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相关试卷

1、求下列情况下 $a$ 的值

(1)、若函数 $f (x) = x^{3} (a \cdot 2^{x} - 2^{- x})$ 是偶函数，求 $a$ 的值．

(2)、已知 $f (x)$ 是奇函数，且当 $x < 0$ 时， $f (x) = - e^{a x}$ ，若 $f (l n 2) = 8$ ，求 $a$ 的值．

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2、已知函数 $f (x) = l o g_{2} (4^{x} + 1) - k x$ （其中 $k \in R$ ）为偶函数.

(1)、求实数 $k$ 的值；

(2)、讨论函数 $g (x) = (2 k)^{f (x)} - (m \cdot 2^{x} - m) (m > 0)$ 的零点情况.

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3、已知函数 $f (x)$ 是偶函数，对任意 $x \in R$ ，均有 $f (x) = f (x + 2)$ ，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 1 - x$ ，则函数 $g (x) = f (x) - l o g_{5} (x + 1)$ 的零点有个.

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4、函数 $g (x) = \frac{e^{x} - e^{- x}}{2} + l n \frac{2 - x}{2 + x} + 2$ ，若 $g (a) = 6$ ，则 $g (- a) =$ .

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5、已知 $f (x) = s i n (x + \frac{π}{6})$ ， $g (x) = s i n (x - \frac{π}{3})$ ，则（）

A、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可以得到 $g (x)$ 的图象 B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度可以得到 $g (x)$ 的图象 C、 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 对称 D、 $f (x)$ 的图象与 $g (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{7 π}{12}$ 对称

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数， $f (2 x + 1)$ 为偶函数，则（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 B、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 C、 $f (1) + f (7) = 0$ D、 $f (1) + f (2) + f (3) + ⋯ + f (2024) = 0$

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7、已知函数 $f (x) = s i n x \cdot | c o s x |$ ，则（）

A、 $f (x)$ 是奇函数 B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、 $f (x)$ 的最小值为 $- \frac{1}{2}$ D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增

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8、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R，对任意实数x都有 $f (x + 2) = - f (x)$ 成立，且函数 $f (x + 1)$ 为偶函数， $f (1) = 2$ ，则 $f (1) + f (2) + ⋯ + f (2024) =$ （）

A、-1 B、0 C、1012 D、2024

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9、已知函数 $f (x)$ 满足 $f (x + y) = f (x) + f (y) + 2 x y$ ， $f (\frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ .则 $f (100) =$ .

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10、定义在 $(0, + ∞)$ 上的函数 $f (x)$ 满足下列条件：（1） $f (\frac{x}{y}) = y f (x) - x f (y)$ ；（2）当 $x > 1$ 时， $f (x) > 0$ ，则（）

A、 $f (1) = 0$ B、当 $0 < x < 1$ 时， $f (x) < 0$ C、 $f (x^{2}) ≥ 2 f (x)$ D、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上单调递减

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11、已知定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x + 1) + f (x + 3) = f (2024)$ ， $f (- x) = f (x + 2)$ ，且 $f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{4}$ ，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为4 B、 $f (2) = 0$ C、函数 $f (x - 1)$ 是奇函数 D、 $\sum_{k = 1} k \cdot f (k - \frac{1}{2}) = - 2024$

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12、函数 $f (x)$ 满足：当 $x > 0$ 时， $f (x) = {\begin{array}{l} \sqrt{4 x - x^{2}}, 0 < x \leq 2 \\ 2^{| x - 3 |} + \frac{1}{3}, x > 2 \end{array}$ ， $y = f (x) + \frac{1}{2}$ 是奇函数．记关于 $x$ 的方程 $f (x) - k x + \frac{1}{2} = 0 (k \in R)$ 的根为 $x_{1}, x_{2}, \cdot \cdot \cdot, x_{m}$ ，若 $\sum_{i = 1}^{m} f (x_{i}) = - \frac{7}{2}$ ，则 $k$ 的值可以为（）

A、 $\frac{11}{18}$ B、 $\frac{17}{12}$ C、 $\frac{5}{4}$ D、1

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13、已知定义在R上的函数 $f (x)$ 满足对任意实数 $x$ 都有 $f (x + 3) = f (x + 2) f (x + 1)$ ， $f (x) = f (2 - x)$ 成立，若 $f (2) = 1$ ，则 $\sum_{k = 1}^{n} f (k) =$ ．

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14、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，记 $g (x) = f^{'} (x)$ .若函数 $y = f (x + 1) - x$ 与 $y = g (x + 2)$ 均为偶函数，则下列结论中正确的是（）

A、 $g^{'} (2) = 0$ B、函数 $y = \frac{f (x + 1)}{x}$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称 C、 $g (x + 2) = g (x)$ D、 $\sum_{k = 1} g (k) = 2025$

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15、已知函数 $f (x)$ 对任意 $x \in R$ 都有 $f (x) = - f (x + 2)$ ，且函数 $f (x + 1)$ 的图象关于 $(- 1, 0)$ 对称，当 $x \in [- 1, 1]$ 时， $f (x) = t a n x$ .则下列结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $(k, 0) (k \in Z)$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2 k (k \in Z)$ 对称 C、函数 $y = | f (x) |$ 的最小正周期为2 D、当 $x \in [2, 3]$ 时， $f (x) = t a n (x - 2)$

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16、下列关于函数 $f (x) = t a n x + \frac{1}{t a n x}$ 的四个结论中错误的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于原点对称 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(π, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{4}$ 对称 D、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{4})$ 上单调递增

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17、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + y) + f (x - y) = f (x) f (y)$ ， $f (1) = 1$ ，则 $f (2024) =$ ．

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18、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (x + 2)$ 是奇函数， $f (x - 1)$ 是偶函数， $f (0) = 1$ ，则 $f (726) =$ ．

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19、设定义在 $R$ 上的函数 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的导函数分别为 $f^{'} (x)$ 和 $g^{'} (x)$ .若 $f (x + 4) = g (- x) + 2$ ， $g^{'} (x + 2) = f^{'} (x)$ ，且 $f (x + 2)$ 为奇函数，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 1$ 对称 B、 $g (2023) + g (2025) = - 2$ C、 $\sum_{k = 1}^{2023} f (k) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2023} g (k) = 0$

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20、德国数学家狄利克雷（Dirichlet）是解析数论的创始人之一，下列关于狄利克雷函数 $D (x) = {\begin{array}{l} 1, x 为有理数 \\ 0, x 为无理数 \end{array}$ 的结论正确的是（）

A、 $D (D (x))$ 有零点 B、 $D (x)$ 是单调函数 C、 $D (x)$ 是奇函数 D、 $D (x)$ 是周期函数

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