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相关试卷

1、如图，在平面斜坐标系 $x O y$ 中， $∠ x O y = θ$ ，平面上任意一点 $P$ 关于斜坐标系的斜坐标这样定义：若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}}$ （其中 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 分别是 $x$ 轴， $y$ 轴正方向的单位向量），则 $P$ 点的斜坐标为 $(x, y)$ ，且向量 $\vec{O P}$ 的斜坐标为 $(x, y)$ .给出以下结论，其中所有正确的结论的序号是
①若 $θ = 60 °$ ， $P (2, - 1)$ ，则 $|\vec{O P}| = \sqrt{3}$ ；
②若 $P (x_{1}, y_{1}), Q (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{O P} + \vec{O Q} = (x_{1} + x_{2}, y_{1} + y_{2})$ ；
③若 $P (x, y), λ \in R$ ，则 $λ \vec{O P} = (λ x, λ y)$ ；
④若 $\vec{O P} = (x_{1}, y_{1}), \vec{O Q} = (x_{2}, y_{2})$ ，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q} = x_{1} x_{2} + y_{1} y_{2} .$

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2、如图，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} O^{'}$ ，且 $O^{'} A^{'} ∥ B^{'} C^{'}$ ， $O^{'} C^{'} = 2 \sqrt{2}$ ， $A^{'} B^{'} = 2$ ，则该平面图形的高为.

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3、已知 $(x + y - 3) + (x - 2) i = 0$ ，则 $y =$ ．

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4、函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - π < φ < 0)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ B、函数 $f (x)$ 图象关于直线 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ 对称 C、把函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到 $g (x) = A sin ω x$ 的图象 D、 $f (x)$ 在 $[0, a]$ 上恰有3个零点，则实数 $a$ 的取值范围是 $\begin{array}{r} [\frac{11 π}{12}, \frac{19 π}{12}] \end{array}$

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5、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，D，G，E分别为所在棱的中点， $A B = 4 A F$ ，三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 挖去两个三棱锥 $A - E F G$ ， $B_{1} - B C_{1} D$ 后所得的几何体记为 $Ω$ ，则（）

A、 $Ω$ 有7个面 B、 $Ω$ 有13条棱 C、 $Ω$ 有7个顶点 D、直线 $B D / /$ 直线EF

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6、已知i为虚数单位，在复平面内，复数 $z = \frac{2 i}{2 + i}$ ，以下说法正确的是（）

A、复数z的虚部是 $\frac{4}{5} i$ B、 $| z | = 1$ C、复数z的共轭复数是 $\bar{z} = \frac{2}{5} - \frac{4}{5} i$ D、复数z的共轭复数对应的点位于第四象限

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7、已知 $\cos (α - \frac{π}{6}) + \sin α = \frac{4 \sqrt{3}}{5}$ ， $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，则 $\cos (α + \frac{2 π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $- \frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8、将函数 $f (x) = 2 \sin (2 x - \frac{π}{3})$ 的图象向左平移m（ $m > 0$ ）个单位，所得图象关于原点对称，则m的值可以是（）．

A、 $\frac{π}{3}$ B、π C、 $\frac{4π}{3}$ D、 $\frac{5π}{3}$

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9、如图，在 $△ A B C$ 中， $E$ 为边 $A B$ 的中点， $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ，则 $\vec{D E} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ B、 $\frac{5}{6} \vec{A B} + \frac{1}{3} \vec{A C}$ C、 $\frac{1}{6} \vec{A B} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{6} \vec{A B} - \frac{2}{3} \vec{A C}$

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10、在 $△ A B C$ 中，已知 $A C = 1$ ， $B C = \sqrt{3}$ ， $B = 30 °$ ，则 $A =$ （）

A、60° B、120° C、60°或120° D、30°或90°

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11、若 $\vec{a} ， \vec{b}$ 均为单位向量，且满足 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，则向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{3 π}{4}$

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12、在 $Δ A B C$ 中，已知 $\cos A = \frac{1}{2}$ ，则 $\sin A =$

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\pm \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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13、已知 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (- 1, 1)$ ，若 $\vec{a} + \vec{b} = (x, 2)$ ，则 $x =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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14、已知i为虚数单位，则 $i (1 + i) =$ （）

A、 $1 + i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $- 1 - i$

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15、若n项有穷数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = a_{n}$ ， $a_{2} = a_{n - 1}$ ， …， $a_{n} = a_{1}$ ，即 $a_{i} = a_{n - i + 1} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，则称有穷数列 $\{a_{n}\}$ 为“对称数列”．

(1)、设数列 $\{b_{n}\}$ 是项数为7的“对称数列”， $b_{n} \in N^{*}$ ，若 $b_{1}, b_{2}, b_{3}$ 成等差数列，且 $\sum_{n = 1}^{7} b_{n} = 27$ ，试写出所有可能的数列 $\{b_{n}\}$ ．

(2)、已知递增数列 $\{c_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $4 S_{n} = c_{n}^{2} + 4 n$ ．
①求 $\{c_{n}\}$ 的通项公式；
②组合数 $C_{n}^{0}, C_{n}^{1}, C_{n}^{2}, \dots, C_{n}^{n}$ 具有对称性，恰好构成一个“对称数列”，记 $P_{n} = C_{n}^{0} + c_{1} C_{n}^{1} + c_{2} C_{n}^{2} + \dots + c_{n} C_{n}^{n}$ ，求 $\sum_{i = 1}^{n} P_{i}$ ．

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16、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ，实轴长为6，A为双曲线C的左顶点，设直线l过定点 $B (- 2, 0)$ ，且与双曲线C交于E，F两点．

(1)、求双曲线C的方程；

(2)、证明：直线AE与AF的斜率之积为定值．

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17、在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B = A C = B C = C D = 2$ ， $∠ B C D = 120 °$ ， $A B ⊥ A D$ ， $E$ 为线段 $B D$ 的中点．

(1)、证明： $A B ⊥ C E$ ．

(2)、求平面 $A B C$ 与平面 $A C E$ 夹角的余弦值．

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18、甲、乙两人进行围棋比赛，每局胜者得1分，负者得0分，约定一方比另一方多3分或比赛满7局时结束，并规定：当一方比另一方多3分或比赛满7局时，得分多的一方才算赢．假设在每局比赛中不存在平局，且甲每局获胜的概率为 $\frac{2}{5}$ ，各局比赛相互独立．已知前3局中，甲胜1局，乙胜2局，两人又打了 $X$ 局后比赛结束．

(1)、求甲获得这次比赛胜利的概率；

(2)、求 $X$ 的分布列及期望．

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19、已知函数 $f (x) = x^{2} - 7 x + 6 \ln x + 10$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线与坐标轴围成的三角形的面积；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间和极小值．

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20、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = B C = 10$ ， $∠ A B C = 120 °$ ， D为AC的中点， $P D ⊥$ 平面ABC，且 $P D = 15$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 外接球的表面积为．

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