相关试卷

1、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $B C$ 边上一点（不与点B，C重合），将线段 $A D$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ ，得到线段 $A E$ ，连接 $E C$ ， $D E$ ．

(1)、若 $C D = 1$ ， $B D = 2$ ，求 $D E$ 的长；

(2)、如图2，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ， D为 $△ A B C$ 外一点，且 $∠ A D C = 45 °$ ，线段 $A D, B D, C D$ 之间满足的等量关系又是如何的，请证明你的结论：

(3)、如图3，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点C，D是 $⊙ O$ 上的点，且 $∠ A D C = 45 °$ ，求证： $A D + B D = \sqrt{2} C D$ ．

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2、某商家销售一种糕点，每盒进价为40元．在销售过程中发现，周销量 $y$ （盒）与销售单价 $x$ （元）之间满足一次函数关系，其部分对应数据如表所示：
销售单价 $x$ （元）
…
60
65
70
…
周销量 $y$ （盒）
…
240
210
180
…

(1)、求 $y$ 关于 $x$ 的函数表达式．

(2)、当销售单价定为多少元时，每周出售这种糕点所获利润最大？最大利润为多少元？

(3)、若规定销售单价需满足 $50 \leq x \leq 70$ ，则每周至少可获得多少利润．

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3、解题时，最容易想到的方法未必是最简单的，你可以再想一想，尽量优化解法．
例题呈现
关于x的方程 $a {(x + m)}^{2} + b = 0$ 的解是 $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 2$ （ $a$ 、 $m$ 、 $b$ 均为常数， $a \neq 0$ ），则方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 的解是？
解法探讨
（1）小明的思路如下所示：
小明的思路
第1步把1、 $- 2$ 代入到第1个方程中求出m的值；
第2步把m的值代入到第1个方程中求出 $- \frac{b}{a}$ ；
第3步用直接开平方法解第2个方程．
（2）小红仔细观察两个方程，她把第2个方程 $a {(x + m + 2)}^{2} + b = 0$ 中的“ $x + 2$ ”看作第1个方程中的“x”，则“ $x + 2$ ”的值是______，从而更简单地解决了问题．
（3）小亮的思路则是用二次函数与一元二次方程的联系，从函数图象平移的角度迅速求得了该方程的解是______；
策略运用
（4）小明、小红和小亮认真思考后发现，利用方程结构的特点，无需计算“根的判别式”就能轻松解决以下问题，请用他们的方法完成解答．
已知方程 $(a^{2} - 2 b^{2}) x^{2} + (2 b^{2} - 2 c^{2}) x + 2 c^{2} - a^{2} = 0$ 有两个相等的实数根，其中a、b、c是 $△ A B C$ 三边的长，判断 $△ A B C$ 的形状．

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4、如图，在 $⊙ O$ 中， $A B ， A C$ 为互相垂直且相等的两条弦， $O D ⊥ A B ， O E ⊥ A C$ ，垂足分别为D、E， $A C = 2$ ，求 $⊙ O$ 半径．

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5、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (- 1, 3)$ ， $B (- 3, 0)$ ， $C (- 1, 0)$ ，把 $△ A B C$ 绕点 $C$ 按顺时针方向旋转 $90 °$ 后得到 $△ A_{1} B_{1} C$ ．（每个方格的边长均为1个单位）

(1)、画出 $△ A_{1} B_{1} C$ ；

(2)、并直接写出： $A_{1}$ 的坐标为________， $B_{1}$ 的坐标为________；

(3)、判断直线 $A B$ 与直线 $A_{1} B_{1}$ 的位置关系为________．

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6、计算：

(1)、解方程： $x^{2} + 2 x - 8 = 0$ ；

(2)、请直接写出函数 $y = x^{2} + 2 x - 8$ 的图像与x轴交点的横坐标．

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7、在 $Rt △ A B D$ 中， $∠ B = 90 °$ ，点C在线段 $A D$ 上，过点C作 $C E ⊥ A B$ 于点E， $C F ⊥ B D$ 于点F，使得四边形 $C E B F$ 为正方形，此时 $A C = 3 cm, C D = 4 cm$ ，则阴影部分面积为．

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8、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （a≠0）的图象如图所示，下列结论：① $a b c < 0$ ； ② $2 a + b = 0$ ；③m为任意实数时， $a + b \leq m (a m ＋ b)$ ；④ $a - b + c > 0$ ；⑤若 $a x_{1}^{2} + b x_{1} = a x_{2}^{2} + b x_{2}$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = 2$ ；其中正确的有（）

A、①②③④ B、②③④ C、②③④⑤ D、①②③④⑤

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9、已知关于x的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ 的部分对应值如表：
$x$
$\begin{array}{l} 3.1 \end{array}$
$3.2$
$3.3$
$3.4$
$3.5$
$a x^{2} + b x + c$
$\begin{array}{l} - 0.69 \end{array}$
$- 0.36$
$\begin{array}{l} - 0.01 \end{array}$
$0.36$
$0.75$
据此可估计关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的一个根的取值范围为（）

A、 $3.1 < x < 3.2$ B、 $3.3 < x < 3.4$ C、 $3.2 < x < 3.3$ D、 $3.4 < x < 3.5$

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10、在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $⊙ O$ 的半径为3，直线l的解析式为 $y = \frac{3}{4} x + 3$ ，那么直线l与 $⊙ O$ 的位置关系是（）

A、相离 B、相切 C、相交 D、无法确定

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11、【教材呈现】下面是八年级上册数学课本关于三边关系的一道题目：
填空：
如图 $①$ ，由三角形两边的和大于第三边，得： $A B + A D >$ ______， $P D + C D >$ ______．
将不等式左边、右边分别相加，得 $A B + A D + P D + C D >$ ______，即 $A B + A C >$ ______．
（1）补全上面步骤；
【类比猜想】
（2）如图 $②$ ，请你仿照上述解题过程，探究当点 $D$ 与点 $P$ 重合时， $A D + B D + C D$ 与 $\frac{1}{2} (A B + A C + B C)$ 的数量关系，并说明理由．

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12、“数缺形时少直观，形缺数时难入微．数形结合百般好，隔裂分家万事休．”数形结合是解决数学问题的重要思想方法．通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个代数恒等式．如图①是一个长为 $4 n$ ，宽为 $m$ 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图②的方式拼成一个大正方形．

(1)、请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积（直接用含 $m$ ， $n$ 的代数式表示）：
方法一：______；
方法二：______；

(2)、根据（1）中的结论，请你写出代数式 ${(m + n)}^{2}$ ， ${(m - n)}^{2}$ ， $m n$ 之间的等量关系为______；

(3)、根据（2）中的等量关系，解决如下问题：
已知实数 $a$ ， $b$ 满足： $a + b = 5$ ， $a b = 4$ 且 $a > b$ ，求 $a - b$ 的值．

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13、如图，AD是 $△ A B C$ 的角平分线， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ，垂足分别是E，F，连接EF与AD相交于G点.
（1）证明： $△ A E D ≌ △ A F D$ ；
（2）AD是EF的中垂线吗？若是，证明你的结论.

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14、 $△ A B C$ 在直角坐标系内的位置如图所示．

(1)、在这个坐标系内画出 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，使 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 与 $△ A B C$ 关于 $y$ 轴对称，写出 $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积．

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15、如图是杨辉三角．
结合图形，观察下列等式：
${(a + b)}^{1} = a + b$ ；
${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ ；
${(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$ ；
${(a + b)}^{4} = a^{4} + 4 a^{3} b + 6 a^{2} b^{2} + 4 a b^{3} + b^{4}$ ；
……
根据前面各式规律，写出 ${(a + b)}^{6}$ 的展开式的第4项：．

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16、如图， $C D$ 是 $△ A B C$ 的中线， $B C = a ， A C = b ， a > b$ ，则 $△ B C D$ 的周长比 $△ A C D$ 的周长大（用含a，b的代数式表示）．

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17、如图， $∠ A O B = 50 °$ ，点P为 $∠ A O B$ 内一定点，点 $E 、 F$ 分别在 $O A 、 O B$ 上．当 $△ P E F$ 周长最小时， $∠ E P F =$ （）

A、 $50 °$ B、 $80 °$ C、 $100 °$ D、 $130 °$

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18、如图，在 $3 \times 4$ 正方形网格中，小正方形的顶点称为格点．已知A、B两点都在格点上，如果点C也在图中网格中的格点上且满足 $△ A B C$ 是等腰三角形，那么符合条件的点C共有（）个．

A、4 B、5 C、6 D、7

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19、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ，根据尺规作图的痕迹，判断以下结论错误的是（）

A、 $∠ B D E = ∠ B A C$ B、 $∠ B A D = ∠ B$ C、 $D E = D C$ D、 $A E = A C$

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20、如果等腰三角形的顶角为 $50 °$ ，那么它的底角为（）

A、 $50 °$ B、 $65 °$ C、 $80 °$ D、 $50 °$ 或 $80 °$

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销售单价 $x$ （元）	…	60	65	70	…
周销量 $y$ （盒）	…	240	210	180	…

$x$	$\begin{array}{l} 3.1 \end{array}$	$3.2$	$3.3$	$3.4$	$3.5$
$a x^{2} + b x + c$	$\begin{array}{l} - 0.69 \end{array}$	$- 0.36$	$\begin{array}{l} - 0.01 \end{array}$	$0.36$	$0.75$