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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中，角 $A ， B ， C$ 所对边分别为 $a ， b ， c$ ．已知 $A = \frac{2}{3} π, a = 2 b cos B$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、请从条件①②③中选出一个作为已知，使 $△ A B C$ 存在且唯一确定，并求出 $A C$ 边上的中线长．
① $a = \sqrt{3} b$ ； ② $△ A B C$ 周长为 $3 + 2 \sqrt{3}$ ； ③ $△ A B C$ 面积为 $\frac{3}{4} \sqrt{3}$ ．

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2、设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的各项均为整数，首项 $a_{1} = 3$ ，且对任意正整数 $n$ ，总存在正整数 $m$ ，使得 $a_{1} + a_{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{n} = a_{m}$ ，则关于此数列公差 $d$ 的论述中，正确的序号有.
①公差 $d$ 可以为 $1$ ；
②公差 $d$ 可以不为 $1$ ；
③符合题意的公差 $d$ 有有限个；
④符合题意的公差 $d$ 有无限多个．

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3、若函数 $f (x) = a \sin x - \sqrt{3} \cos x$ 的一个零点是 $\frac{π}{3}$ ，则函数 $y = f (x)$ 的最大值为

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4、已知双曲线 $C : \frac{y^{2}}{4} - \frac{x^{2}}{m} = 1$ 的一条渐近线方程为 $y = 2 x$ ，则 $m =$ .

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5、抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上与焦点距离等于3的点的横坐标是．

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6、一组数据如下：13，7，9，10，8，15，21，12，该组数据的中位数是．

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7、设函数 $f (t) = t^{2} + 2 t$ ，则点集 ${(x, y)| f (x) + f (y) \leq 2, f (x) \geq f (y)}$ 所构成图形的面积是（）

A、 $4 π$ B、 $2 π$ C、 $π$ D、前三个答案都不对

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8、已知函数 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ ，下列结论错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图像有对称轴 B、当 $x \in (- π, 0) \cup (0, π)$ 时， $\cos x < f (x) < 1$ C、 $f (x) = \frac{\sin x}{x}$ 有最小值 D、方程 $f (x) = - \cos x \ln x$ 在 $(1, π)$ 上无解

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9、如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的所有棱长均为2，满足 $A_{1} B ⊥ B_{1} C$ ，则该三棱柱体积的最大值为（）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $2 \sqrt{3}$ D、4

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10、已知某种铅蓄电池由于硫酸浓度的降低，每隔一个月其性能指数都要损失10%，且一般认为当该种类型的电池的性能指数降低到原来的 $\frac{1}{4}$ 以下时就需要更换其中的硫酸来达到持久续航，则最多使用（）个月就需要更换纯硫酸（参考数据 $lg 3 \approx 0.477$ ， $lg 2 \approx 0.301$ ）

A、11 B、12 C、13 D、14

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11、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则其解析式为（）

A、 $f (x) = \sqrt{2} sin (2 x + \frac{π}{4})$ B、 $f (x) = \sqrt{2} sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{4})$ C、 $f (x) = \sqrt{2} sin (x + \frac{π}{3})$ D、 $f (x) = \sqrt{2} sin (x + \frac{π}{4})$

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12、已知向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (x, - 2)$ ，则“ $x < 2$ ”是“ $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为钝角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、若过点 $P (0, 1)$ 可作圆 $x^{2} + y^{2} - 2 x - 4 y + a = 0$ 的两条切线，则a的取值范围是（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(- 1, 3)$ C、 $(3, 5)$ D、 $(5, + \infty)$

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14、在 ${(2 x^{2} + \frac{1}{x})}^{4}$ 的展开式中， $x^{2}$ 的系数为（）

A、2 B、8 C、16 D、24

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15、已知复数 $z = 2 + i$ ，则 $\frac{\bar{z}}{z - \bar{z}} =$ （）

A、 $- \frac{1}{2} - i$ B、 $\frac{1}{2} - i$ C、 $\frac{1}{2} + i$ D、 $- \frac{1}{2} + i$

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16、若集合 $A = \{x |\sqrt{x} \leq 2\}$ ， $B = \{x |x = 2 n - 1, n \in N\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 ${3}$ C、 ${1, 3}$ D、 ${- 1, 1, 3}$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + x + a ln (x + 1)$ ， $a \in R$ ．

(1)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、证明：当 $a < - 1$ 时， $a^{2} + f (x) > 1$ ．

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18、已知双曲线 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 过点 $(- 4, 3 \sqrt{2})$ 且 $b = \sqrt{6}$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别是 $C_{1}$ 的左、右焦点.

(1)、求 $C_{1}$ 的标准方程；

(2)、设点 $P$ 是 $C_{1}$ 上第一象限内的点，求 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{P F_{2}}$ 的取值范围.

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19、已知圆 $C$ 以 $(2 a, a)$ 为圆心，且圆 $C$ 与 $y$ 轴相切于点 $(0, 2)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l : x - y = 0$ 与圆 $C$ 相交于 $A, B$ 两点，求 $|A B|$ ．

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20、 $3$ 位男同学和 $2$ 位女同学站成一排．
（1） $2$ 位女同学必须站在一起，有多少种不同的排法（用数字作答）；
（2） $2$ 位女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法（用数字作答）．

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