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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = x^{4} - (a + b) x + a b$ ，其中 $- 1 < a < b < 1$ .

(1)、若 $a = 0, b = \frac{1}{2}$ ，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、证明： $f (x)$ 至少有两个零点.

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2、四个村庄 $A, B, C, D$ 之间建有四条道路 $A B, B C, C D, D A$ .在某个月的30天中，每逢单数日道路 $A B, C D$ 开放， $B C, D A$ 封闭维护，每逢双数日道路 $B C, D A$ 开放， $A B, C D$ 封闭维护.一位游客起初住在村庄 $A$ ，在该月的第 $k (1 ⩽ k ⩽ 30)$ 天，他以 $\frac{1}{k}$ 的概率沿当天开放的道路去往相邻村庄投宿，以 $1 - \frac{1}{k}$ 的概率留在当前村庄，并且他在这30天里的选择是相互独立的.则第30天结束时该游客住在村庄 $B$ 的概率为.

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3、设 $0 < x < y < \frac{π}{2}$ ，且 $tan y = tan x + \frac{1}{cos x}$ ，则 $y - \frac{x}{2} =$ .

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4、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2 - λ, λ)$ ，若 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则 $λ$ 的取值范围是.

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5、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为公差为 $d$ 的等差数列， $\{b_{n}\}$ 为公比为 $q$ 的正项等比数列.记 $A_{n} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{n}}{n}, G_{n} = \sqrt[n]{b_{1} b_{2} \dots b_{n}}, D_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} {(a_{k} - A_{n})}^{2}, F_{n} = \frac{1}{n} \sum_{k = 1}^{n} \frac{b_{k}}{G_{n}}$ ，则（）参考公式： $\sum_{k = 1}^{n} k^{2} = 1^{2} + 2^{2} + \dots + n^{2} = \frac{1}{6} n (n + 1) (2 n + 1)$ .

A、当 $F_{3} = \frac{7}{2}$ 时， $q = 2$ B、当 $D_{5} = 2$ 时， $D_{7} = 4$ C、 $F_{n} \geq 1$ D、 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{D_{2 k + 1}} < \frac{3}{d^{2}}$

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6、在复平面内，复数 $z_{1}, z_{2}$ 对应的点分别是 $(a, b), (b, a)$ .已知 $z_{1} \neq z_{2}, z_{1} z_{2} \neq 0$ ，则（）

A、 $\frac{z_{1}}{\bar{z_{2}}} = \frac{z_{2}}{\bar{z_{1}}}$ B、 $|z_{1} + z_{2}| = |z_{1} - z_{2}|$ C、 $|z_{1} + \bar{z_{2}}| = |z_{1} - \bar{z_{2}}|$ D、 $|z_{1} z_{2}| = |z_{1} \bar{z_{2}}|$

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7、设双曲线 $C : x^{2} - 2 y^{2} = 3$ ，则（）

A、 $C$ 的实轴长为2 B、 $C$ 的焦距为 $3 \sqrt{2}$ C、 $C$ 的离心率为 $\sqrt{3}$ D、 $C$ 的渐近线方程为 $x \pm \sqrt{2} y = 0$

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8、空间中一个静止的物体用三根绳子悬挂起来，已知三根绳子上的拉力大小分别为 $1 N, 2 N, 3 N$ ，且三根绳子中任意两根绳子的夹角均为 $60^{\circ}$ ，则该物体的重力大小为（）

A、 $2 \sqrt{2} N$ B、 $2 \sqrt{5} N$ C、 $5 N$ D、 $6 N$

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9、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + k, x \leq 0, \\ \sqrt{x} - k, x > 0. \end{array}$ 若 $f (f (x)) = 1$ 恰有三个不同实根，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, \frac{1 - \sqrt{5}}{2})$ B、 $[- 1, \frac{\sqrt{5} - 3}{2})$ C、 $(\frac{3 - \sqrt{5}}{2}, 1]$ D、 $(\frac{\sqrt{5} - 1}{2}, 1]$

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10、如图，在下列四个正方体中， $P$ 是顶点， $A, B, C$ 是棱的中点，则三棱锥 $P - A B C$ 体积最大的是（）

A、 B、 C、 D、

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11、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与斜率为 $32 p$ 的直线恰有一个公共点 $P$ ，则点 $P$ 的纵坐标为（）

A、 $\frac{1}{64}$ B、 $\frac{1}{32}$ C、 $\frac{1}{16}$ D、 $\frac{1}{8}$

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12、方程 ${log}_{3} x = {log}_{6} x \cdot {log}_{9} x$ 的实数解有（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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13、设集合 $A = \{- 1, a, a^{2} - 2\}, B = \{0, 2, a + 2\}, C = \{- a\}$ ，则下列选项中一定成立的是（）

A、 $A \cup C = A$ B、 $A \cap C = \emptyset$ C、 $B \cup C = B$ D、 $A \cap B = \emptyset$

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14、设随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (n, \frac{4}{5})$ ，若 $P (X ⩾ 1) = 0.9984$ ，则 $D (X) =$ （）

A、0.16 B、0.32 C、0.64 D、0.84

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15、数据 $4, 2, 5, 2, 6, 0$ 的上四分位数是（）

A、2 B、4 C、5 D、6

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16、在数字 $1, 2, \dots, n (n \geq 2)$ 的任意一个排列 $A$ ： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中，如果对于 $i, j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，有 $a_{i} > a_{j}$ ，那么就称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个逆序对．记排列 $A$ 中逆序对的个数为 $S (A)$ ．如 $n = 4$ 时，在排列 $B$ ：3，2，4，1中，逆序对有 $(3, 2)$ ， $(3, 1)$ ， $(2, 1)$ ， $(4, 1)$ ，则 $S (B) = 4$ ．

(1)、设排列 $C$ ： $a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}$ ，写出两组具体的排列 $C$ ，分别满足：① $S (C) = 5$ ， ② $S (C) = 4$ ；

(2)、对于数字1，2，…，n的一切排列 $A$ ，求所有 $S (A)$ 的算术平均值；

(3)、如果把排列A： $a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}$ 中两个数字 $a_{i}, a_{j} (i < j)$ 交换位置，而其余数字的位置保持不变，那么就得到一个新的排列， $A^{'}$ ： $b_{1}, b_{2}, \dots, b_{n}$ ，求证： $S (A) + S (A^{'})$ 为奇数．

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17、已知函数 $f (x) = x + \frac{b}{x} - a \ln x (a, b \in R, a > 0)$
（1）若 $a = 1$ ， $b = 2$ ，若 $f (x)$ 的单调区间；
（2）当 $b = 1$ 时，若 $f (x)$ 存在唯一的零点 $x_{0}$ ，且 $x_{0} \in (n, n + 1)$ ，其中 $n \in N$ ，求 $n$ .
（参考数据： $\ln 2 \approx 0.7$ ， $\ln 3 \approx 1.1$ ）

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18、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b^{2} < 4)$ 的离心率为 $\frac{1}{2}$ ．

(1)、求椭圆E的方程和短轴长；

(2)、设直线 $l_{1} : y = k x + m$ 与椭圆E相切于第一象限内的点P，不过原点O且平行于 $l_{1}$ 的直线 $l_{2}$ 与椭圆E交于不同的两点A，B，点A关于原点O的对称点为C，证明： $O P ∥ B C$ ．

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19、某城市一条地铁新线开通了试运营，此次开通了 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 共6座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐该地铁新线的200名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表（单位：人）：
下车站
上车站
$A$
$B$
$C$
$D$
$E$
$F$
合计
$A$
$/ / /$
5
6
4
2
7
24
$B$
12
$/ / /$
20
13
7
8
60
$C$
5
7
$/ / /$
3
8
1
24
$D$
13
9
9
$/ / /$
1
6
38
$E$
4
10
16
2
$/ / /$
3
35
$F$
2
5
5
4
3
$/ / /$
19
合计
36
36
56
26
21
25
200

(1)、在试运营期间，从在 $B$ 站上车的乘客中任选1人，估计该乘客在 $C$ 站下车的概率；

(2)、以频率估计概率，在试运营期间，从在 $A$ 站上车的所有乘客和在 $B$ 站上车的所有乘客中各随机选取1人，设其中在 $C$ 站下车的人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列以及数学期望；

(3)、为了研究各站客流量的相关情况，用 $ξ_{1}$ 示所有在 $B$ 站上下车的乘客的上、下车情况，“ $ξ_{1} = 1$ ”表示上车， $ξ_{1} = 0$ ”表示下车．相应地，用 $ξ_{2}$ ， $ξ_{3}$ 分别表示在 $C$ 站， $D$ 站上、下车情况，直接写出方差 $D ξ_{1}$ ， $D ξ_{2}$ ， $D ξ_{3}$ 大小关系．

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20、如图，正四棱锥 $P - A B C D$ 的底面边长和高均为2，E，F分别为 $P D$ ， $P B$ 的中点．

(1)、证明： $E F ⊥ P C$ ；

(2)、若点M是线段 $P C$ 上的点，且 $P M = \frac{1}{3} P C$ ，判断点M是否在平面 $A E F$ 内，并证明你的结论；

(3)、求直线 $P B$ 与平面 $A E F$ 所成角的正弦值．

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下车站上车站	$A$	$B$	$C$	$D$	$E$	$F$	合计
$A$	$/ / /$	5	6	4	2	7	24
$B$	12	$/ / /$	20	13	7	8	60
$C$	5	7	$/ / /$	3	8	1	24
$D$	13	9	9	$/ / /$	1	6	38
$E$	4	10	16	2	$/ / /$	3	35
$F$	2	5	5	4	3	$/ / /$	19
合计	36	36	56	26	21	25	200