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相关试卷

1、已知过点 $P (2, 2)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 5$ 相切，且与直线 $l_{1} : a x + y + 1 = 0$ 垂直，则 $a =$ （）

A、2 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{2}$ D、 $- 2$

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2、已知 $x^{5} = a_{0} + a_{1} (x + 1) + a_{2} {(x + 1)}^{2} + a_{3} {(x + 1)}^{3} + a_{4} {(x + 1)}^{4} + a_{5} {(x + 1)}^{5}$ ，则 $a_{2} =$ （）

A、15 B、10 C、-10 D、-15

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3、设 $l$ 为直线， $α$ 为平面，则 $l / / α$ 的一个充要条件是（）

A、 $α$ 内存在一条直线与 $l$ 平行 B、 $l$ 平行 $α$ 内无数条直线 C、垂直于 $α$ 的直线都垂直于 $l$ D、存在一个与 $α$ 平行的平面经过 $l$

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4、等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{3} = 1, S_{3} = 3$ ，则 $a_{4}$ 的值为（）

A、1或-1 B、 $\frac{1}{2}$ 或 $- \frac{1}{2}$ C、1或 $- \frac{1}{2}$ D、-1或 $\frac{1}{2}$

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5、抛物线 $4 y^{2} + x = 0$ 的焦点坐标为（）

A、 $(0, - 1)$ B、 $(- 1, 0)$ C、 $(0, - \frac{1}{16})$ D、 $(- \frac{1}{16}, 0)$

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6、数据2，3，5，6，7，7，8，10的上四分位数为（）

A、7.5 B、8 C、7 D、4

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7、球面几何学是在球表面上的几何学，也是非欧几何的一个例子.对于半径为R的球 $O$ ，过球面上一点 $A$ 作两条大圆的弧 $\overset{⌢}{A B}$ ， $\overset{⌢}{A C}$ ，它们构成的图形叫做球面角，记作 $∡ B A C$ （或 $∡ A$ ），其值为二面角 $B - A O - C$ 的大小，点 $A$ 称为球面角的顶点，大圆弧 $\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{A C}$ 称为球面角的边.不在同一大圆上的三点 $A, B, C$ ，可以得到经过这三点中任意两点的大圆的劣弧 $\overset{⌢}{A B}, \overset{⌢}{B C}, \overset{⌢}{C A}$ ，这三条劣弧组成的图形称为球面 $△ A B C$ ，这三条劣弧称为球面 $△ A B C$ 的边， $A, B, C$ 三点称为球面 $△ A B C$ 的顶点；三个球面角 $∡ A, ∡ B, ∡ C$ 称为球面 $△ A B C$ 的三个内角.

已知球心为 $O$ 的单位球面上有不同在一个大圆上的三点 $A, B, C$ ．

(1)、球面 $△ A B C$ 的三条边长相等（称为等边球面三角形），若 $∡ A = \frac{π}{2}$ ，求球面 $△ A B C$ 的内角和；

(2)、类比二面角，我们称从点 $P$ 出发的三条射线 $P M, P N, P Q$ 组成的图形为三面角，记为 $P - M N Q$ .
其中点 $P$ 称为三面角的顶点， $P M, P N, P Q$ 称为它的棱， $∠ M P N, ∠ N P Q, ∠ Q P M$ 称为它的面角. 若三面角 $O - A B C$ 的三个面角的余弦值分别为 $\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{3}$ .
（ⅰ）求球面 $△ A B C$ 的三个内角的余弦值；
（ⅱ）求球面 $△ A B C$ 的面积.

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8、为贯彻落实党的二十大关于深化全民阅读活动的重要部署，进一步推动青少年学生阅读深入开展，促进全面提升育人水平，教育部决定开展全国青少年学生读书行动.某校实施了全国青少年学生读书行动实施方案.现从该校的2400名学生中发放调查问卷，随机调查100名学生一周的课外阅读时间，将统计数据按照 $[0, 20)$ ， $[20, 40)$ ， … $[120, 140]$ 分组后绘制成如图所示的频率分布直方图（单位：分钟）

(1)、若每周课外阅读时间1小时以上视为达标，则该校达标的约为几人（保留整数）；

(2)、估计该校学生每周课外阅读的平均时间；

(3)、估计该校学生每周课外阅读时间的第75百分位数（结果保留1位小数）.

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9、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2， $E$ ， $F$ 分别为 $A_{1} D_{1}$ 和 $C_{1} D_{1}$ 的中点．

(1)、证明：直线 $C F / /$ 平面 $B D E$ ；

(2)、求直线 $A A_{1}$ 与平面 $B D E$ 所成角的正切值．

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10、已知复数 $z$ 满足方程 $(1 + a i) z = b i$ ，其中 $i$ 为虚数单位， $a, b \in R$ .

(1)、当 $a = 1$ ， $b = 2$ 时，求 $|z|$ ；

(2)、若 $z \cdot \bar{z} = 1$ ，求 $b^{2} + a$ 的最小值.

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11、某工厂的三个车间生产同一种产品，三个车间的产量分布如图所示，现在用分层随机抽样方法从三个车间生产的该产品中，共抽取70件做使用寿命的测试，则C车间应抽取的件数为；若A，B，C三个车间产品的平均寿命分别为200，220，210小时，方差分别为30，20，40，则总样本的方差为.

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12、正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 棱长为2，N为线段 $A C$ 上一动点， $M$ 为线段 $D D_{1}$ 上一动点，则 $A_{1} M + M N$ 的最小值为.

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13、如图，三棱锥 $P - A B C$ 中， $△ A B C$ 为边长是 $\sqrt{3}$ 的正三角形， $P A ⊥$ 底面 $A B C ， P A = 2 ， Q$ 是线段 $B C$ 上一动点，则下列说法正确的是（）

A、点B到平面 $P A Q$ 的距离的最大值为 $\frac{3}{2}$ B、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球半径为 $\frac{3}{8}$ C、PB与AQ所成角可能为 $\frac{π}{4}$ D、 $A Q$ 与平面 $P B C$ 所成角的正切值的最大值为 $\frac{4}{3}$

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14、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M, N, E$ 分别为线段 $A D_{1}$ ， $A C$ ， $B_{1} D_{1}$ 中点， $P, Q$ 分别为线段 $B E$ ，线段 $C D_{1}$ 上的动点，则三棱锥 $M - P Q N$ 的体积（）

A、与 $P$ 点位置有关 B、与 $P$ 点位置无关 C、与 $Q$ 点位置有关 D、与 $Q$ 点位置无关

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15、三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B$ ， $C P = 4$ ， $B A = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{2 π}{3}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的体积的最大值为（）

A、 $1$ B、 $2$ C、 $6$ D、 $12$

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16、已知球O为棱长为1的正四面体 $A B C D$ 的外接球，若点P是正四面体ABCD的表面上的一点，Q为球O表面上的一点，则 $|P Q|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{12}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$

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17、如图，正三棱柱 $A B C - A^{'} B^{'} C^{'}$ 的所有边长都相等， $P$ 为线段 $B B^{'}$ 的中点， $Q$ 为侧面 $B B^{'} C^{'} C$ 内的一点（包括边界，异于点 $P$ ），过点 $A$ 、 $P$ 、 $Q$ 作正三棱柱的截面，则截面的形状不可能是（）

A、五边形 B、四边形 C、等腰三角形 D、直角三角形

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18、甲乙丙丁四位同学各掷5次骰子并记录点数，方差最大的是（       ）
甲：4       5       4       5       5             乙：4       2       3       4       3
丙：2       3       2       3       4             丁：6       1       2       6       1

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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19、复数 $z_{1} = 1 + i$ ， $z_{2} = i$ ，其中 $i$ 为虚数单位，则复数 $z = z_{1} \cdot z_{2}$ 在复平面内所对应的点在第（）象限

A、一 B、二 C、三 D、四

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20、如图所示， $△ A B C$ 为等边三角形， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， $I$ 为 $△ A B C$ 的内心，点 $P$ 在以 $I$ 为圆心， $1$ 为半径的圆上运动.

(1)、求出 ${(\vec{P A})}^{2} + {(\vec{P B})}^{2} + {(\vec{P C})}^{2}$ 的值.

(2)、求 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的范围.

(3)、若 $x \vec{P A} + y \vec{P B} + z \vec{P C} = \vec{0} (x, y, z \in R)$ ，当 $\frac{x}{y}$ 最大时，求 $\frac{z}{x + y}$ 的值.

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