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相关试卷

1、已知集合 $A = \{- 4, - 2, 0, 2, 4\}$ ， $B = \{x | x^{2} + 2 x - 3 < 0\}$ ，则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 $\{- 4, 2, 4\}$ B、 $\{- 4, - 2, 4\}$ C、 $\{- 2, 0\}$ D、 $\{- 4, - 2, 0\}$

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2、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A D = \sqrt{2}$ ，取 $C D$ 中点 $M$ ，将 $△ A D M$ 和 $△ B C M$ 分别沿直线 $A M$ ， $B M$ 折叠，使 $D$ ， $C$ 两点重合于点 $P$ 得到三棱锥 $P - A B M$ ．

(1)、当 $A B = 2$ 时，求证： $A M ⊥ P B$ ；

(2)、若二面角 $A - P M - B$ 的平面角为 $60^{\circ}$ ，是否存在 $A M$ 上一点 $E$ ，使得 $P E$ 与平面 $P B M$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ ？若存在，请求出 $E$ 点的位置；若不存在，请说明理由．

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3、若直线 $y = k (x - 3) - 1$ 与曲线C： $y = \sqrt{2 - x^{2}}$ 有两个不同的公共点，则k的取值范围是（）

A、 $(- 1, \frac{1}{7})$ B、 $(- \frac{3 + \sqrt{2}}{7}, - \frac{1}{7}]$ C、 $(- 1, - \frac{3 + \sqrt{2}}{7}]$ D、 $(- \infty, - 1) \cup \{- \frac{3 + \sqrt{2}}{7}\}$

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4、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n} + 2 S_{n} = 1$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设 $T_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + 5 a_{3} + \dots + (2 n - 1) a_{n}$ ，求 $T_{n}$ .

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5、如图，在棱长为 $1$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ ， $F$ 分别是 $D D_{1}$ ， $B D$ 的中点， $G$ 为 $线段 B B_{1}$ 上一点.

(1)、求证： $E F ⊥ C F$ ；

(2)、求点 $B$ 到平面 $C E F$ 的距离；

(3)、当 $B G$ 为何值时，平面 $C G F$ 与平面 $C E F$ 所成的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$ .

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6、已知圆 $C$ 经过点 $(2, 2)$ ，且圆心为 $C (2, 0)$ ．

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、直线 $l_{1}$ 经过点 $A (4, 1)$ ，且 $l_{1}$ 与圆 $C$ 相交所得弦长为 $2 \sqrt{3}$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(3)、求与圆 $C$ 关于直线 $x + y + 2 = 0$ 对称的圆 $D$ 的一般方程．

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7、已知 $△ A B C$ 的三个顶点为 $A (4 ， 0) ， B (0 ， 2) ， C (2 ， 6)$ .

(1)、求 $A C$ 边上的高 $B D$ 所在直线的方程；

(2)、求 $B C$ 边上的中线 $A E$ 所在直线的方程；

(3)、求三角形 $A B E$ 的面积.

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8、已知正四面体 $A B C D$ 的棱长为 $1$ ， $E$ ， $F$ 分别为棱 $B C$ ， $C D$ 的中点，点 $G$ 为线段 $A F$ 的中点.

(1)、用 $\vec{A B}$ ， $\vec{A C}$ ， $\vec{A D}$ 表示 $\vec{A G}, \vec{E G}$ ；

(2)、求 $\vec{A G} \cdot \vec{A B}$ 的值；

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9、如图，在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ， $A B = A C = 1$ ， $A A_{1} = 2$ ．以A为原点，建立如图所示空间直角坐标系．

(1)、求平面 $A_{1} B C$ 的一个法向量．

(2)、求直线 $A_{1} C$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的线面角的正弦值；

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10、著名数学家华罗庚曾说过“数无形时少直觉，形少数时难人微”，事实上，很多代数问题都可以转化为几何问题加以解决，如： $\sqrt{{(x - a)}^{2} + {(y - b)}^{2}}$ 可以转化为平面上点 $M (x, y)$ 与点 $N (a, b)$ 之间的距离，结合．上述观点，可得 $\sqrt{x^{2} - 4 x + 20} + \sqrt{x^{2} - 2 x + 10}$ 的最小值为．

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11、直线l的方向向量为 $\vec{m} = (1, 0, - 1)$ ，且l过点 $A (1, 1, 1)$ ，则点 $P (- 2, 4, 2)$ 到l的距离为.

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12、已知直线的方程为 $\frac{x}{- 5} + \frac{y}{6} = 1$ ，那么此直线在 $x$ 轴上的截距为．

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13、已知曲线 $Ω : x^{2} + y^{2} = |x| + |y|$ ，点 $P (a, b)$ 在曲线 $Ω$ 上，则下列结论正确的是（）

A、当 $b = 0$ 时， $a = 1$ B、当 $x > 0, y > 0$ 时，曲线为圆心为 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ ，半径为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 圆的一部分 C、曲线 $Ω$ 有4条对称轴，且围成的图形面积为 $π + 2$ D、当点 $P (a, b)$ 在第四象限， $\frac{b}{a - 2}$ 的最大值是1

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14、已知圆 $O_{1} : x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ ，点 $A (2, 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、点A在圆外 B、点 $A (2, 0)$ 是 $2 x + m y - 4 = 0$ 的定点 C、已知 $B (1, 0)$ ，过点B作圆的最短弦长为 $2 \sqrt{2}$ D、过点 $A$ 作圆 $O_{1}$ ： $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 的切线 $l$ ，则 $l$ 的方程为 $2 x - y - 4 = 0$

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15、设 $x, y \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 2, 2)$ ， $\vec{b} = (2, y, 2)$ ， $\vec{c} = (3, - 6, 3)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{c}$ ， $\vec{b} / / \vec{c}$ ，则下列正确的（）

A、 $x = 2$ B、 $y = 4$ C、 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ 6 D、 $c o s ⟨\vec{a}, \vec{b}⟩ = \frac{1}{3}$

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16、如图，点 $P$ 在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的面对角线 $B C_{1}$ 上运动（ $P$ 点异于 $B$ ， $C_{1}$ 点），则下列结论不正确的是（）

A、异面直线 $B D$ 与 $A B_{1}$ 所成角为60° B、 $B_{1} D ⊥$ 平面 $A C D_{1}$ C、三棱锥 $P - A C D_{1}$ 的体积不变 D、直线 $A_{1} P$ 与平面 $A D_{1} C_{1} B$ 所成角正弦值的取值范围为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{4}]$

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17、已知直线 $l$ 的方程是 $A x + B y + C = 0$ ，下列正确的是（）

A、当 $A \neq 0 ， B = 0$ 时，直线 $l$ 的斜率为0 B、当 $B \neq 0$ 时，直线 $l$ 与 $y$ 轴的截距为 $\frac{C}{A}$ C、当 $C = 0$ 且 $A, B$ 不同时为0，方程表示经过原点的直线 D、当 $A, B$ 不同时为0，直线 $l$ 与直线 $B x - A y + C = 0$ 平行

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18、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面是边长为 $1$ 的正方形，若 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ，且 $A A_{1} = 3$ ，则 $A C_{1}$ 的长为（）

A、3 B、 $\sqrt{13}$ C、4 D、 $\sqrt{17}$

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19、直线l： $3 x + 4 y - 1 = 0$ 与圆C： ${(x - 2)}^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系为（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、无法判断

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20、已知向量 $\vec{a} = (9, 4, - 4)$ ， $\vec{b} = (1, 2, 2)$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为（）

A、 $(- 1, - 2, - 2)$ B、 $(1, 2, 2)$ C、 $(3, 6, 6)$ D、 $(- 3, - 6, - 6)$

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