相关试卷

1、如图，⊙O是锐角三角形ABC 的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，连结 DE，EF，FD.若 DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( )

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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2、已知a是方程 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的一个根，则 $- 4 a^{2} + 6 a$ 的值为 ( )

A、10 B、-10 C、2 D、-40

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3、【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.费马曾写信请托里拆利解答如下问题：如图R5-5①，给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马一托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点
A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'，连结 PP'，
∴∠PAP^'=60°，AP=AP^' ， PC=P^'C^' ，
∴△APP'为等边三角形，∴AP=PP'，
$∴ P A + P B + P C = P P^{'} + P B + P^{'} C^{'} .$
点 C'可看成是点 C 绕点 A 逆时针旋转 60°而得的定点，BC为定长，
∴当 B，P，P'，C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.

(1)、观察图②中∠APB，∠BPC和∠APC，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、【类比探究】如图③，在 Rt△ABC内部有一动点 P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结PA，PB，PC，若 BC=2，求 PA+PB+PC的最小值；

(3)、【拓展应用】如图④，已知正方形AB-CD内一动点 P 到A，B，C三点的距离之和的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6} ，$ 求此正方形的边长.

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4、阅读材料，解答下列问题：
材料：已知. $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1 ，$ 求 $\sqrt{15 - x} +$ $\sqrt{8 - x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的：
$∵ (\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
=15-x-8+x=7，
$∴ \sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7 .$
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7 .$

(1)、求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值；

(2)、求x的值.

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5、定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角.

(1)、如图①，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A=90°，对角线 DB 平分∠ADC，求证：四边形ABCD为邻等四边形；

(2)、如图②，在6×5的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形ABCD是邻等四边形，请画出所有符合条件的格点 D；

(3)、如图③，四边形 ABCD 是邻等四边形，∠DAB=∠ABC=90°，∠BCD为邻等角，连结AC，过点 B 作 BE∥AC交DA 的延长线于点E.若AC=8，DE=10，求四边形 EBCD的周长.

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6、定义：对于y关于x的函数，函数在 $x_{1} \leq x \leq x_{2} (x_{1} < x_{2})$ 范围内的最大值，记作M[x₁ ， x₂].
如函数y=2x，在-1≤x≤3范围内，该函数的最大值是6，即M[-1，3]=6.
请根据以上信息，完成以下问题：
已知函数 $y = (a - 1) x^{2} - 4 x + a^{2} - 1$ (a为常数).

(1)、若a=2.
①直接写出该函数的表达式，并求 M[1，4]的值；
②已知 $M [p, \frac{5}{2}] = 3 ，$ 求p的值.

(2)、若该函数的图象经过点(0，0)，且.M[-3，k]=k，求k的值.

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7、在数轴上，点A表示的数是4，点O表示的数是0，点 P 表示的数是p(p≠0).定义：点 B在线段OP 上，如果线段 AB的长度有最大值m，则称m为点 A与线段OP的“闭距离”.例如：p=2，当点 B 与点 O重合时，m=4.若p=-2，则m的值是( )

A、2 B、4 C、5 D、6

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8、对于一个二次函数 y=a(x- ${m)}^{2} + k (a \neq 0)$ 中存在一点 P(x'，y')，使得x'- $m = y^{'} - k \neq 0 ，$ 则称 $2 ∣ x^{'} - m ∣$ 为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线 $y = - \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{3} x + 3$ 的“开口大小”为.

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9、如图 R4-12，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点O，A，B，C在格点(两条网格线的交点叫格点)上，以点O为原点建立直角坐标系.

(1)、过点 A，B，C的圆的圆心M 的坐标为；

(2)、请通过计算判断点 D(-3，-2)与⊙M的位置关系.

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10、如图，点 A 是 5×5 网格图形中的一个格点(小正方形的顶点)，图中每个小正方形的边长为1，以点 A 为其中的一个顶点，面积等于 $\frac{5}{2}$ 的格点等腰直角三角形(三角形的三个顶点都是格点)的个数为( )

A、10个 B、12个 C、14 个 D、16个

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11、如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点 C，D，则cos∠ADC的值为.

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12、如图是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上.按如下要求利用无刻度的直尺作图(保留作图痕迹，不写作法).

(1)、如图①，画出△ABC的中线AD；

(2)、如图②，在△ABC的边 BC 上找一点E，使得∠BAE=45°；

(3)、如图③，在△ABC的边 BC 上找一点 F，连结 AF，使△ABF的面积为 1.

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13、如图，在5×5的方格纸中，请按要求画格点图形(顶点均在格点上).

(1)、在图①中画一个△ABC，使点 C在AB 的中垂线上；

(2)、在图②中画一个△ABC，使点 B 在AC 的中垂线上.

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14、如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.

(1)、如图①，在△ABC内寻找格点 P，使得∠BPC=2∠A；

(2)、如图②，在线段AC上找一点 Q，使得 $\frac{A Q}{C Q} = \frac{1}{2} .$

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15、如图，各图形顶点都在小正方形的格点上，分别根据下列要求画出图形.

(1)、在图①中，在BC上找一点D，使得AD平分△ABC的面积；

(2)、在图②中，在 BC上找一点E，使得AE 将△ABC分成面积比为1：2 的两部分.(找到一个即可)

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16、图①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形(顶点均在格点上).

(1)、在图①中以 AB为对角线画一个四边形ADBC，使得AB=CD；

(2)、在图②中以点 E 为顶点画一个菱形EF-GH，使得S_菱形EFGH=2S_{四边形ADBC} ，

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17、图①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，分别按要求画出图形.

(1)、在图①中画出一个以 AB 为边的▱AB-CD，且点 C 和点 D 均在格点上；

(2)、在图②中画出一个以 AB 为对角线的菱形AEBF，且点 E 和点 F 均在格点上.

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18、如图，在四边形ABCD 中，AB∥CD，点 E 在边 AB上， ▲ .
请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上(填序号)，再解决下列问题：

(1)、求证：四边形 BCDE为平行四边形；

(2)、若AD⊥AB，AD=8，BC=10，求线段AE的长.

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19、一次函数y=(3m+1)x-2 的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值：.

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20、阅读材料：小学阶段我们学习过被3整除的数的规律，初中阶段可以论证结论的正确性.以三位数为例，设abc是一个三位数，若a+b+c可以被3整除，则这个数可以被3 整除.论证过程如下： abc=100a+10b+c=(99a+9b)+(a+b+c)，显然99a+9b可以被3整除，因此，如果a+b+c可以被3整除，那么 abc就能被3整除.
应用材料解答下列问题：

(1)、设 $a b c$ 是一个三位数，当 $a b c$ 满足什么条件时，它可以被5 整除?

(2)、设 $a b c d$ 是一个四位数，猜想 $a b c d$ 满足什么条件时，它可以被4整除，并说明理由.

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