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相关试卷

1、如图， $A$ ， $B$ 是两个形状相同的杯子，且 $B$ 杯高度是 $A$ 杯高度的 $\frac{3}{4}$ ，则 $B$ 杯容积与 $A$ 杯容积之比最接近的是（）

A、 $1 : 3$ B、 $2 : 5$ C、 $3 : 5$ D、 $3 : 4$

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2、现定义：在平面直角坐标系 $x O y$ 中，在坐标轴正半轴上的点称为“正直点”，横纵坐标均为整数的点称为“整数点”，已知 $A (5 + 2 a, 0)$ ， $B (0, \frac{5 + 2 a}{a + 1})$ 均为“正直点”.

(1)、求 $a$ 的取值范围；

(2)、求 $△ A O B$ 的面积取得最小值时对应的周长；

(3)、若A， $B$ 也为“整数点”，求直线 $A B$ 的一般式方程.

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3、如图，在棱长均为2的正四棱柱中， $\vec{D D_{1}} = 2 \vec{D E}$ ， $\vec{D B} = 2 \vec{D F}$ ， $\vec{C D} = 3 \vec{C G}$ ， $\vec{G C_{1}} = 2 \vec{G H}$ ，用空间向量法解决下列三个问题：

(1)、证明： $E F ⊥ B_{1} C$ ；

(2)、求异面直线 $E F$ 与 $C_{1} G$ 夹角的余弦值；

(3)、求 $B_{1} H$ 的长度.

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4、已知 $\vec{A B} = (- 1, 2 \sqrt{2}, 2)$ ， $\vec{A C} = (0, 2 \sqrt{2}, 1)$ .

(1)、求 $\vec{A B}$ 在 $\vec{A C}$ 方向上投影向量的坐标；

(2)、求以 $A B$ ， $A C$ 为邻边的平行四边形的面积.

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5、 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，记 $△ A B C$ 的面积为 $S$ ，若 $\frac{\sin A}{\cos A} = \frac{2 \sin B}{\cos B}$ ，则 $\frac{S}{a^{2}}$ 的最大值为.

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6、写出一个过 $(- 3, 1)$ 和 $(2, - 2)$ 的直线的两点式方程.

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7、已知复数 $z = \frac{2}{1 - i}$ ，则（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部为 $- 2$ B、 $|z| = \sqrt{2}$ C、 $z$ 在复平面内的对应点位于直线 $x - y = 0$ 上 D、 $z$ 为方程 $x^{2} - 2 x + 2 = 0$ 的一个根

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8、已知函数 $f (x) = sin ω x + \sqrt{3} cos ω x$ （ $ω > 0$ ）的最小正周期为 $π$ ，则 $f (x)$ 的零点可以为（）

A、 $- \frac{2 π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $\frac{5 π}{12}$ D、 $\frac{π}{3}$

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9、设函数 $y = 2025^{x^{2} - a x + 1}$ 在区间 $(4, 7)$ 上单调递增，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 4]$ B、 $(- \infty, 8]$ C、 $[4, 8]$ D、 $(- \infty, 7]$

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10、直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面为等腰直角三角形， $A A_{1} = 4$ ， $A B = A C = 6$ ， $D$ 为线段 $B C$ 的中点， $E$ 为棱 $B_{1} C_{1}$ 上靠近点 $B_{1}$ 的三等分点，则直线 $D E$ 与平面 $A C C_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{1}{2}$

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11、已知集合 $A = \{x \in N ||x - 3| \leq 1\}$ ， $B = \{x \in Z |(x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，则集合 $C = \{z |z = x^{2} + 2 y, x \in A, y \in B\}$ 的非空真子集个数为（）

A、32 B、62 C、64 D、30

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12、经过 $A (2, - 3)$ ， $B (- 1, m)$ 两点的直线的一个方向向量为 $(- 1, 2)$ ，则 $m =$ （）

A、 $- 2$ B、1 C、3 D、4

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13、直线 $l$ 的方程为 $(m + 1) x + y - 2 m - 3 = 0 (m \in R)$ .

(1)、证明直线 $l$ 过定点；

(2)、已知 $O$ 是坐标原点，若点线 $l$ 分别与 $x$ 轴正半轴､ $y$ 轴正半轴交于 $A, B$ 两点，当 $△ A O B$ 的面积最小时，求 $△ A O B$ 的周长及此时直线 $l$ 的方程.

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14、已知函数 $f (x) = e^{x} sin x$ ， $g (x) = sin x - cos x .$ 记 $a_{n}$ 为函数 $y = g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内的从小到大的第 $n (n \in N^{*})$ 个零点.

(1)、证明：数列 $\{f (a_{n})\}$ 是等比数列；

(2)、记 $b_{n}$ 为函数 $y = f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 内的从小到大的第 $n (n \in N^{*})$ 个极值点，将数列 $\{a_{n}\}$ ， $\{b_{n}\}$ 中的所有项从小到大排列构成一个新的数列 $\{c_{n}\} .$ 若 $\forall n \in N^{*}$ ， $|f (c_{n})| \geq k c_{n}$ ，求k的最大值.

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sin (ω x + φ) (ω \in N^{*}, |φ| < \frac{π}{2})$ 在区间 $(\frac{π}{2}, \frac{5π}{6})$ 单调， $f (\frac{π}{2}) = \sqrt{3}$ ，且 $f (\frac{5π}{6}) = f (π)$ $.$

(1)、求 $y = f (x)$ 图象的一条对称轴；

(2)、求 $f (x)$ 的解析式；

(3)、在锐角 $△ A B C$ 中，若 $f (A) = \sqrt{3}$ ，求 $\frac{\sin B}{2 - \cos 2 B}$ 的取值范围.

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16、已知函数 $f (x) = ln x + x^{2} - a x .$

(1)、若 $f (x)$ 在区间 $(0, e]$ 单调递增，求a的取值范围；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin 2 x + cos 2 x, x \in (0, π)$ .

(1)、若 $f (α) = \sqrt{3}$ ，求 $α$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、若 $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{12}, m]$ 上的最小值为 $- 2$ ，求m的最小值.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 3 x + 4$ $.$

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\sqrt{3}, f (\sqrt{3}))$ 处的切线方程；

(2)、当 $x \in [0 ， 3]$ 时，求证： $f (x) \leq x + 4$ $.$

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19、已知函数 $f (x) = 2 \cos x - \sin 2 x$ ，则 $f (x)$ 的最大值是．

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20、已知函数 $f (x) = x + 1$ ， $g (x) = {(x + 1)}^{2} . \forall x \in R$ ，用 $M (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的较小者，记为 $M (x) = min \{f (x), g (x)\}$ ，则不等式 $M (x) \leq \frac{1}{4}$ 的解集为.

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