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相关试卷

1、欧拉公式： $e^{i x} = \cos x + i \sin x$ （ $i$ 为虚数单位， $x \in R$ ），是由瑞士著名数学家欧拉发现的．它将指数函数的定义域扩大到了复数，建立了三角函数和指数函数之间的关系，它被誉为“数学中的天桥”．

(1)、根据欧拉公式计算 $e^{\frac{2}{3} πi}$ ；

(2)、设函数 $f (x) = {(e^{i x} + e^{- i x})}^{2} + {(e^{i x} - e^{- i x})}^{2}$ ，求函数 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 上的值域．

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2、如图在三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 中，四边形 $A C C^{'} A^{'}$ 是等腰梯形，平面 $A C C^{'} A^{'} ⊥$ 平面 $A B C$ ， $∠ A^{'} A C = 45 °$ ， $A B = B C = A C = 2 A^{'} C^{'} = 2$ ．

(1)、求三棱台 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的体积；

(2)、求平面 $A^{'} B C$ 与平面 $A B C$ 夹角的余弦值．

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3、已知钝角 $△ A B C$ 中，若 $A > B$ ，则下列命题中正确的是（）

A、 $\sin A > \sin B$ B、 $\cos A > \sin B$ C、 $\cos A < \cos B$ D、 $\sin A < \cos B$

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4、设A、B、C是函数 $f (x) = \sin ω x (ω > 0)$ 与函数 $g (x) = \cos (\frac{5 π}{6} - ω x) (ω > 0)$ 的图象连续相邻的三个交点，若 $△ A B C$ 是锐角三角形，则 $ω$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{\sqrt{3}}{3} π)$ B、 $(\frac{\sqrt{3}}{3} π, + \infty)$ C、 $(0, \frac{\sqrt{2}}{2} π)$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} π, + \infty)$

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5、已知 $A 、 B 、 C$ 三点在以 $O$ 为圆心，1为半径的圆上运动，且 $A C ⊥ B C$ ，为圆 $O$ 所在平面内一点，且 $|O M| = 2$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $|\vec{M C}|$ 的最小值是1 B、 $\vec{M A} \cdot \vec{M B}$ 为定值 C、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最大值是10 D、 $|\vec{M A} + \vec{M B} + 2 \vec{M C}|$ 的最小值是8

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6、已知 $m$ 、 $n$ 为异面直线， $m ⊥$ 平面 $α$ ， $n ⊥$ 平面 $β$ ，若直线 $l$ 满足 $m ⊥ l$ ， $n ⊥ l$ ， $l ⊄ α$ ， $l ⊄ β$ ，则（）

A、 $α ∥ β$ ， $l ∥ α$ B、 $α ⊥ β$ ， $l ⊥ β$ C、 $α \cap β =$ 直线 $r$ ， $r ∥ l$ D、 $α \cap β =$ 直线 $r$ ， $r ⊥ l$

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7、已知点O为 $△ A B C$ 所在平面内一点，且 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}|$ ， $\vec{O A} + \vec{O B} + \vec{O C} = \vec{0}$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O B} \cdot \vec{O C} = \vec{O C} \cdot \vec{O A}$ ，则 $△ A B C$ 为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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8、已知复数z满足 $(1 + i) z = 1 - i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则z的虚部为（）

A、0 B、 $- 1$ C、1 D、 $- i$

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为正方形，且 $P A = P C$ ， $P B = P D$ ，

(1)、若 $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O$ ，证明： $P O ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、棱 $P D$ 上的点 $E$ 满足 $P E = 2 D E$ ，若 $P A = \sqrt{3}$ ， $A B = 2$ ，求直线 $C E$ 与平面 $P B C$ 所成角的正弦值．

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10、意大利著名数学家莱昂纳多·斐波那契（Leonardo·Fibonacci）在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，8，13，21，34，……，该数列的特点是：前两个数都是1，从第三个数起，每一个数都等于它的前面两个数的和，人们把这样的一列数称为“斐波那契数列”．同时，随着n趋于无穷大，其前一项与后一项的比值越来越逼近黄金分割 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2} \approx 0.618$ ，因此又称“黄金分割数列”，记斐波那契数列为 $\{a_{n}\}$ ．记一个新的数列 $\{b_{n}\}$ ，其中 $b_{n}$ 的值为 $a_{n}$ 除以4得到的余数，则 $\sum_{i = 1}^{2024} b_{i} =$ ．

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11、布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）

A、 $\vec{Q C} = \vec{A D} + 2 \vec{A B} - 2 \vec{A A_{1}}$ B、若M为线段CQ上的一个动点，则 $\vec{B M} \cdot \vec{B D}$ 的最小值为1 C、点F到直线CQ的距离是 $\frac{\sqrt{17}}{3}$ D、异面直线CQ与 $A D_{1}$ 所成角的正切值为 $\sqrt{17}$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则（）

A、数列 $\{\frac{S_{n}}{n}\}$ 是等差数列 B、数列 $\{3^{a_{n}}\}$ 是等比数列 C、数列 $\{ln T_{n}\}$ 是等差数列 D、数列 $\{\frac{T_{n + 2}}{T_{n}}\}$ 是等比数列

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13、设双曲线 $Γ$ 的中心为O，右焦点为F，点B满足 $2 \vec{F B} = \vec{O F}$ ，若在双曲线 $Γ$ 的右支上存在一点A，使得 $|O A| = |O F|$ ，且 $∠ O A B \geq 3 ∠ O B A$ ，则 $Γ$ 的离心率的取值范围是（）

A、 $[\frac{2 \sqrt{15} - 2}{7}, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ B、 $(1, \frac{2 \sqrt{15} + 2}{7}]$ C、 $(1, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$ D、 $[\frac{3 \sqrt{15} - 3}{7}, \frac{3 \sqrt{15} + 3}{7}]$

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14、设平面 $α$ 内不共线的三点A，B，C以及平面外一点P，若平面 $α$ 内存在一点D满足 $\vec{P D} = x \vec{P A} + (2 - x)$ $\vec{P B} + 3 x \vec{P C}$ ，则x的值为（）

A、0 B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{2}{3}$

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15、若数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的项数均为 $m$ ，则将数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的距离定义为 $\sum_{i = 1}^{m} |a_{i} - b_{i}|$ .

(1)、求数列1，3，5，6和数列2，3，10，7的距离；

(2)、记A为满足递推关系 $a_{n + 1} = \frac{1 + a_{n}}{1 - a_{n}}$ 的所有数列 $\{a_{n}\}$ 的集合，数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 为A中的两个元素，且项数均为 $m$ .若 $b_{1} = 2$ ， $c_{1} = 3$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 和 $\{c_{n}\}$ 的距离 $\sum_{i = 1}^{m} |b_{i} - c_{i}| \leq 2024$ ，求m的最大值；

(3)、记S是所有7项数列 $\{a_{n}\}$ （其中 $1 \leq n \leq 7$ ， $a_{n} = 0$ 或1）的集合， $T \subseteq S$ ，且T中的任何两个元素的距离大于或等于3.求证：T中的元素个数小于或等于16.

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16、如图，长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 A B = 2 B C = 8$ ，点M是棱 $C C_{1}$ 的中点，点E在 $C C_{1}$ 上，且 $C E = 2$ .

(1)、证明： $A M / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求平面 $B D E$ 与平面 $C D E$ 的夹角的余弦值

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17、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量 $ξ$ 表示所选3人中女生的人数.
（1）求 $ξ$ 的分布列；
（2）求 $ξ$ 的数学期望；
（3）求“所选3人中女生人数 $ξ \leq 1$ ”的概率.

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18、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著.该书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周六尺，高四尺.问：积及委米几何?”其意思：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为6尺，米堆的高为4尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.6立方尺，圆周率约为3，估算堆放的米约有斛.

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19、已知 $\vec{a} = (2, 1, 0)$ ， $\vec{b} = (- 1, 0, 1)$ .则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ .

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20、已知 $|\vec{A C}| = 3$ ， $|\vec{A B}| = 5$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{A C} = - \frac{15}{2}$ ，则 $|\vec{B C}| =$ （）

A、6 B、7 C、 $\sqrt{19}$ D、 $\sqrt{34}$

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