ，若直线 $l$ 与两坐标轴围成的三角形的面积为 $\frac{2}{3}$ ，则实数 $a =$ .

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6、若函数 $f (x) = (1 + \frac{1}{x}) (a + ln x)$ 是其定义域上的增函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1]$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $(- \infty, 2)$ D、 $(- \infty, 2]$

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7、已知某物体在运动过程中，其位移 $S$ （单位： $m$ ）与时间 $t$ （单位： $s$ ）满足函数关系式 $S (t) = \sin t - 2 \cos t + t + 1$ ，则该物体在 $t = \frac{π}{2}$ 时的瞬时速度为（）

A、 $3 m / s$ B、 $2 m / s$ C、 $\sqrt{3} m / s$ D、 $1 m / s$

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8、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} sin (2 x - \frac{π}{6})$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期、振幅、初相及图象的对称轴方程；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，所得图象对应的函数为 $g (x)$ ，当 $x \in [0, \frac{2 π}{3}]$ 时，求函数 $g (x)$ 的值域．

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9、某企业于2024年在其基地投入150万元的研发资金用于养殖业发展，并计划今后10年内在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长20%．

(1)、写出第 $x$ 年（2024年为第1年）该企业投入的研发资金 $y$ （单位：万元）与 $x$ 的函数关系式，并指出函数的定义域；

(2)、该企业从哪一年开始投入的研发资金将超过600万元？
（参考数据： $lg 0.12 \approx - 0.921$ ， $lg 1.2 \approx 0.079$ ， $lg 0.112 \approx - 0.951$ ， $lg 1.12 \approx 0.049$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）

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10、已知函数 $f (x) = cos x$ ．

(1)、若 $f (α) = - sin \frac{π}{12}$ ， $α \in (0, π)$ ，求 $α$ ；

(2)、求 $y = f (2 x + \frac{2 π}{3})$ ， $x \in [\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 的值域．

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11、已知 $- π < x < 0$ ， $sin (π + x) - cos x = \frac{1}{5}$ ．

(1)、求 $sin x + cos x$ 的值；

(2)、求 $\frac{\sin x}{1 + \tan x}$ 的值．

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12、（1）已知函数 $f (x)$ 是一次函数，且 $f (f (x) + 2 x) = 5$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）已知 $f (\sqrt{x} + \frac{1}{\sqrt{x}}) = x + \frac{1}{x} - 2$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；

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13、函数 $f (x) = 2 cos (2 ω x + \frac{π}{3})$ 的最小正周期是 $2 π$ ，则 $ω =$ ．

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14、已知 $tan θ = 2$ ，则 $\frac{sin θ + cos θ}{sin θ - cos θ}$ 的值为．

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15、已知 $tan α = - 2$ ， $π < α < 2 π$ ，则（）

A、 $sin α = - \frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、 $cos α = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $cos α - sin α = \frac{3 \sqrt{5}}{5}$ D、 $cos α + sin α = - \frac{3 \sqrt{5}}{5}$

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16、下列不等式成立的是（）

A、 $\sin \frac{π}{4} > \cos \frac{π}{3}$ B、 $\cos \frac{2 π}{5} < \cos \frac{23 π}{10}$ C、 $\sin (- \frac{π}{5}) > \cos \frac{3 π}{5}$ D、 $\cos (- \frac{3 π}{7}) > \cos (- \frac{43 π}{8})$

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17、若函数 $f (x) = sin ω x (ω < 0)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{6}]$ 上单调递减，在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 3$ C、 $- 2$ D、 $- 1$

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18、若 $sin (α - \frac{π}{6}) = \frac{1}{3}$ ，则 $cos (α - \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $- \frac{1}{3}$ C、 $\frac{7}{9}$ D、 $- \frac{7}{9}$

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19、已知角 $α$ 的终边在第二象限，且终边上有一点 $P (- 2, \sqrt{2} m)$ ， $sin α = \frac{\sqrt{2}}{4} m$ ，则 $m =$ （）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $- \sqrt{6}$ C、2 D、 $\pm \sqrt{2}$

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20、若 $a = {(\frac{1}{3})}^{\frac{2}{3}}$ ， $b = \log_{\frac{2}{3}} \frac{1}{3}$ ， $c = {(\frac{2}{3})}^{\frac{1}{3}}$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > a > b$ B、 $b > c > a$ C、 $b > a > c$ D、 $a > c > b$

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编号位置	①	②	③	④
山上	5	4	4	3
山下	4	2	2	1