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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a x^{3} + 3 a x^{2} + 2 (a - 2) x + b$ .则（）

A、当 $a = 2$ 时，若 $f (x)$ 有两个零点，则 $b$ 的值是 $- 8$ 或 $0$ B、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ，且 $f (1) = 1$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{4}{b}$ 的最小值是 $4$ C、对任意 $b \in R$ 恒有 $f (x) + f (- 2 - x) = 2 b + 8$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{0} = - 3$

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $\sin A - \sqrt{3} \cos A = 0$ ， $3 sin B = 2 sin C$ ， $a = \sqrt{7}$ ，则（）

A、 $A = \frac{π}{3}$ B、 $△ A B C$ 外接圆半径 $R = \frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $b = 3$ ， $c = 2$ D、若 $D$ 是边 $B C$ 中点，则 $A D = \frac{\sqrt{19}}{2}$

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3、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : y = k x + 2$ ，则（）

A、当 $k = 0$ 时， $l$ 与圆 $O$ 相切 B、当 $k = - 1$ 时， $l$ 被圆 $O$ 所截得的弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、对任意 $k \in R$ ， $l$ 与圆 $O$ 均有公共点 D、设 $l$ 与圆 $O$ 相交于不同两点 $A (x_{1}, y_{1}), B (x_{2}, y_{2})$ ，且 $y_{1} > 0, y_{2} > 0$ ，则 $k \in [- 1, 1]$

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4、已知函数 $f (x) = ln (e^{x} + 1) + k x (k \in R)$ 是偶函数，则（）

A、 $f ({log}_{0.2} 0.3) > f ({log}_{2} 0.3) > f (k)$ B、 $f (k) > f ({log}_{2} 0.3) > f ({log}_{0.2} 0.3)$ C、 $f ({log}_{2} 0.3) > f ({log}_{0.2} 0.3) > f (k)$ D、 $f ({log}_{0.2} 0.3) > f (k) > f ({log}_{2} 0.3)$

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5、已知矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, B C = 8$ ，将 $△ C B D$ 沿 $B D$ 折起至 $△ C^{'} B D$ ，使二面角 $A - B D - C^{'}$ 是直二面角，则三棱锥 $C^{'} - A B D$ 的外接球的表面积等于（）

A、 $100 π$ B、 $400 π$ C、 $\frac{500}{3} π$ D、 $\frac{4000}{3} π$

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6、已知 $sin (α + β) = \frac{3}{4}, tan α = 2 tan β$ ，则 $sin (α - β) =$ （）

A、 $- \frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $- \frac{9}{16}$

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7、在某校高一年级参加的一次质量检测中，共有1500名学生参加数学考试.为了解本次考试考生的数学成绩情况，本中抽取了100名学生的成绩（成绩均为正整数，满分为100分）作为样本进行统计，成绩均在 $[40, 100)$ 内，按照 $[40, 50), [50, 60), [60, 70), [70, 80), [80, 90), [90, 100)$ 的分组作出频率分布直方图（如图所示），据图中数据，则（）

A、该样本中学生成绩的中位数一定大于75 B、该样本中学生成绩的极差介于40至50之间 C、该样本中学生成绩的平均值介于70至80之间 D、若成绩不低于60分为及格，估计该校高一年级学生数学及格人数不超过1300

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8、已知 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, x)$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 是 $|\vec{a}| = |\vec{b}|$ 成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、已知函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0)$ 的部分图象如图所示，则 $ω =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、已知 $z = i (2 - i)$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $1 + 2 i$ B、 $1 - 2 i$ C、 $2 - i$ D、 $2 + i$

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11、已知全集 $U = \{x \in N ∣ x \leq 6\}, M = \{1, 3, 5\}$ ，则 $∁_{U} M =$ （）

A、 $\{0, 6\}$ B、 $\{2, 4, 6\}$ C、 $\{0, 2, 4\}$ D、 $\{0, 2, 4, 6\}$

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12、已知函数f（x）＝log_a（x+1），g（x）＝2log_a（2x+t）（t∈R），其中x∈[0，15]，a＞0，且a≠1．
（1）若1是关于x的方程f（x）﹣g（x）＝0的一个解，求t的值；
（2）当0＜a＜1时，不等式f（x）≥g（x）恒成立，求t的取值范围.

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13、已知函数 $f (x) = 2 \sin x \cos x + 2 \sqrt{3} \cos^{2} x - \sqrt{3}$ .
(1)求 $f (x)$ 的最小正周期；
(2)当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时，
(ⅰ)求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；
(ⅱ)求函数 $f (x)$ 的最大值､最小值，并分别求出使该函数取得最大值､最小值时的自变量 $x$ 的值.

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14、如图所示，在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 为正三角形， $A_{1}$ 在底面 $△ A B C$ 上的射影是棱 $B C$ 的中点 $O$ ， $O E ⊥ A A_{1}$ 于 $E$ 点.
（1）证明 $O E ⊥$ 平面 $B B_{1} C_{1} C$ ；
（2）若 $A A_{1} = \sqrt{3} A B$ ，求 $A C$ 与平面 $A A_{1} B_{1} B$ 所成角的正弦值.

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15、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $a_{1} = 1$ ，且 $S_{3} = 2 S_{2} + 1$ .
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；
（2）若数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{2 n - 1}{2 a_{n}} (n \in N^{*})$ ，求数列 $b_{n}$ 的前n项和 $T_{n}$ .
（3）在条件（2）下，若不等式 $λ n T_{n} - 3 λ n + b_{n} < 0$ 对任意正整数n都成立，求 $λ$ 的取值范围.

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16、已知圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上一定点 $A (2, 0)$ ，点 $B (1, 1)$ 为圆内一点， $P, Q$ 为圆上的动点．

(1)、求线段 $A P$ 中点的轨迹方程；

(2)、若 $∠ P B Q = 90 °$ ，求线段 $P Q$ 中点的轨迹方程．

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17、经过原点 $(0, 0)$ 作函数 $f (x) = x^{3} + 3 x^{2}$ 图像的切线，则切线方程为．

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18、计算 $\log_{2} (4^{7} \times 2^{5}) =$ .

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19、如图，已知点 $E$ 是平行四边形 $A B C D$ 的边 $A B$ 的中点， $F_{n} (n \in N^{*})$ 为边 $B C$ 上的一列点，连接 $A F_{n}$ 交 $B D$ 于 $G_{n}$ ，点 $G_{n} (n \in N^{*})$ 满足 $\overset{⃑}{G_{n} D} = a_{n + 1} \cdot \overset{⃑}{G_{n} A} - 2 (2 a_{n} + 3) \overset{⃑}{G_{n} E}$ ，其中数列 $\{a_{n}\}$ 是首项为 $1$ 的正项数列， $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则下列结论正确的是（　　）

A、 $a_{3} = 13$ B、数列 $\{a_{n} + 3\}$ 是等比数列 C、 $a_{n} = 4 n - 3$ D、 $S_{n} = 2^{n + 1} - n - 2$

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20、意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{n} = a_{n - 1} + a_{n - 2} (n \geq 3, n \in N^{*})$ .若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前 $n$ 项所占的格子的面积之和为 $S_{n}$ ，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为 $c_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $S_{n + 1} = a_{n + 1}^{2} + a_{n + 1} \cdot a_{n}$ B、 $a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n} = a_{n + 2} - 1$ C、 $a_{1} + a_{3} + a_{5} + \dots + a_{2 n - 1} = a_{2 n} - 1$ D、 $4 (c_{n} - c_{n - 1}) = π a_{n - 2} \cdot a_{n + 1}$

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