相关试卷

1、小明是一个聪明而又富有想象力的孩子. 学习了“有理数的乘方”后，他就琢磨着使用“乘方”这一数学知识脑洞大开地定义出“有理数的除方”概念. 于是规定：若干个相同的有理数（均不等于0）的除法运算叫做除方，如 $3 \div 3 = 3 \div 3 = 3$ 等，类比有理数的乘方，我们把 $3 + 3 + 3$ 记作3₃ ，读作“3的下3次方”. 一般地，把n个 $a (a \neq 0)$ 相除记作 $a_{n}$ ，读作“a的下n次方”，即 $a_{n} = \underset{n 个 a}{\underset{︸}{a \div a \div a \div ⋯ \div a}}$ .

(1)、直接写出计算结果： $3_{3} =$ ， $(- \frac{1}{2})_{4} =$ ；

(2)、关于除方，下列说法正确的有（填写序号）
① 对于任何正整数n， $1_{n} = 1$ ；
② $a_{2} = 1 (a \neq 0)$ ；
③ $a_{n} < a_{n + 1}$ （a是有理数， $a \neq 0$ ， n是正整数）；
④ $3_{4} = 4_{3}$ ；
⑤ 负数的下正奇数次方结果是负数，负数的下正偶数次方结果是正数.

(3)、我们知道，有理数的减法运算可以转化为加法运算，除法运算可以转化为乘法运算，有理数的除方运算如何转化为乘方运算呢？
例如： $2_{4} = 2 \div 2 \div 2 \div 2 \div 2 = 2 \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = {(\frac{1}{2})}^{2}$ （幂的形式）.
试一试：将下列除方运算直接写成幂的形式： $(- 4)_{6} =$ ， $(\frac{1}{5})_{4} =$ ；

(4)、计算： $5_{3} \div [{(- \frac{1}{3})}_{4} \times (- 3)_{5}] - {(- 1)}_{2}_{024}$ .

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2、阅读探究： $1^{2} = \frac{1 \times 2 \times 3}{6}$ ； $1^{2} + 2^{2} = \frac{2 \times 3 \times 5}{6}$ ； $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} = \frac{3 \times 4 \times 7}{6}$ ； $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} = \frac{4 \times 5 \times 9}{6}$ ；...

(1)、根据上述规律，求 $1^{2} + 2^{2} + 3^{2} + 4^{2} + 5^{2}$ 的值；

(2)、你能用一个含有 n (n 为正整数) 的算式表示这个规律吗? 请直接写出这个算式 (不计算)；

(3)、根据你发现的规律，计算下面算式的值： $6^{2} + 7^{2} + 8^{2} + 9^{2} + 1 0^{2} + 1 1^{2} + 1 2^{2} + 1 3^{2} + 1 4^{2} + 1 5^{2}$ .

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3、某“滴滴出行”司机刘师傅某天上午恰好从A地出发，在东西方向的公路上行驶营运动.下表是每次行驶的里程（单位：千米）与载客情况.（规定向东走为正，向西走为负；○表示空载，√表示载有乘客，且乘客都不相同）.
第几次
1
2
3
4
5
6
7
8 |
里程
-1
+15
-19
+16
+3
-12
-3
+12
载客
○
√
√
√
○
√
√
√

(1)、刘师傅走完第8次里程后，他在A地的什么方向？离A地有多少千米？

(2)、刘师傅发现每千米耗油约0.06升（其他因素油耗忽略不计），刘师傅这天上午从A地出发，运营完第八次后共耗油多少升？

(3)、已知载客单程不超过3千米收费12元，超过3千米后每千米收费3元，问刘师傅这天上午完成8次运营后的营业额为多少元？

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4、

(1)、若 $x^{2} = 4$ ， $| y | = 3$ ，且 $x y < 0$ . 求 $| x + y |$ 的值；

(2)、已知 a、b 互为相反数，m、n 互为倒数，x 绝对值为 2，求 $- 2 m n + \frac{b + a}{m - n} - x$ 的值.

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5、计算：
① $- 3 + 1 - (- 5)$ ；
② $(- 3 \frac{3}{7}) + 12.5 + (- 16 \frac{4}{7}) - (- 2.5)$ ；
③ $- 2^{2} \times 5 - {(- 2)}^{3} \div 4 - | - 2 |$ ；
④ $(- \frac{7}{12} + \frac{1}{2} - \frac{5}{6}) \times (- 36)$ .

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6、把下列各数的序号填在相应的表示集合的括号里：①0.618， ② $- 3.14$ ， ③ $- 4$ ， ④ $- \frac{3}{5}$ ， ⑤ $| - \frac{1}{3} |$ ， ⑥ $6 %$ ， ⑦0， ⑧32

(1)、整数：(    )

(2)、正有理数：(    )

(3)、负分数：(    )

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7、对于正整数a，我们规定：若a为奇数，则 $f (a) = 5 a - 1$ ；若a为偶数，则 $f (a) = \frac{a}{2}$ .例如 $f (3) = 5 \times 3 - 1 = 14$ ， $f (10) = \frac{10}{2} = 5$ . 若 $a_{1} = 8$ ， $a_{2} = f (a_{1})$ ， $a_{3} = f (a_{2})$ ， $a_{4} = f (a_{3})$ ， $⋯$ ，依此规律进行下去，得到一列数 $a_{1} = 2$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ ， $a_{4}$ ， $⋯$ .（n为正整数）， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + ⋯ + a_{2023} =$ .

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8、用十进制计数法表示正整数，如 $365 = 300 + 60 + 5 = 3 \times 1 0^{2} + 6 \times 1 0^{1} + 5$ ，用二进制计数法来表示正整数，如： $5 = 4 + 1 = 1 \times 2^{2} + 0 \times 2^{1} + 1 \times 1$ ，记作： $5 = (101)_{2}$ ， $14 = 8 + 4 + 2 = 1 \times 2^{3} + 1 \times 2^{2} + 1 \times 2^{1} + 0 \times 1$ ，记作： $14 = (1110)_{2}$ ，则 $(1011011)_{2}$ 表示数.

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9、若 $| x | = 2$ ， $| y | = 3$ ，且 $\frac{x}{y} < 0$ ，则 $x + y =$ .

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10、绍兴某日的最高气温为16℃，最低气温为-2℃，则该日的日温差是℃.

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11、干支纪年法是中国自古以来就一直使用的纪年方法，干支是天干和地支的总称. 干支纪年法的组合方式是天干在前，地支在后，以十天干和十二地支循环配合，每个组合代表一年，60年为一个循环. 我们把天干、地支按顺序排列，且给它们编上序号. 天干的计算方法是：年份减3，除以10所得的余数；地支的计算方法是：年份减3，除以12所得的余数. 以2000年为例：天干为 $(2000 - 3) \div 10 = 199 ⋯ ⋯ 7$ ；地支为 $(2000 - 3) \div 12 = 166 ⋯ ⋯ 5$ ；对照天干地支表得出，2000年为农历庚辰年.

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
天干
甲
乙
丙
丁
戊
己
庚
辛
壬
癸
地支
子
丑
寅
卯
辰
巳
午
未
申
酉
戌
亥
依据上述规律推断2025年为农历（）年.

A、乙巳 B、戊申 C、乙申 D、戊巳

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12、下列说法中：①实数包括无理数和有理数；②数轴上的点与有理数一一对应；③如果两个有理数的和为正数，积为负数，则这两个有理数一正一负，且正数的绝对值大；④近似数5.30所表示的准确数x的范围是： $5.25 \leq x < 5.35$ ；⑤绝对值等于本身的数是正数. 其中正确的个数为（）

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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13、已知a，b都是实数，若 $(a + 2)^{2} + | b - 1 | = 0$ ，则 $(a + b)^{2023}$ 的值是（）

A、-2023 B、-1 C、1 D、2023

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14、若a是最大的负整数，b是绝对值最小的有理数，c是倒数等于它本身的自然数，则代数式 $a + b - c$ 的值为（）

A、0 B、-2 C、2 D、-1

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15、下列各数互为相反数的是（）

A、3与|-3| B、 $(- 3)^{2}$ 与 $- 3^{2}$ C、 $(- 2)^{3}$ 和 $- 2^{3}$ D、 $(a - b)$ 与 $(- a - b)$

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16、今年来，ChinaTravel持续走热.数据显示，三季度免签入境外国人488.5万人次，同比增长了 $78.6 %$ .国外游客不再满足于走马观花式观光，更多人将体验中华文化作为主要目的，欣赏山河之美、人文之美、文明之美. ChinaTravel的热潮是多方面因素共同作用的结果. 它不仅反映了中国在国际上的影响力，也展示了中华文化的独特魅力. 其中488.5万用科学记数法表示为（）

A、 $488.5 \times 1 0^{4}$ B、 $48.85 \times 1 0^{5}$ C、 $4.885 \times 1 0^{6}$ D、 $0.4885 \times 1 0^{7}$

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17、如图，A，B两点在数轴上对应的数分别为a，b，且点A在点B的左边， $| a | = 10$ ， $a + b = 80$ ， $a b < 0$ .

(1)、求出a，b的值；

(2)、现有一只电子蚂蚁P从点A出发，以3个单位长度/秒的速度向右运动，同时另一只电子蚂蚁Q从点B出发，以2个单位长度/秒的速度向左运动.
① 设两只电子蚂蚁在数轴上的点C相遇，点C对应的数是多少？
② 当两只电子蚂蚁在数轴上相距20个单位长度时，此时点A表示的数为多少？

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18、如图为温州市轻轨S1线路图的一部分. 国庆期间，小实来到温州轨道S1线参加义工活动，帮助各个站点的乘客购票，本次义工从动车南开始，记往双瓯大道方向为正，往桐岭方向为负. 当天乘车站数依次为单位：站)：+5，-2，-1，+9，+2，-3，-10.

(1)、通过计算说明小实最后是否回到了起点.

(2)、小实本次志愿活动离动车南站最远的站点（正方向上）是.

(3)、若相邻两站之间的平均路程为2.5千米，求这次小实义工期间乘坐轻轨行进的总路程约多少千米？

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19、小安房间窗户的装饰物如图所示，它们是由两个四分之一圆组成（半径相同）：

(1)、若 $| a - 2 | + (b - 1)^{2} = 0$ ，则 $a =$ ， $b =$ ；

(2)、利用(1)中数据请求出窗户能射进阳光的面积（ $π$ 取3）.

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20、计算：

(1)、 $3 - 2 \times 5$

(2)、 $(\frac{1}{3} - \frac{3}{4} + \frac{1}{24}) \times (- 24)$

(3)、 $- 4^{2} \times (- \frac{1}{8}) + (- 2)^{3} \div (- \frac{1}{3})$

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里程	-1	+15	-19	+16	+3	-12	-3	+12
载客	○	√	√	√	○	√	√	√