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相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $B C = 1$ ， $∠ A = 120 °$ ， $\vec{A D} = \frac{1}{2} \vec{A B}$ ， $\vec{C E} = \frac{1}{2} \vec{C D}$ ，记 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ，用 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 表示 $\vec{A E} =$ ；若 $\vec{B F} = \frac{1}{3} \vec{B C}$ ，则 $\vec{A E} \cdot \vec{A F}$ 的最小值为．

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2、已知复数 $z$ 满足： $(i + 2) z = 1 + i$ ，则 $z =$ （）

A、 $\frac{3}{5} + \frac{1}{5} i$ B、 $\frac{1}{5} + \frac{1}{5} i$ C、 $1 + \frac{1}{3} i$ D、 $\frac{1}{3} + \frac{1}{3} i$

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3、已知平面向量 $\vec{a} = (m, 2), \vec{b} = (2, 1)$ ，若 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，则实数 $m =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 1$ 或1 D、4

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4、已知函数 $f (x) = (a - \frac{2}{2^{x} + 1}) cos x$ 是奇函数，则实数 $a =$ ．

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5、甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（）

A、 $\frac{3}{16}$ B、 $\frac{3}{13}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{3}{4}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 sin x - |x - a|$ 的最大值为0，则 $a$ 的值可能为（）

A、 $- \sqrt{3} - \frac{5 π}{3}$ B、 $\sqrt{3} - \frac{4 π}{3}$ C、 $\sqrt{3} - \frac{2 π}{3}$ D、 $- \sqrt{3} + \frac{π}{3}$

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7、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一道光线沿直线 $l_{1}$ ： $k x - y - 4 k + 2 = 0$ 经 $x$ 轴反射，反射光线 $l_{2}$ 与圆 $C$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = 4$ 恰有一个公共点，则 $k =$ （）

A、 $\frac{- 2 \pm \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \pm \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$ D、 $\frac{- 6 \pm 2 \sqrt{3}}{3}$

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8、在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，且关于 $x$ 的二次方程 $x^{2} - 2 x + \lg (c^{2} - b^{2}) - 2 \lg a$ $+ 1 = 0$ 有两个相等的实根，则 $△ A B C$ 的形状是（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、等腰三角形

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9、下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（　　）

A、 $y = {(\sqrt{x})}^{2}$ 与 $y = |x|$ B、 $y = x$ 与 $y = e^{\ln x}$ C、 $y = 2^{2 x}$ 与 $y = 4^{x}$ D、 $y = x$ 与 $y = {(\frac{1}{x})}^{- 1}$

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10、设实数 $k > 0$ ，对于任意的 $x > 1$ ，不等式 $k e^{k x} \geq \ln x$ 恒成立，则k的最小值为．

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11、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n} = - 2 n^{2} + 3 n + 1$ ，则数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为.

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12、抛物线 $x^{2} = 4 y$ 的准线方程是（）

A、 $y = 2$ B、 $y = - 2$ C、 $y = 1$ D、 $y = - 1$

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13、函数 $sinh x = \frac{1}{2} (e^{x} - e^{- x})$ 与函数 $cosh x = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ 分别称为双曲正弦函数与双曲余弦函数，它们在悬链线问题，相对论，复数分析，电路分析，热传导与波动方程中有广泛的应用．

(1)、判断函数 $f (x) = sinh x$ 与函数 $g (x) = cosh x$ 的奇偶性，并加以证明；

(2)、我们知道三角函数有非常多的恒等式，类似的，双曲函数也有很多恒等式，如
${cosh}^{2} x - {sinh}^{2} x = 1$
$sinh 2 x = 2 sinh x \cdot cosh x$
$cosh 2 x = {cosh}^{2} x + {sinh}^{2} x = 2 {cosh}^{2} x + 1 = 1 + 2 {sinh}^{2} x$
……
①请你用 $cosh x, cosh y, sinh x$ 与 $sinh y$ 表示 $cosh (x + y)$ 和 $sinh (x + y)$ （不要求证明）．
②若 $coth x = \frac{cosh x}{sinh x}$ ，求证： $coth (x + y) = \frac{1 + coth x coth y}{coth x + coth y}$ ．
③定义 $x \otimes y = \frac{1 + x y}{x + y}$ ，求 $(((2 \otimes 3) \otimes 4) \otimes \dots) \otimes 11$ 的值．

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x (x - 4), & x \geq 0, \\ x (x + 4), & x < 0 . \end{matrix}$

(1)、求 $f (1), f (- 3), f (a + 1)$ 的值；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上是增函数；

(3)、求不等式 $f (x) \geq x$ 的解集．

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15、设函数 $f (x) = sin (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < \frac{π}{2}), f (- \frac{5 π}{12}) = - 1, f (x)$ 在区间 $[- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12}]$ 上单调递增，在区间 $[\frac{π}{12}, \frac{π}{4}]$ 上单调递减．

(1)、求 $ω, φ$ 的值；

(2)、函数 $f (x)$ 的图象可由函数 $y = sin x$ 的图象经过怎样的变换得到？

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16、若 $sin (α + β) = \frac{1}{2}, sin (α - β) = \frac{1}{3}$ ，则 $\frac{tan α}{tan β} =$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{sinπ x}{x^{2} - x}$ ，给出下列四个结论，正确的是（）

A、 $f (x)$ 存在无数个零点 B、 $f (x)$ 在 $(1, + \infty)$ 上有最大值 C、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{1}{2}, 1)$ 上是单调递减函数 D、 $f (x)$ 的图象是轴对称图形

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18、已知 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2})$ 是函数 $y = e^{x}$ 的图象上两个不同的点，则（）

A、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} > 0$ B、 $\frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} < 0$ C、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} > \frac{x_{1} + x_{2}}{2}$ D、 $ln \frac{y_{1} + y_{2}}{2} < x_{1} + x_{2}$

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19、下列化简中，正确的是（）

A、 $\cos 10 ° - \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ B、 $\cos 10 ° + \sqrt{3} \sin 10 ° = 2 \sin 20 °$ C、 ${(\sin 10 ° + \cos 10 °)}^{2} = 1 + \sin 20 °$ D、 $\tan 20 ° + \tan 40 ° + \sqrt{3} \tan 20 ° \tan 40 ° = \sqrt{3}$

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20、大西洋鲑鱼每年都要逆流而上3000英里游回它们出生的地方产卵繁殖．研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速v（单位：m/s）可以表示为v＝ $\frac{1}{2} \log_{3} \frac{O}{100}$ ，其中 $O$ 表示鲑鱼的耗氧量的单位数．则该鲑鱼游速为2m/s时的耗氧量与静止时耗氧量的比值为（　　）

A、8100 B、900 C、81 D、9

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