相关试卷

1、如图1， $⊙ O$ 为 $△ A B C$ 的外接圆，且 $A B = B C$ ，点 $D$ 为圆外一动点，且满足 $B D = B A$ ，连结 $A D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，交 $⊙ O$ 于点 $F$ ，连结 $B F$ ．

(1)、若 $A D$ 经过圆心 $O ， A F = 5 ， B F = 3$ ，求 $A B$ 的长；

(2)、求证： $B F$ 平分 $∠ D B C$ ；

(3)、如图2，若 $B D ∥ A C$ ，设 $D F : E F = k$ ，请用含 $k$ 的代数式表示 $cos C$ ．

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2、设二次函数 $y = - x^{2} + 2 a x - a + 3$ ．

(1)、若该函数的对称轴为直线 $x = 1$ ．求该函数的顶点坐标；

(2)、判断该函数是否存在最大值5，若存在，求出 $a$ 的值；若不存在，请说明理由；

(3)、已知点 $P (6 ， 3 - a)$ ， $M (x_{1}, y_{1})$ 和 $N (x_{2}, y_{2})$ 在函数图象上，当 $1 \leq x_{1} \leq 4$ 时，都有 $y_{1} > y_{2}$ ，求 $x_{2}$ 的取值范围．

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3、定义：将一组对角线相同，另一组对角线共线的菱形称为“组合菱形”，内部菱形与外部菱形的共线对角线长之比称为组合比，用 $k$ 表示．如图，菱形 $A B C D$ 和菱形 $E A F C$ 是组合菱形，其中 $B D$ 与 $E F$ 共线，且满足 $B D : E F = \frac{1}{3}$ ．

(1)、组合比 $k =$ ___________；

(2)、若 $B E = 2 ， A B = 3$ ，求 $A C$ 的长；

(3)、若 $∠ B A D = ∠ A E C$ ，求证： $∠ A E B = 30 °$ ．

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4、某项目学习小组进行野外考察，利用铺垫木板的方式通过一片烂泥湿地，当人和木板对湿地的压力 $F$ （单位： $N$ ）一定时，木板面积 $S$ （单位： $m^{2}$ ）与人和木板对地面的压强 $P$ （单位： $Pa$ ）成反比例．当木板面积为 $0. {2m}^{2}$ 时，人和木板对地面的压强为 $3000 Pa$ ．

(1)、求 $P$ 关于 $S$ 的函数表达式；

(2)、当木板面积为 $0.3 m^{2}$ 时，压强是多少？

(3)、如果要求压强不超过 $1200 Pa$ ，木板面积至少要多大？请说明理由．

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5、中国的人工智能 $(AI)$ 领域近年来取得了显著的进展，并推动了 $AI$ 技术在各行各业的普及和应用．小城同学采用抽样调查的方式对九年级部分同学做了“我最常使用的 $AI$ 软件”的问卷调查，并根据调查收集的数据，绘制了如下的统计图表：
九年级学生最常使用的“ $AI$ ”软件统计表
$AI$ 软件
使用人数
百分比
$D e e p s e e k$
18
$a$
$K i m i$
12

豆包
$b$

腾讯元宝
6

其他软件

8%
九年级学生最常使用的“ $AI$ 软件统计图”

(1)、请写出统计表中 $a ， b$ 的值：
$a =$ ___________， $b =$ ___________；

(2)、已知九年级有400位同学，试估算最常使用“ $D e e p s e e k$ ”的同学有多少位？

(3)、小城了解到：使用“ $D e e p s e e k$ ”和“ $K i m i$ ”组合生成的 $ppt$ 效果很好，堪称“王炸组合”．现从“ $D e e p s e e k$ ”、“ $K i m i$ ”、“豆包”和”腾讯元宝”这四款软件中挑出两款，求挑出的恰好是" $D e e p s e e k$ "和" $K i m i$ "的概率．

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6、在 $△ A B C$ 中， $B E$ 平分 $∠ A B C$ ， $A D$ 是 $B C$ 边上的高， $∠ A B E = 30^{\circ}$ ．

(1)、求 $∠ B A D$ 的度数；

(2)、若 $B D = \sqrt{3} ， D C = 6$ ，求 $A C$ 的长度．

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7、用数轴解不等式组 $\{\begin{cases} 3 - x < 4 \\ \frac{x - 2}{6} \geq \frac{x}{2} - 1 \end{cases}$ ．

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8、计算： ${(- 1)}^{2025} + {(\frac{1}{3})}^{- 1} - \sqrt{16}$ ．

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9、如图，在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在边 $A D$ 、 $D C$ 上，且 $D E = D F$ ，点 $B$ 关于直线 $E G$ 的对称点 $B^{'}$ 在线段 $B C$ 的延长线上， $B^{'} E$ 与 $B F$ 交于点 $H$ ．
（1）若点 $A$ 与点 $H$ 关于直线 $B E$ 对称，则 $tan ∠ E B A =$ ；
（2）若 $\frac{H F}{H B} = \frac{1}{12}$ ，则 $\frac{C B^{'}}{C B} =$ ．

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10、把电阻值分别为 $R_{1} ， R_{2}$ 的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值 $R$ （单位： $Ω$ ）满足 $\frac{1}{R} = \frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}}$ ．当 $R_{1} = 2 R_{2}$ 时， $\frac{R}{R_{2}} =$ ．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4$ ， $B D$ 是 $A C$ 边上的中线， $D$ 点到 $B C$ 的距离为2，则 $S_{△ A B C} =$ ．

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12、因式分解： $m a^{2} - m =$ ．

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13、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $B C = 4$ ，点 $O$ 为对角线 $B D$ 的中点， $E$ 为线段 $A B$ 上一点，连结 $E O$ ，并延长交 $D C$ 于点 $F$ ，以点 $F$ 为圆心，适当长为半径画弧，交 $F D$ 于点 $M$ ，交 $E F$ 于点 $N$ ．再以点 $N$ 为圆心， $M N$ 长为半径画弧，两弧交于点 $P$ ，连接 $F P$ ，并延长交线段 $A B$ 于点 $Q$ ．则下列两个命题中说法正确的是（）
$①$ $△ Q E F$ 为等腰三角形；
$②$ 设 $A E$ 长为 $x$ ， $B Q$ 长为 $y$ ，则 $(4 - x) (4 - y) = 4$ ．

A、 $①$ 正确， $②$ 正确 B、 $①$ 正确， $②$ 错误 C、 $①$ 错误， $②$ 正确 D、 $①$ 错误， $②$ 错误

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14、已知某函数的函数值 $y$ 和自变量 $x$ 的部分对应值如下表：
$x$
．．．
$a - 1$
$a$
$a + 1$
．．．
$y$
．．．
$b + 2$
$b$
$b - 2$
．．．
则这个函数的图象可能是（）

A、 B、 C、 D、

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15、某班级共有 $m$ 位学生，现将 $n$ 个枇杷作为午餐水果分发给学生．若每人发2个，则还剩10个；若每人发3个，则还缺30个．下列四个方程：
① $2 m + 10 = 3 m - 30$ ；② $2 m - 10 = 3 m + 30$ ；③ $\frac{n + 10}{2} = \frac{n - 30}{3}$ ；④ $\frac{n - 10}{2} = \frac{n + 30}{3}$ ，其中符合题意的是（）

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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16、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ ，把 $△ A B C$ 绕直线 $A B$ 旋转一周，所得几何体的侧面积为（）

A、 $π$ B、 $\sqrt{5} π$ C、 $2 \sqrt{5} π$ D、 $4 π$

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17、如图是一张横格数学作业纸，纸中的横线都平行，且相邻两条横线间的距离都相等．线段 $A C$ 在横格纸上，与作业本的横线交于点 $B$ ，若 $A C = 10$ ，则 $A B$ 的长是（）

A、2 B、4 C、6 D、8

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18、下列计算正确的是（）

A、 $a^{3} \cdot a^{3} = a^{9}$ B、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ C、 $2 a^{2} - a^{2} = 2$ D、 $a^{4} \div a^{2} = a^{2}$

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19、如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ C = 20 °$ ，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $30 °$ C、 $20 °$ D、 $10 °$

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20、 $\frac{5}{6}$ 的相反数是（　　）

A、 $- \frac{6}{5}$ B、 $- \frac{5}{6}$ C、 $\frac{5}{6}$ D、 $\frac{6}{5}$

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$AI$ 软件	使用人数	百分比
$D e e p s e e k$	18	$a$
$K i m i$	12
豆包	$b$
腾讯元宝	6
其他软件		8%

$x$	．．．	$a - 1$	$a$	$a + 1$	．．．
$y$	．．．	$b + 2$	$b$	$b - 2$	．．．