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相关试卷

1、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体．如图，在直角 $△ A B C$ 中， $A D$ 为斜边 $B C$ 上的高， $A B = 3, A C = 4$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $A D$ 翻折成 $△ A B^{'} D$ ，使得四面体 $A B^{'} C D$ 为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为

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2、已知一圆锥的母线长为2，底面半径为1，则该圆锥的侧面积为；体积为．

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3、我们知道，函数 $y = f (x)$ 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x)$ 为奇函数，有同学发现可以将其推广为函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (a, b)$ 成中心对称图形的充要条件是函数 $y = f (x + a) - b$ 为奇函数．此结论与必修一教材上的结论相吻合，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x) = \frac{2 x + 1}{x - 1}$ 的图象关于点 $(1, 2)$ 成中心对称图形 B、若定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 对任意的 $x$ 都有 $f (x + 2) + f (- x) = 2$ ，则函数 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(2, 2)$ C、若 $y = f (x + a)$ 是偶函数，则 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = a$ 成轴对称 D、若函数 $f (x)$ 满足 $y = f (x + 1) - 1$ 为奇函数，且其图象与函数 $g (x) = \frac{4}{2^{x} + 2}$ 的图象有2024个交点，记为 $A_{i} (x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 2024)$ ，则 $\sum_{i = 1}^{2024} (x_{i} + y_{i}) = 4048$

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4、已知平面向量 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，且 $|\vec{e_{1}}| = |\vec{e_{2}}| = 1$ ，若 $\vec{a} = \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}, \vec{b} = \vec{e_{1}} + \vec{e_{2}}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{3}$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a}|$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{2} \vec{b}$

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5、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $z_{1}^{2} = {|z_{1}|}^{2}$ B、 $\bar{z_{1} + z_{2}} = \bar{z_{1}} + \bar{z_{2}}$ C、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1}| \cdot |z_{2}|$ D、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1}| + |z_{2}|$

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6、民营经济是推进中国式现代化的生力军，是浙江的最大特色、最大资源和最大优势．为了更好地支持民营企业的发展，我省某市决定对部分企业的税收进行适当的减免．某机构调查了当地的中小型民营企业年收入情况，并根据所得数据画出了样本的频率分布直方图，则下列结论正确的是（）

A、样本数据落在区间 $[300, 500)$ 内的频率为0.45 B、若规定年收入在500万元以内的民营企业才能享受减免税政策，估计有 $55 %$ 的当地中小型民营企业能享受到减免税政策 C、若该调查机构调查了100家民营企业，则年收入不少于400万元的有80家 D、估计样本的中位数为480万元

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7、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ ，点 $M$ 在 $B_{1} C$ 上运动（不含端点），点 $N$ 在 $B_{1} D_{1}$ 上运动（不含端点），直线 $M N$ 与直线 $A C$ 所成的角为 $α$ ，直线 $M N$ 与平面 $A C B_{1}$ 所成的角为 $β$ ，则下列关于 $α, β$ 的取值可能正确的是（）

A、 $α = 30 °$ B、 $α = 45 °$ C、 $β = 60 °$ D、 $β = 75 °$

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8、已知 $α$ 为锐角，且 $sin (\frac{2 π}{5} cos α) = cos (\frac{2 π}{5} sin α)$ ，则 $sin 2 α$ 的值为（）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{5}{13}$ C、 $\frac{24}{25}$ D、 $\frac{9}{16}$

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9、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{2^{x} - 2}$ ，则其图象一定不过（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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10、在 $△ A B C$ 中，已知角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $a = \sqrt{6}, B = 45^{\circ}, C = 75^{\circ}$ ，则 $b$ 等于（）

A、2 B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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11、近年，“人工智能”相关软件以其极高的智能化水平引起国内关注，深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为 $L = \frac{1}{2} \times {(\frac{4}{5})}^{\frac{G}{18}}$ ，其中 $L$ 表示每一轮优化时使用的学习率， $G$ 表示训练迭代轮数，则学习率衰减到0.2及以下所需的训练迭代轮数至少为（参考数据： $lg 2 \approx 0.301$ ）（）

A、16 B、72 C、74 D、90

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12、不等式 $\frac{1}{x - 1} + 1 \leq 0$ 的解集是（）

A、 $[0, 1)$ B、 $(0, 1]$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2]$

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13、已知空间中两个不重合的平面 $α$ 和平面 $β$ ，直线 $l \subset$ 平面 $α$ ，则“ $l // β$ ”是“ $α // β$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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14、从数据 $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 7$ 中随机选择一个数，则这个数平方的个位数是6或9的概率为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{3}{8}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{8}$

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15、数据1，2，3，4，5，6，7，7的第25百分位数是（）

A、2 B、2.5 C、3 D、3.5

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16、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $A B$ 的中点，则（）

A、 $\vec{A D} - \vec{B D} = \vec{0}$ B、 $\vec{A D} + \vec{D B} = \vec{0}$ C、 $\vec{C B} - \vec{C D} = \vec{B D}$ D、 $\vec{C A} + \vec{C B} = 2 \vec{C D}$

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17、已知集合 $A = \{1, 2, 3, 4\}, B = \{x| x^{2} - x - 2 = 0\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $\{- 1, 1, 2, 3, 4\}$ B、 $\{1, 2, 3, 4\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ D、 $\{- 2, 1, 2, 3, 4\}$

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18、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x}$ 的定义域为（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[- 1, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1]$ D、 $(- \infty, - 1]$

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19、已知函数h(x)的定义域为R.若存在正整数k，使得对于任意实数x，都有 $h (x + k π) = h (x) + h (k π) ，$ 则称 $h (x)$ 具有性质 $P (k)$ .

(1)、判断函数 $f (x) = 2 x, g (x) = \cos x$ 是否具有性质 P(2)，并说明理由；

(2)、设函数 $f (x) = sin(ω x + φ)$ 其中 $\frac{3}{2} < ω < \frac{5}{2}, | φ | < \frac{π}{2} .$ 是否存在ω、φ，使得 $f (x)$ 具有性质 $P (3)$ ?若存在，求ω，φ的值；若不存在，说明理由；

(3)、已知函数 $f (x)$ 具有性质 $P (k)$ (k为正偶数)，且 $f (x)$ 在区间 $[0, k π]$ 上的值域为 $[f (0), f (k π)]$ . 设函数 $g (x) = sin(f (x))$ ，且满足下列条件：① $g (π) \neq 0$ ；②对于任意实数x，都有 $g (x + 2 π) = g (x)$ ；③ $g (x)$ 在区间 $(0, k π)$ 上的零点不超过 $k - 1$ 个.求证：存在正偶数 $n \leq k ，$ 使得 $f (k π) = n π$ .
参考公式： $sin α + sin β = 2 sin \frac{α + β}{2} cos \frac{α - β}{2} ， sin α - sin β = 2 sin \frac{α - β}{2} cos \frac{α + β}{2}$ .

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20、某玩具厂为测试一款可升降玩具炮台的性能，建立了如下的数学模型：①如图，建立平面直角坐标系，炮口A的坐标为 $(0, h)$ ，炮台从炮口向右上方发射玩具弹，发射仰角为 $θ (θ \in [\frac{π}{6}, \frac{7 π}{24}])$ ，初速度 $v_{0} = 10 m / s$ ；②设玩具弹在运行过程中t（单位：s）时刻的横纵坐标分别为 $x, y$ （单位：m），且满足； $\{\begin{array}{l} x = 10 t cos θ \\ y = - 5 t^{2} + 10 t sin θ + h \end{array}$ ③玩具弹最终落在点 $D (d, 0)$ .根据上述模型，解决下列问题：

(1)、当 $h = 0$ 时.
（i）若 $t = 1$ 时，玩具弹刚好落在点 $D$ ，求 $d$ 及此次的发射仰角θ的值；
（ii）求 $d$ 的最大值及此时的发射仰角θ；

(2)、当 $h = 2.5$ 时，求证： $d < 13$ .

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