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相关试卷

1、2024年3月28日，小米集团在北京举行主题为“向前”的小米汽车上市发布会，正式发布小米SU7.在发布会上，小米集团创始人､董事长兼CEO雷军表示：“这是小米SU7第一次正式亮相，这个时代的梦想之车必须要有最先进的智能科技和最出色的驾驶质感”.小米汽车首款产品的推出引起了购车者的热议，为了了解购车者对该款汽车的购买意愿与年龄是否具有相关性，在某购车市场随机抽取了100名中青年购车意向者进行调查，现定义小于45周岁的为青年，大于等于45周岁小于60周岁的为中年，所得数据统计如下表所示：
年龄段
购车意愿
愿意购买SU7
不愿购买SU7
青年
45
15
60
中年
15
25
40
合计
60
40
100

(1)、请根据小概率值 $α = 0.001$ 的独立性检验，分析购车意向者对小米SU7的购买意愿与年龄段是否有关；

(2)、在以上随机抽取不愿购买的调查者中，按年龄比例分层抽样抽取8名，然后在被抽取的8名中再随机抽取5名进行面对面访谈.设面对面访谈中的青年人数为随机变量 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.（参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .）
$α$
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828

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2、已知 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a cos C + \sqrt{3} a sin C - b - c = 0$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $B C$ 边的中线 $A D = \frac{\sqrt{21}}{6} a$ ，且 $△ A B C$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $b + c$ 的值.

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3、已知 $e^{x} + sin x \geq a x + 1$ 对任意 $x \in [0, + \infty)$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围为.

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4、2024年3月14日是第十九届世界肾脏日.某社区服务站将从5位志愿者中选3人到两个不同的社区宣传这届肾脏日的主题：“全民肾脏健康”，其中1人去 $A$ 社区，2人去B社区，则不同的分配方案有种（用数字作答）.

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5、边长为2的正方形 $A B C D$ 中， $M, N$ 分别为 $A B, B C$ 的中点，则 $\vec{D M} \cdot \vec{D N} =$ .

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6、有 $n (n \in N^{*}, n \geq 10)$ 个编号分别为 $1, 2, 3, \dots, n$ 的盒子，1号盒子中有1个白球和2个黑球，其余盒子中均有2个白球和2个黑球.现从1号盒子任取一球放入2号盒子；再从2号盒子任取一球放入3号盒子； $\dots$ ；以此类推，记“从 $i$ 号盒子取出的球是白球”为事件 $A_{i} (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，则（）

A、 $P (A_{1} A_{2}) = \frac{3}{5}$ B、 $P (A_{1} ∣ A_{2}) = \frac{3}{7}$ C、 $P (\bar{A_{1}} + A_{2}) = \frac{13}{15}$ D、 $P (A_{n}) < P (\bar{A_{n}})$

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7、如图所示，已知角 $α, β (0 < α < β < \frac{π}{2})$ 的始边为 $x$ 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为 $A, B, M$ 为线段 $A B$ 的中点，射线 $O M$ 与单位圆交于点 $C$ ，则（）

A、 $∠ A O C = \frac{β - α}{2}$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O C} = cos \frac{β - α}{2}$ C、当 $△ A O B$ 面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 时，点 $M$ 在圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 上运动 D、点 $M$ 的坐标为 $(cos \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2}, sin \frac{α + β}{2} cos \frac{β - α}{2})$

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8、下列说法正确的是（）

A、已知两个变量线性相关，若它们的相关性越强，则相关系数越接近于1 B、正态曲线当 $μ$ 一定时， $σ$ 越小，正态曲线越“瘦高”； $σ$ 越大，正态曲线越“矮胖” C、在刻画回归模型的拟合效果时，决定系数 $R^{2}$ 的值越大，说明拟合的效果越好 D、对于独立性检验，随机变量 $χ^{2}$ 的值越大，判定“两变量有关系”犯错误的概率越大

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9、若曲线 $f (x) = e^{x} + x$ 在点 $(x_{0}, f (x_{0}))$ 处的切线方程为 $y = k x + b$ ，则 $k + b$ 的最大值为（）

A、 $e^{2} + 1$ B、 $e^{2} - 1$ C、 $e + 1$ D、 $e - 1$

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10、商家为了解某品牌电风扇的月销售量 $y$ （台）与月平均气温 $x (^{\circ} C)$ 之间的关系，随机统计了某4个月该品牌电风扇的月销售量与当月平均气温，其数据如下表；
平均气温 $(^{\circ} C)$
27
29
31
33
月销售量（台）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的 $\hat{b} = 5$ ，据此估计平均气温为 $35^{\circ} C$ 的那个月，该品牌电风扇的销售量约为（）台.

A、63 B、61 C、59 D、57

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11、已知随机变量 $ξ, η$ 满足 $2 ξ + η = 4$ ，且 $ξ \sim B (6, \frac{1}{3})$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $P (ξ = 2) = P (ξ = 4)$ B、 $E (η) = 1$ C、 $D (η) = \frac{8}{3}$ D、 $E (ξ^{2}) = \frac{16}{3}$

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12、 ${(2 x - \frac{a}{x})}^{6}$ 的展开式中常数项的值为 $- 160$ ，记展开式的二项式系数和为 $m$ ，系数和为 $n$ ，则 $m - n =$ （）

A、 $63$ B、 $65$ C、 $- 665$ D、 $793$

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13、若复数 $z = 1 - i^{2} + i^{3}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $|\bar{z}| =$ （）

A、0 B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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14、设向量 $\vec{a} = (x, 2), \vec{b} = (3, x)$ ，如果 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 共线且方向相同，则 $x$ 的值为（）

A、 $- \sqrt{6}$ B、 $\sqrt{6}$ C、0 D、 $\frac{1}{5}$

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15、已知函数 $f (x) = \frac{a^{2 x} + t}{a^{x}} (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 是奇函数．

(1)、求 $t$ 的值；

(2)、若 $0 < a < 1$ ，对任意 $x \in [0, 1]$ 有 $f (2 x^{2} - k x - k) < f (1)$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围；

(3)、设 $g (x) = \log_{m} [a^{2 x} + a^{- 2 x} - m (a^{x} - \frac{1}{a^{x}})] (m > 0, m \neq 1)$ ，若 $f (1) = \frac{3}{2}$ ，问是否存在实数 $m$ 使函数 $g (x)$ 在 $[0, 1]$ 上的最大值为0？若存在，求出 $m$ 的值；若不存在，说明理由．

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16、某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积 $x$ （单位：平方米）成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费 $C$ （单位：万元）与设备占地面积 $x$ 之间的函数关系为 $C (x) = \frac{20}{x + 5} (x > 0)$ .将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为 $y$ （单位：万元）.

(1)、要使 $y$ 不超过7.2万元，求设备占地面积 $x$ 的取值范围；

(2)、设备占地面积 $x$ 为多少时， $y$ 的值最小？

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + 2 \cos^{2} x - 1$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的周期及在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域；

(2)、若 $θ$ 为锐角且 $f (θ) = - \frac{2}{5}$ ，求 $\cos 2 θ$ 的值．

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18、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，当 $x > 0$ 时， $f (x) = x + \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 在R上的解析式；

(2)、判断 $f (x)$ 在 $(- 1, 0)$ 上的单调性，并给出证明.

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19、（1）已知角 $α$ 的终边经过点 $P (\frac{4}{5}, - \frac{3}{5})$ ，求 $\frac{sin (\frac{π}{2} - α) \cdot tan (α - π)}{sin (π + α) \cdot cos (3 π - α)}$ 的值；
（2）已知 $0 < x < π$ ， $sin x + cos x = \frac{1}{5}$ ，求 $tan x$ 的值．

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20、已知集合 $A = {x ∣ x > 3 a + 1}$ ，集合 $B = \{x ∣ x^{2} - 5 x + 6 > 0\}$

(1)、当 $a = - 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若 $A \cup B = B$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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年龄段	购车意愿
年龄段	愿意购买SU7	不愿购买SU7
青年	45	15	60
中年	15	25	40
合计	60	40	100

平均气温 $(^{\circ} C)$	27	29	31	33
月销售量（台）	24	33	40	55

$α$	0.1	0.05	0.01	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635	7.879	10.828