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相关试卷

1、如图所示，梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 是平面图形 $A B C D$ 用斜二测画法得到的直观图， $A^{'} D^{'} = 2$ ， $A^{'} B^{'} = B^{'} C^{'} = 1$ ，则平面图形 $A B C D$ 中对角线 $A C$ 的长度为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $5$

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2、在 $△ A B C$ 中， $a$ 、 $b$ 、 $c$ 分别是内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边，若 $a = \sqrt{2}$ ， $b = \sqrt{6}$ ， $A = 30^{\circ}$ ，则边 $c =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ 或 $\sqrt{6}$ C、 $\sqrt{2}$ 或 $2 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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3、已知函数 $f (x) = 2 e^{x} - e x$ ．

(1)、求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、求证： $f (x) \geq e (\ln x + 1)$ ．

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4、已知函数 $f (x) = \ln x + \frac{a}{x}$ .
（1）当 $a < 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的单调区间；
（2）若函数 $f (x)$ 在 $[1, e]$ 上的最小值是 $\frac{3}{2}$ ，求a的值.

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5、已知函数 $f (x) = x^{3} + x - 16$ ．

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程．

(2)、若直线 $l$ 为曲线 $y = f (x)$ 的切线，且经过原点，求直线 $l$ 的方程及切点坐标．

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6、求下列函数的导数．

(1)、 $y = {(x + 1)}^{99}$ ；

(2)、 $y = \frac{x}{\sqrt{2 x + 1}}$ ；

(3)、 $y = (2 x - 3) \sin (2 x + 5)$ ；

(4)、 $y = \frac{\cos (3 x - 2)}{2 x}$ ；

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7、一个箱子的容积与底面边长x的关系为 $V (x) = x^{2} (\frac{90 - x}{2}) (0 < x < 90)$ ，则当箱子的容积最大时， $x =$ ．

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8、设函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x}$ ， $x \in [1, 4]$ 则 $f (x)$ 的最大值为，最小值为．

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9、若函数 $f (x) = \frac{1}{2} x^{2} - 2 x - a e^{x}$ 的图象在点 $(0, f (0))$ 处的切线平行于 $x$ 轴，则 $a =$ .

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，函数 $f (x)$ 的导函数 $f^{'} (x)$ 的图象如图所示，则下列选项正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的单调递减区间是 $(- \infty, - 2)$ B、函数 $f (x)$ 的单调递增区间是 $(- \infty, - 2)$ ， $(0, + \infty)$ C、 $x = 2$ 处是函数 $f (x)$ 的极值点 D、 $x = - 1$ 时，函数的导函数小于0

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11、已知函数 $y = f (x)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $Δ y = f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})$ 叫做函数值的增量 B、 $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0})}{Δ x}$ 叫做函数在 $[x_{0}, x_{0} + Δ x]$ 上的平均变化率 C、 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数记为 $y^{'}$ D、 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处的导数记为 $f^{'} (x_{0})$

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12、下列求导数运算正确的有（）

A、 $(\sin x)^{'} = \cos x$ B、 $(\frac{1}{x})^{'} = \frac{1}{x^{2}}$ C、 $(\log_{3} x)^{'} = \frac{1}{3 \ln x}$ D、 $(\ln x)^{'} = \frac{1}{x}$

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13、当 $x = 1$ 时，函数 $f (x) = a \ln x + \frac{b}{x}$ 取得最大值 $- 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 4$ C、2 D、4

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14、已知函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ，且 $f (x) = 2 x f^{'} (e) + \ln x$ ，则 $f (e) =$ （）

A、 $- \frac{1}{e}$ B、 $- 1$ C、1 D、 $e$

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15、曲线 $y = \ln x$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{3}$

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16、已知函数 $f (x) = x \cos x - \sin x$ ，则 $f^{'} (\frac{π}{2})$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $- \frac{π}{2}$ C、 $- 1$ D、 $- π$

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17、设 $f (x)$ 在 $x = x_{0}$ 处可导，则 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (x_{0} + Δ x) - f (x_{0} - Δ x)}{2 Δ x} =$ （）．

A、 $2 f^{'} (x_{0})$ B、 $\frac{1}{2} f^{'} (x_{0})$ C、 $f^{'} (x_{0})$ D、 $4 f^{'} (x_{0})$

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18、已知某质点运动的方程是 $s = 2 + \frac{1}{t}$ ，当t由1变到2时，其路程的增量 $Δ s$ 等于（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、1 D、 $- 1$

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19、将连续正整数 $1, 2, 3, \cdot \cdot \cdot, n$ （ $n \in N^{*}$ ）从小到大排列构成一个数 $123 \cdot \cdot \cdot n$ ， $F (n)$ 为这个数的位数．例如：当 $n = 12$ 时，此数为123456789101112，共有15个数字，则 $F (12) = 15$ ．现从这个数中随机取一个数字， $P (n)$ 为恰好取到0的概率．

(1)、求 $P (101)$ ；

(2)、当 $n \leq 2024$ 时，求 $F (n)$ 的表达式；

(3)、令 $f (n)$ 为这个数中数字9的个数， $g (n)$ 为这个数中数字0的个数， $h (n) = f (n) - g (n)$ ， $S = \{n |h (n) = 1, n \leq 100, n \in N^{*}\}$ ，求当 $n \in S$ 时 $P (n)$ 的最大值．

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $M$ 为 $A P$ 边上的中点， $N$ 为 $C P$ 边上的中点，平面 $P B C ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $∠ P B C = 90 °$ ， $A D / / B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ， $2 A B = 2 A D = \sqrt{2} C D = B C = 2$ .

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、求证： $C D ⊥ P D$ ；

(3)、若直线 $P D$ 与底面 $A B C D$ 所成角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ ，求二面角 $B - P C - D$ 的正切值.

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