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1、如图，已知直线AB∥CD，直线l与AB，CD分别交于点A，C。
(1)、如图①，点E在线段AC上，连接BE，DE。求证：∠ABE+∠CDE=∠BED。(2)、如图②，点E 在线段AC 的延长线上，连接DE，过点 B 作BM∥ED，试画出图形并直接写出∠MBA 与∠CDE 的数量关系。(3)、如图③，点E在AB，CD之间且CE 平分∠ACD，∠EAC=∠EDC，以点E为圆心，EA 为半径画弧，交AB 于点 K。若∠KED=106°，求∠ECD 的度数。 -
2、【阅读·领会】
在几何图形学习过程中，为帮助解题可在原图的基础上添加直线或线段，比如要证明直线a、b是否平行，可添加“第三条直线”(即图①中的截线c)，把判断两条直线的位置关系转化为判断两个角的数量关系。我们称直线c为“辅助线”。
【实践·体悟】
如图②，已知∠ABE=∠DCF，∠E=∠F。求证：AB∥CD。
(1)、小明同学想到通过连接BC，作出平行线的截线，请你帮他完成下列证明过程：证明：连接BC。
∵∠E=∠F(已知)，
∴ ▲ (内错角相等，两直线平行)，
∴ ▲ (两直线平行，内错角相等)。
∵∠ABE=∠DCF(已知)，
∴∠ABE+ ▲ =∠DCF+ ▲ (等式性质)，
∴ ▲ = ▲ (等量代换)，
∴ AB∥CD( )。
(2)、请你试用其他方法进行推理，并书写证明过程。 -
3、如图，点 B，C在线段AD 的异侧，点E，F 分别是线段AB，CD上的点，已知∠1=∠2，∠3=∠C。
(1)、求证：AB∥CD。(2)、若∠2+∠4=180°，求证：∠BFC+∠C=180°。(3)、在⑵的条件下，若∠BFC—30°=2∠1，求∠B 的度数。 -
4、如图是某灯具的镜面反射示意图，从光源点 P 处发出的光线PA，PB 经弯曲的镜面反射后射出，且满足反射光线AC∥BD，若∠PAC=40°，PA⊥PB于点P，则∠PBD的度数为。
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5、如图，在△ABC中，∠A=40°，∠ACB=80°。以点A 为圆心，适当长为半径作弧，交AB 于点D，交AC于点E，连接DE；以点C为圆心，相同长为半径作弧a，交AC于点F；以点F为圆心，DE长为半径作弧b，与弧a 相交于点G，作射线 CG并延长BC，则图中∠1 的大小为。
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6、如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①以点 B 为圆心，任意长为半径作弧，分别交AB，BC于点D 和E；②分别以点D，E 为圆心，以大于 DE的长为半径作弧，两弧相交于点 F；③作射线 BF 交AC 于点G；④过点G 作GH∥BC 交AB 于点H。若∠ABG=35°，则∠BHG 的度数是。
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7、如图，直线a∥b，Rt△ABC的顶点C在直线a 上，AB与直线a 交于点D，CB 的延长线交直线b 于点E。已知∠ACB=90°，∠A=30°，∠1=55°，则∠2的度数是( )
A、45° B、55° C、65° D、75° -
8、如图，直线AB∥CD，∠ABE=45°，∠E=20°，则∠D 的度数为( )
A、20° B、25° C、30° D、35° -
9、如图所示，由下列条件能判定AB∥CD的是( )
A、∠BAC=∠ACB B、∠DAC=∠ACB C、∠BAC=∠DCA D、∠D+∠DCB=180° -
10、如图，在四边形ABCD中，点E，F分别在边AB，AD上，连接AC。
(1)、从①AE=AF；②CE=CF；③AC平分∠DAB这三个信息中，选择两个作为条件，剩余的一个作为结论构成一个命题。试写出你所构造的命题，判断命题是否正确，并说明理由。你选择的条件是 ▲ ， ▲ ；结论是 ▲ 。(只要填写序号)
(2)、在⑴的条件下，若∠CBA=∠CDA=90°，猜想∠DAB+∠ECF与∠DFC之间的数量关系，并证明你的猜想。 -
11、【阅读材料】
和 为整数，4-1=3=2×1+1；
和 为整数，9-4=5=2×2+1；
和 为整数，16-9=7=2×3+1；
…；
小明发现结论：若 和 为相邻的两个整数，且a<b，则b-a
并给出了证明：∵ 和 为相邻的两个整数，a<b，
请利用小明的结论和方法解决以下问题：
(1)、若 和 为两个相邻整数，求a的值。(2)、若 和 为相差4的两个整数，求a的值。 -
12、大课间结束后，“功不唐捐”学习小组的几个同学立即开始讨论数学问题：
小明说：在同一平面内，平行于同一直线的两条直线也平行。
小丽说：在同一平面内，垂直于同一直线的两条直线也垂直。
小军说：你们两人说的命题都是真命题吗？
小红说：我感觉他们两人说的命题好像不都是真命题……
数学老师早就注意到他们的讨论，走过来说：这两个命题中，如果是真命题，请画图，写出已知、求证，并证明(注明理由)；如果是假命题，请举反例画图说明。
下面请你完成数学老师所说的任务。
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13、 如图，AB∥CD，∠BAC 的平分线与∠ACD的平分线交于点E。
填空：
∵AB∥CD，
∴∠BAC+=180°。
∵AE平分∠BAC，∴ 。
∵CE平分∠ACD，∴ 。
∴∠1+∠2=°，
∴ ∠E=180°=∠1-∠2=°。
∴AECE。
请用文字语言将以上证明的条件和结论归纳为一个真命题：
。
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14、小明认为命题“如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等”不正确，请你帮他举出一个反例 ▲ 。(画图说明)
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15、“如果两个三角形的周长相等，那么这两个三角形全等。”是(填“真”或“假”)命题。
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16、下列选项中，可以用来证明命题“若|a|>0，则a>0”是假命题的反例的是( )A、a=-1 B、a=0 C、a=1 D、a=2
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17、(期末·24-25成都西川中学)下列命题是真命题的是( )A、1，1， 是一组勾股数 B、内错角相等 C、8的立方根是±2 D、若 ， 则x+y=1
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18、已知在等边中，点E在上，点D在的延长线上，且 ．
(1)、【特殊情况，探索结论】如图1，当E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：___________（填“”“”或“”）；(2)、【特例启发，解答题目】如图2，当E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请判断和的大小关系，并给出证明；（提示：过点E作 ， 交于点F）(3)、【拓展结论，设计新题】在等边中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且 ． 若的边长为3， ， 求的长．（利用备用图探究） -
19、综合与实践对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤：
根据以下素材，探索完成任务．
素材1
在使用分割法前，需线掌握以下基本图形的重心位置．
图形
重心
说明
长方形
几何中心
对角线的交点
三角形
三条中线交点
顶点坐标为 ， ，
素材2
建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：
1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．
2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积 ．
3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标 ．
4．代入公式计算：把代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标 ， 其中 ， ．
应用：
(1)、如图1组合图形分割为长方形和中， ， ， ， 以点O为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则长方形的重心点的坐标为___________，长方形的重心点的坐标为___________，长方形形的面积为___________．长方形的面积为___________，计算得此组合图形的重心坐标为___________；(2)、如图2，直角梯形 ， ， ， ， 求直角梯形的重心坐标 -
20、如图，在中，点D为边的中点， ， ， E，F为垂足， ，
(1)、求证：；(2)、求证：平分 ．