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相关试卷

1、2023年9月17日，联合国教科文组织第45届世界遗产大会通过决议，将中国“普洱景迈山古茶树文化景观”列入《世界遗产名录》，成为全球首个茶主题世界文化遗产.经验表明，某种普洱茶用95 $℃$ 的水冲泡，等茶水温度降至60 $℃$ 饮用，口感最佳.某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位： $℃$ ）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示：
时间／分钟
0
1
2
3
4
5
水温／ $℃$
95.00
88.00
81.70
76.03
70.93
66.33

(1)、给出下列三种函数模型：① $y = a t + b (a < 0)$ ， ② $y = a \cdot b^{t} + c (a > 0, 0 < b < 1)$ ， ③ $y = \log_{a} (t + b) + c (b > 0, a > 1)$ ，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，简单叙述理由，并利用前2分钟的数据求出相应的解析式.

(2)、根据（1）中所求模型，
（i）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）；
（ii）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间（精确到0.1）．
（参考数据： $\lg 3 \approx 0.477, \lg 5 \approx 0.699$ ）

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2、在① $2 sin (A + \frac{π}{6}) = \frac{a + c}{b}$ ， ② $(a + c - b) (a + c + b) = 3 a c$ ， ③ $\frac{sin A - sin B}{a - c} = \frac{sin C}{a + b}$ 这三个条件中任选一个补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且______．

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B C = 3 A B$ ，求 $\sin A$ ．

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3、求值：

(1)、 $8^{0.25} \times \sqrt[4]{2} + \log_{5} 10 - \frac{1}{\log_{2} 5} - 2^{\log_{2} 3}$ ；

(2)、已知 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b = 1$ ，求 $\frac{1}{a} (b + \frac{1}{b})$ 的最小值.

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4、函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} |\log_{5} (1 - x)| (x < 1) \\ - {(x - 2)}^{2} + 2 (x \geq 1) \end{array}$ ，若关于x的方程 $f (x + \frac{1}{x} - 2) - t = 0$ 恰好有4个不同的实数根，则实数t的取值范围是.

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5、在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，则它的外接球的表面积为；若E为 $B_{1} C_{1}$ 的中点，则过B、D、E三点的平面截正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 所得的截面面积为.

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6、在△ABC中， $∠ A = 60 °$ ， $A B = 3$ ， $A C = 2$ ，则 $B C =$ ；若 $\vec{B D} = 2 \vec{D C}$ ， $\vec{A E} = λ \vec{A C} - \vec{A B}$ （ $λ \in R$ ），且 $\vec{A D} \cdot \vec{A E} = - 4$ ，则 $λ$ 的值为.

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7、已知函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有 $3$ 个对称中心，则下列正确的是（）

A、 $ω$ 的值可能是 $3$ B、 $f (x)$ 的最小正周期可能是 $\frac{2π}{3}$ C、 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{16}]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 图象的对称轴可能是 $x = \frac{3π}{8}$

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8、下列对应关系f，能构成从集合M到集合N的函数的是（）

A、 $M = \{\frac{1}{2}, 1, \frac{3}{2}\}$ ， $N = {- 6, - 3, 1}$ ， $f (\frac{1}{2}) = - 6$ ， $f (1) = - 3$ ， $f (\frac{3}{2}) = 1$ B、 $M = N = {x | x \geq - 1}$ ， $f (x) = 2 x + 1$ C、 $M = N = {1, 2, 3}$ ， $f (x) = 2 x + 1$ D、 $M = Z$ ， $N = {- 1, 1}$ ， $f (x) = \{\begin{array}{l} - 1, x 为奇数, \\ 1, x 为偶数 . \end{array}$

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9、正方形ABCD的边长为6点E，F分别在边AD，BC上，且 $D E = E A$ ， $C F = 2 F B$ .如果对于常数 $λ$ ，在正方形ABCD的四条边上（不含顶点）有且只有6个不同的点P，使得 $\vec{P E} \cdot \vec{P F} = λ$ 成立，那么 $λ$ 的取值范围为（）

A、 $(- 3, - \frac{1}{4})$ B、 $(- 3, 3)$ C、 $(3, 12)$ D、 $(- \frac{1}{4}, 3)$

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10、函数 $f (x) = x + \ln (\sqrt{x^{2} + 1} + x) \cdot \cos x$ 在 $[- 2 π, 2 π]$ 上的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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11、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为水平放置的 $△ A B C$ 的直观图，其中 $A^{'} B^{'} = 2$ ， $A^{'} C^{'} = B^{'} C^{'} = \sqrt{10}$ ，则在原平面图形 $△ A B C$ 中有（）

A、 $A C = B C$ B、 $A B = 2$ C、 $B C = \sqrt{82}$ D、 $S_{△ A B C} = 3 \sqrt{2}$

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12、一个正四棱台形状的鱼塘，灌满水时，蓄水量为9100 $m^{3}$ ，若它的两底面边长分别为60m和50m，则此时鱼塘的水深（）

A、2m B、3m C、3.5m D、4m

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13、若复数 $\frac{a + b i}{1 + 2 i} (a, b \in R)$ 为纯虚数，则 $\frac{a}{b} =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、－2 C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、已知集合 $A = \{x| x < 5\}$ ， $B = \{x| 3 - x < 1\}$ 则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- 2, 5)$ B、 $(4, 5)$ C、 $(2, 5)$ D、 $(- \infty, 2)$

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15、已知函数 $f (x), g (x), h (x)$ 的定义域均为 $R$ ，给出下面两个定义：
①若存在唯一的 $x \in R$ ，使得 $f (g (x)) = h (f (x))$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ 唯一交换；
②若对任意的 $x \in R$ ，均有 $f (g (x)) = h (f (x))$ ，则称 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ 任意交换．

(1)、请判断函数 $g (x) = x + 1$ 与 $h (x) = x - 1$ 关于 $f (x) = x^{2}$ 是唯一交换还是任意交换，并说明理由；

(2)、设 $f (x) = a (x^{2} + 2) (a \neq 0), g (x) = x^{2} + b x - 1$ ，若存在函数 $h (x)$ ，使得 $g (x)$ 与 $h (x)$ 关于 $f (x)$ 任意交换，求b的值；

(3)、在（2）的条件下，若 $g (x)$ 与 $f (x)$ 关于 $w (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1}$ 唯一交换，求a的值．

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16、下列命题正确的是.（填序号）
①若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行；
②垂直于同一条直线的两直线平行；
③两个平面互相垂直，过一个平面内任意一点作交线的垂线，必垂直与另一个平面；
④过两个点与已知平面的垂直的平面可能不存在；
⑤过两条异面直线外任一点有且只有一条直线与这两条异面直线都垂直；
⑥到一个四面体的四个顶点的距离都相等的平面有7个.

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17、已知 $f (x) = a x - 1, g (x) = x^{2} + b x - 5 (a > 0, b \in R)$
（1）若 $a = 2$ 时， $f (x) = g (x)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为.
（2）若 $x > 0$ 时， $f (x) \cdot g (x) \geq 0$ 恒成立，则 $b + \frac{3}{a}$ 的最小值为.

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18、如图，在四面体 $A - B C D$ 中， $A C = 2, B D = \sqrt{2}, A C$ 与 $B D$ 所成的角为 $45^{\circ}$ ， $M, N$ 分别为 $A B, C D$ 的中点，则线段 $M N$ 的长为.

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19、 $A (1, 0, 2), B (1, - 3, 1)$ ，点 $M$ 在 $z$ 轴上且到 $A, B$ 两点的距离相等，则 $M$ 点的坐标为.

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20、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ B A D = 60^{\circ}, A B = A A_{1} = 2, P$ 为 $C C_{1}$ 的中点，点 $Q$ 满足 $\vec{D Q} = λ \vec{D C} + μ \vec{D D_{1}} (λ \in [0, 1], μ \in[0, 1])$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $λ + μ = \frac{1}{3}$ ，则四面体 $A_{1} B P Q$ 的体积为定值 B、若 $△ A_{1} B Q$ 的外心为 $O$ ，则 $\vec{A_{1} B} \cdot \vec{A_{1} O}$ 为定值2 C、若 $A_{1} Q = \sqrt{5}$ ，则点 $Q$ 的轨迹长度为 $\frac{\sqrt{2} π}{4}$ D、若 $λ = 1$ 且 $μ = \frac{1}{2}$ ，则存在点 $E \in A_{1} B$ ，使得 $A E + E Q$ 的最小值为 $\sqrt{9 + 2 \sqrt{10}}$

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时间／分钟	0	1	2	3	4	5
水温／ $℃$	95.00	88.00	81.70	76.03	70.93	66.33