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相关试卷

1、已知一个半径为 $3.2$ 米的水轮如图所示，水轮圆心 $O$ 距离水面 $1.6$ 米，且按顺时针方向匀速转动，每 $45$ 秒转动一圈.如果以水轮上点 $P$ 从水面浮现时（图中点 $P_{0}$ 位置）开始计时，记点 $P$ 距离水面的高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式为 $h (t) = A sin (ω t + φ) + B (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .

(1)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 距离水面高度 $h (m)$ 关于时间 $t (s)$ 的函数解析式；

(2)、在水轮转动的一周内，求点 $P$ 在水面下方的时间段.

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2、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} sin x, \sqrt{2} sin x + cos x), \vec{b} = (cos x, cos x - \sqrt{2} sin x), f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{1}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式及其单调递减区间；

(2)、若函数 $y = f (x) - k$ 在区间 $[- \frac{π}{2}, \frac{π}{4}]$ 上有且仅有两个零点，求实数 $k$ 的取值范围.

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3、已知集合 $A = \{x ||x - \frac{1}{2}| \leq \frac{3}{2}\}$ ， $B = \{x |3 - 2 m \leq x \leq 2 m + 1\}$ .

(1)、当 $m = 1$ 时，求 $A \cup B$ ；

(2)、从① $∁_{R} A \subseteq ∁_{R} B$ ；② $B \cap (∁_{R} A) = \emptyset$ ；③ $A \cup B = A$ 中任选一个作为已知条件，求实数 $m$ 的取值范围.

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4、求解下列各题：

(1)、计算： ${(\frac{9}{4})}^{\frac{1}{2}} - \sqrt[4]{2} \times 8^{0.25} + 2^{{log}_{4} 9} + {log}_{2} 9 \times {log}_{3} 4$ ；

(2)、已知 ${sin}^{4} θ + {cos}^{4} θ = \frac{5}{9}$ ，求 $cos 4 θ$ 的值.

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5、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + \frac{m}{x} - 1, x \geq 2 \\ |2^{- x} - m|, x < 2 \end{array}$ ，若对任意 $x_{1} \in [2, + \infty)$ ，都存在唯一的 $x_{2} \in (- \infty, 2)$ ，使得 $f (x_{2}) = f (x_{1})$ ，则实数 $m$ 的取值范围是.

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6、已知函数 $f (x) = \frac{sin x - b}{cos x - \sqrt{2}} + a x$ 在 $R$ 上既有最大值 $M$ ，又有最小值 $m$ .若 $M + m = 4$ ，则 $a =$ ， $b =$ .

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7、与向量 $\vec{a} = (2, - 3)$ 共线的一个单位向量的坐标是.

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8、杭州第19届亚洲运动会于2023年9月23日至10月8日在中国浙江省杭州市举行，本届亚运会的会徽名为“潮涌”，主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成如图1所示，其中扇面造型突出反映了江南的人文意蕴.会徽的几何图形如图2所示，设弧 $A D$ 的长度是 $l_{1}$ ，弧 $B C$ 的长度是 $l_{2}$ ，几何图形 $A B C D$ 的面积为 $S_{1}$ ，扇形 $B O C$ 的面积为 $S_{2}$ .若 $\frac{S_{1}}{S_{2}} = 3$ ，则 $\frac{l_{1}}{l_{2}} =$ .

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9、下列大小关系正确的是（）

A、 ${log}_{0.2} 2023 > {log}_{0.3} 2023$ B、 ${log}_{2022} 2023 > {log}_{2023} 2024$ C、 $\sqrt{2} > {log}_{2} 3$ D、 ${log}_{2} \frac{2024}{2023} > \frac{1}{2023}$

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10、若 $lg a + lg b = lg (a + 2 b)$ ，则（）

A、 $a b$ 的最小值是 $2 \sqrt{2}$ B、 $a + b$ 的最小值是 $3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{1}{a} - \frac{b}{8}$ 的最大值是0 D、 $\frac{2}{a + 1} + \frac{1}{b + 1}$ 的最大值是 $\frac{3}{4}$

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11、已知边长为 $1$ 的正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n}$ .若集合 $P = \{m |m = \vec{A_{1} A_{2}} \cdot \vec{A_{i} A_{j}} (i, j \in \{1, 2, \dots, n\}$ 且 $i \neq j)\}$ ，则（）

A、当 $n = 3$ 时， $P = \{- 1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 1\}$ B、当 $n = 4$ 时， $P = \{- 1, 1\}$ C、当 $n = 5$ 时， $2 {cos}^{2} 36^{\circ} \in P$ D、当 $n = 6$ 时， $\{0, 1, 2\} \subseteq P$

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12、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ .若 $f (x - \frac{π}{8})$ 为奇函数， $f (x + \frac{π}{8})$ 为偶函数，且 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{6})$ 上没有最小值，则 $ω$ 的最大值是（）

A、2 B、6 C、10 D、14

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13、某试验小组研究某种植物在一定条件下的生长规律，根据试验数据可知，在相同条件下，这种植物每周以 $a %$ 的增长率生长.若经过 $4$ 周后，该植物的长度是原来的 $\frac{3}{2}$ 倍，则再经过 $6$ 周，该植物的长度大约是原来的（）

A、 $\frac{9 \sqrt{6}}{2}$ 倍 B、 $\frac{9 \sqrt{6}}{4}$ 倍 C、 $\frac{9 \sqrt{6}}{8}$ 倍 D、 $\frac{9 \sqrt{6}}{16}$ 倍

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14、若函数 $f (x) = \frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x - |x - a|}$ 为偶函数，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \leq - 3$ B、 $a \geq 3$ C、 $- 3 \leq a \leq 3$ D、 $a \leq - 3$ 或 $a \geq 3$

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15、已知菱形 $A B C D$ 的边长为1，若 $∠ B A D = 60 °$ ，则 $|\vec{A B} + 2 \vec{B C}| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、2 C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{7}$

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16、“ $\frac{b}{a} < 1$ ”是“ $a < b < 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、为了得到函数 $y = sin x$ 的图象，可以将函数 $y = sin (x + \frac{1}{4})$ 的图象（）

A、向左平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 B、向右平移 $\frac{1}{4}$ 个单位长度 C、向左平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度 D、向右平移 $\frac{1}{8}$ 个单位长度

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18、若集合 $M = \{x |3^{x} < 81\}$ ， $N = \{0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $M \cap N$ 的子集个数是（）

A、 $4$ B、 $8$ C、 $16$ D、 $32$

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19、“风筝”是中国传统文化中不可或缺的一部分，距今已有2000多年的历史．相传在东周春秋时期，墨翟以木头制成木鸟，是人类最早的风筝起源．后来鲁班用竹子，改进墨翟的风筝材质，直至东汉期间，蔡伦改进造纸术后，坊间才开始以纸做风筝，称为“纸鸢”．到南北朝时，风筝开始成为传递信息的工具；从隋唐开始，由于造纸业的发达，民间开始用纸来裱糊风筝；到了宋代的时候，放风筝成为人们喜爱的户外活动．风筝主要由骨架、风筝面、尾翼、提线、放飞线五部分组成．如图（1）就是一个由菱形的风筝面ABCD和两个直角三角形尾翼 $△ A D Q$ 和 $△ C D P$ 所组成的风筝．其中 $∠ B A D = \frac{π}{3}$ ， $P D ⊥ C D$ ， $Q D ⊥ A D$ ， $A D = 1$ ， $P D = Q D = \sqrt{2}$ ．现将此风筝的两个尾翼分别沿 $A D 、 C D$ 折起，使得点P与点Q重合于点S，并连结 $B S$ ，得到如图（2）所示的四棱锥 $S - A B C D$ ．

(1)、求证： $A C ⊥$ 平面 $S B D$ ；

(2)、若E为棱 $S A$ 上一点，记 $\frac{|S E|}{|S A|} = λ (0 \leq λ \leq 1)$
①若 $λ = \frac{1}{3}$ 求直线 $C E$ 与平面 $S B D$ 所成角的正切值；
②是否存在点E使得直线 $C E$ 与直线 $A D$ 所成角为 $60 °$ ，若存在请求出 $λ$ 的值，若不存在请说明理由．

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20、如图在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 30 °$ ， $A B = 2 A D = 4$ ， $E 、 F$ 分别为 $A B$ 和 $B C$ 上的动点（包含端点），且 $\vec{A E} = λ \vec{A B}$ ， $\vec{B F} = μ \vec{B C}$ ．

(1)、若 $λ = μ = \frac{1}{2}$
①请用 $\vec{A F}$ ， $\vec{D E}$ 表示 $\vec{A B}$
②设 $A F$ 与 $D E$ 相交于点 $G$ ，求 $\frac{|\vec{A G}|}{|\vec{A F}|}$

(2)、若 $λ + μ = 1$ ，求 $\vec{A F} \cdot \vec{D E}$ 的取值范围．

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