相关试卷

1、如图，在矩形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ， $∠ B A C$ 的平分线交 $B C$ 于点 $E$ ，连结 $O E$ ．已知 $O E = \sqrt{10}$ ， $∠ A E O = 45 °$ ，则 $A B =$ ．

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2、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 6$ ， $A C = 8$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，点 $E$ 、 $F$ 分别是 $A B$ 、 $A C$ 的中点，则 $△ D E F$ 的周长为．

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3、用反证法证明“已知 $△ A B C$ 的三边长为 $a$ ， $b$ ， $c$ $(a < b < c)$ ，若 $a^{2} + b^{2} \neq c^{2}$ ，则 $△ A B C$ 不是直角三角形”时，应先假设．

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4、如图，在 $▱ A B C D$ 中， $∠ D = 5 ∠ C A B$ ，在 $A C$ 上取点 $P$ ，使 $P C = B C$ ，连结 $B P$ ，过点 $P$ 作 $E F ⊥ C D$ 交 $A B$ ， $C D$ 分别于点 $E$ ， $F$ ．已知 $B E = 2$ ， $A E = x$ ， $B P = y$ ，当 $x$ ， $y$ 发生变化时，下列代数式值不变的是（）

A、 $x + y$ B、 $x - y$ C、 $x y$ D、 $x^{2} + y^{2}$

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5、如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（）

A、150° B、145° C、140° D、135°

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6、硼、碳、氧、氟是化学元素周期表中第二周期的四种元素，下列选项中分别是它们的元素符号，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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7、如图1，在平行四边形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $B C$ 上一点，连结 $A E$ ，使 $A E = A D$ ， $F$ 是 $A E$ 上一点，满足 $∠ D F E = ∠ B A D$ ．

(1)、求证： $A F = E B$ ．

(2)、如图2，连结 $D E$ ，过点 $F$ 作 $F G ∥ A D$ 交 $D E$ 于点 $G$ ，连结 $C G$ ．
①求证：四边形 $F E C G$ 为菱形．
②若 $A B = \sqrt{3} + 1$ ， $∠ B = 120 °$ ， $D F ⊥ D C$ ，求 $E G$ 的长．

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8、小嵊和小州两位八年级同学对图形过弯道时的最大尺寸展开了探究：
素材提供：
图1是弯道示意图，它可以看成由一个直角和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $x > 0$ )的图象组成，其中 $∠ A = 90 °$ ，它的两边分别平行 $x$ 轴和 $y$ 轴，第一象限的角平分线经过点 $A$ ，交反比例函数的图象于点 $B$ ， $O B = \sqrt{2}$ ， $O A = 3 \sqrt{2}$ ．

(1)、问题解决：
反比例函数中 $k$ 的值为；

(2)、小嵊将线段 $C D$ 按如图2摆放， $C$ ， $D$ 两点都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $x > 0$ )的图象上， $C D$ 的中点恰好与点 $A$ 重合，且 $C D ⊥ A B$ ，则此时线段 $C D$ 刚好不能通过弯道，求此时点 $C$ 的坐标．

(3)、探究提升：
小州借助同样的思路将矩形 $M N P Q$ 按如图3摆放， $P$ ， $Q$ 两点都在反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $x > 0$ )的图象上， $M N$ 的中点恰好与点 $A$ 重合，且 $M N ⊥ A B$ ，矩形 $M N P Q$ 刚好不能通过弯道．若 $N P = \sqrt{2}$ ，要使矩形能通过该弯道，求 $M N$ 的最大整数值．（参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.414$ ， $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{6} \approx 2.449$ ）

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9、近几年，“浙东唐诗之路”山水挑战赛“贵门”轻越野跑的关注度越来越高．据某平台统计，赛事的参赛跑友逐年增多，从2023年的1000人增加到2025年的1210人．

(1)、求2024，2025这两年参加“贵门”轻越野跑友人数的年均增长率．

(2)、某网店以每组30元的进价购进一批护膝肌贴组．当每组售价为50元时，3月份售出了1600组，随着市民健跑热情的增加，该网店的护膝肌贴组十分畅销．为了回馈顾客，该网店决定采用降价促销的方式．经调查发现，该护膝肌贴组每组每降价1元，每月销售量就增加200组，该网店计划4月份售卖护膝肌贴组获利36000元，为了尽可能多的让利于顾客，该护膝肌贴组每组应降价多少元？

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10、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，一次函数 $y = x + 1$ 和反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ ( $k$ 为常数且 $k \neq 0$ )的图象交于 $A (- 2, m)$ ， $B (1, n)$ 两点．

(1)、求反比例函数的解析式；

(2)、根据图象，直接写出当 $x + 1 < \frac{k}{x}$ 时， $x$ 的取值范围．

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11、某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长 $t$ （单位：分钟），结果分为六组：第1组( $0 \leq t < 30$ )，第2组( $30 \leq t < 60$ )，第3组( $60 \leq t < 90$ )，第4组( $90 \leq t < 120$ )，第5组( $120 \leq t < 150$ )，第6组( $t \geq 150$ )，刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题：

(1)、分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数；

(2)、抽查的每天运动打卡时长的中位数在第组；

(3)、若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数．

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12、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点 $E ， F$ 分别在 $A D ， B C$ 上，且 $∠ A E B = ∠ C F D$ ．求证：四边形 $B F D E$ 是平行四边形．

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13、解方程：

(1)、 $x^{2} - 4 = 0$

(2)、 ${(x - 2)}^{2} = x - 2$

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14、计算：

(1)、 $(\sqrt{3} - \sqrt{2}) (\sqrt{3} + \sqrt{2})$ ；

(2)、 $\sqrt{3} (1 - \sqrt{15}) + 3 \sqrt{5}$ ．

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15、如图，菱形 $A B C D$ 的边长为5，点 $E$ 在边 $A B$ 上，连结 $C E$ ，过点 $D$ 作 $D F ⊥ C E$ 于点 $F$ ， $C E$ ， $D F$ 将菱形分割成三部分后，恰好可以拼成一个直角三角形，若 $E C = D F + 2$ ，则线段 $A E$ 的长度为．

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16、如图，在平面直角坐标系中，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 的图象与一次函数 $y = m x (m > 0)$ 的图象交于 $A B$ 两点，点 $C$ 在 $x$ 轴上，若 $A O = A C$ ， $S_{△ A B C} = 10$ ，则 $k$ 的值是．

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17、我们知道：四边形具有不稳定性．如图，在平面直角坐标系中，矩形 $A B C D$ 的边 $A B$ 在 $x$ 轴上，点 $A$ 的坐标为 $(- 2, 0)$ ， $B$ 的坐标为 $(3, 0)$ ， $A D = 4$ ，固定点 $A$ ， $B$ ，把矩形沿 $x$ 轴正方向推，使点 $D$ 落在 $y$ 轴正半轴上点 $D^{'}$ 处，则点 $C$ 的对应点 $C^{'}$ 的坐标为．

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18、求一组数据方差的算式为： $S^{2} = \frac{1}{n} [{(6 - \bar{x})}^{2} + {(7 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2} + {(6 - \bar{x})}^{2} + {(8 - \bar{x})}^{2}]$ ，由算式提供的信息，则该组数据的方差 $S^{2} =$ ．

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19、把方程 $x^{2} + 2 x - 3 = 0$ 变形为 ${(x + h)}^{2} = k$ 的形式，其中 $h$ ， $k$ 为常数，则 $k$ 的值为．

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20、如图，平行四边形 $A B C D$ 中， $A B > B C$ ， $∠ D A B = 45 °$ ， $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，点 $E$ 在边 $C D$ 上，连结 $O E$ ，若 $C E$ 的长度恰好是平行四边形 $A B C D$ 周长的 $\frac{1}{4}$ ，则要计算 $O E$ 的长度，只需要知道（　　）

A、平行四边形的周长 B、边 $A B$ 的长 C、边 $B C$ 的长 D、边 $A C$ 的长

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