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1、计算： ${(\sqrt{2})}^{2} - 2 c o s 30 ° + | \sqrt{3} - 1 |$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 9 0^{∘} ， A C = 4 ， B C = 3$ ，点 $D$ 在边 $A B$ 上（不与A，B重合），过点 $A$ 作 $A E ⊥ C D$ ，垂足为点 $E$ ，则 $\frac{C D}{D E}$ 的最小值是．

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3、方程 $x^{2} - 2024 x - 2025 = 0$ 的两个根分别是 $m 、 n$ ，则 $(m^{2} - 2023 m - 2026) (n^{2} - 2023 n - 2026) =$

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4、一块梯形木板 $A B C D ， A D ∥ B C ， ∠ B C D = 9 0^{∘} ， A D = 4 ， B C = 10 ， C D = 6$ ，按如图方式设计一个矩形桌面 $E F C G$ （点 $E$ 在边 $A B$ 上）．当 $E F =$ 时，矩形桌面面积最大．

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5、如图，正五边形 $A B C D E$ 内接于 $⊙ O$ ，连接 $A C$ ，则 $∠ A C D$ 的度数为．

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6、已知圆锥的底面半径为3，高为4，则其侧面积为．

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7、等腰三角形的两边长分别为 $2 c m$ 和 $4 c m$ ，则该等腰三角形的周长为 $c m$ ．

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8、某公司在一次招聘中，分笔试和面试两部分，笔试和面试成绩按 $6 : 4$ 计算最终成绩．小李的笔试成绩为85分，面试成绩为90分，则小李的最终成绩为分．

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9、点 $P (1, a + 2)$ 在第一象限，则实数 $a$ 的取值范围是．

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10、要使分式 $\frac{1}{x - 1}$ 有意义，实数 $x$ 的取值范围是．

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11、如图，点 $A$ 、 $B$ 在双曲线 $y_{1} = \frac{k_{1}}{x} (x > 0)$ 上，直线 $A B$ 分别与 $x$ 轴、 $y$ 轴交于点 $C$ 、 $D$ ，与双曲线 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (x < 0)$ 交于点 $E$ ，连接 $O A 、 O B$ ，若 $S_{△ A O C} = 20, A B = 3 B C$ ， $A D = D E$ ，则 $k_{2}$ 的值为（）

A、 $- 10$ B、 $- 11$ C、 $- 12$ D、 $- 13$

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12、《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两；牛2头，羊5头，共值金8两．问牛羊每头各值金多少？”若设牛每头值金 $x$ 两，羊每头值金 $y$ 两，则可列方程组是（）

A、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 2 y = 8 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} 5 x + 5 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} 2 x + 5 y = 10 \\ 5 x + 2 y = 8 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} 5 x + 2 y = 10 \\ 2 x + 5 y = 8 \end{array}$

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13、在平面直角坐标系中，点 $A$ 的坐标为 $(3, 2)$ ，将线段 $O A$ 绕着点 $O$ 逆时针旋转 $90 °$ 得线段 $O A^{'}$ ，则点 $A^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 3, 2)$ B、 $(- 2, 3)$ C、 $(3, - 2)$ D、 $(2, - 3)$

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14、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B \neq A C$ ，点 $D$ 、 $E$ 、 $F$ 分别是边 $A B$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的中点，则下列结论错误的是（）

A、 $D E ∥ B C$ B、 $∠ B = ∠ E F C$ C、 $∠ B A F = ∠ C A F$ D、 $O D = O E$

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15、某几何体的三视图如图所示，这个几何体是（）

A、圆柱 B、圆锥 C、正方体 D、长方体

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16、宿迁市 $2025$ 年第一季度 $G D P$ 总量突破一千亿大关，约为 $1080$ 亿元．数据 $1080$ 亿用科学记数法表示为（）

A、 $1.08 \times 1 0^{10}$ B、 $1.08 \times 1 0^{11}$ C、 $10.8 \times 1 0^{10}$ D、 $1080 \times 1 0^{8}$

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17、下列计算结果为 $a^{3}$ 的是（）

A、 $a + a^{2}$ B、 ${(a^{2})}^{3}$ C、 $a \cdot a^{2}$ D、 $a^{9} \div a^{3}$

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18、在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点A(-3，0)，B(1，0)，与 y轴交于点C，顶点为 D，连结AD.

(1)、 ① 如图①，直线CD 交直线.x=1于点E，连结OE.求证： $A D ‖ O E .$
②如图②，P(2，-5)为抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 上一点，过点 P 作. $P G ⟂ x$ 轴，垂足为G.直线DP 交直线x=1于点 H，连结HG.求证： $A D ‖ H G .$

(2)、通过上述两种特殊情况的证明，你是否有所发现?请仿照(1)写出你的猜想，并证明，且在图③上画出草图.在平面直角坐标系中，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 3 (a \neq 0)$ 与x轴交于点A(-3，0)，B(1，0)，顶点为 D，M为该抛物线上一动点(不与点A，B，D重合).

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19、已知M 为抛物线 $y = - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ 的顶点，直线y=mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B.

(1)、判断点 M 是否在直线.y=4x+1上，并说明理由.

(2)、如图①，若抛物线也经过点A，B，当 $m x + 5 > - {(x - b)}^{2} + 4 b + 1$ 时，根据图象，求出x的取值范围.

(3)、如图②，点A 的坐标为(5，0)，点 M 在 $△ A O B$ 内部，若点 $C (\frac{1}{4}, y_{1}), D (\frac{3}{4}, y_{2})$ 都在抛物线上，试比较y₁与y₂的大小.

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20、一条河上横跨着一座宏伟壮观的悬索桥.桥梁的缆索. $L_{1}$ 与缆索 $L_{2}$ 均呈抛物线形，桥塔AO 与桥塔BC 均垂直于桥面.如图，以O为原点，直线FF'为x轴，桥塔AO所在直线为y轴，建立平面直角坐标系.缆索. $L_{1}$ 所在抛物线与缆索 $L_{2}$ 所在抛物线关于y 轴对称，桥塔AO与桥塔BC 之间的距离(OC=100m，AO=BC=17m，缆索 $L_{1}$ 的最低点 P 到FF'的距离PD=2m(桥塔的粗细忽略不计).

(1)、求缆索. $L_{1}$ 所在抛物线对应的函数表达式.

(2)、点 E 在缆索. $L_{2}$ 上， $E F ⟂ F F^{'},$ 且EF=2.6m，FO<OD，求 FO的长.

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