相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $D$ ， $E$ 分别为 $B C$ ， $A B$ 的中点，连接 $D E$ 并延长至点 $F$ ，使 $E F = D E$ ，连接 $A F$ ， $B F$ ．

(1)、求证：四边形 $A D B F$ 为矩形；

(2)、过点 $E$ 作 $M E ⊥ D F$ 交 $A D$ 于点 $M$ ，若 $A F = \sqrt{10}$ ， $t a n ∠ C A B = \frac{3}{4}$ ，求 $M E$ 的长．

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2、如图，反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 的图象与直线 $y = - x + 4$ 交于 $A$ ， $B$ 两点，点 $P$ 是线段 $A B$ 上一个动点（与 $A$ 、 $B$ 两点不重合），过 $P$ 点分别作 $x$ 轴、 $y$ 轴的垂线，垂足分别为点 $C$ 、 $D$ ， $P C$ 、 $P D$ 与反比例函数图象分别交于点 $E$ 、 $F$ ．

(1)、求 $A$ 点的坐标；

(2)、求 $C E + D F$ 的最小值．

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3、2025年10月31日晚，神舟二十一号载人飞船发射成功，某中学为了解本校学生对航天知识的了解情况，对全校学生进行了航天知识测试（百分制），并对 $A$ 、 $B$ 两班学生的成绩进行统计分析，过程如下：
【收集数据】
$A$ 班学生的成绩：78，83，89，97，98，85，100，94，87，90，93，94，99，95，100，95，95，93，86，89．
$B$ 班学生的成绩：81，82，83，85，87，96，87，92，94，95，87，93，95，92，97，88，82，90，85，89．
【分析数据】
班级
平均数
众数
中位数
方差
A
92
95
$a$
34.2
B
89
$b$
88.5
24.4
根据以上信息，解决下列问题．

(1)、填空： $a =$ ， $b =$ ；

(2)、已知本次测试成绩在班级排名前50%的学生有机会参与学校举办的航天知识竞赛，A班的小宁同学本次测试成绩为94分，请你判断她是否有机会参与航天知识竞赛；

(3)、A班和B班都计划从甲、乙、丙、丁四个有关航天的科普视频中，随机选取一个给学生播放，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两个视频恰好同时被播放的概率．

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4、计算及解方程：

(1)、计算： $- 1^{2026} + \sqrt{9} - 3 t a n 45 ° + {(\frac{1}{2})}^{- 1}$ ；

(2)、解方程： $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ ．

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5、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，顶点坐标为 $(1, n)$ ；与 $x$ 轴的交点为 $A (- 1, 0)$ 和点 $B$ ；与 $y$ 轴的交点在 $(0, 2)$ 与 $(0, 3)$ 之间（包括端点）．下述结论：① $b^{2} - 4 a c > 0$ ；② $3 a + c < 0$ ；③点 $(- 2, y_{1})$ ， $(\frac{1}{2}, y_{2})$ ， $(5, y_{3})$ 都在抛物线上，则 $y_{1} > y_{3} > y_{2}$ ；④方程 $a x^{2} + b x + c - n - 1 = 0$ 无实根；⑤ $\frac{8}{3} \leq n \leq 4$ ．这其中正确的结论是．（填写番号）

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6、“二鸟饮泉”问题中记载：“两塔高分别为30步和20步．两塔之间有喷泉，两鸟从两塔顶同时出发，以相同速度沿直线飞往喷泉中心，同时抵达，喷泉与两塔在同一平面内，求两塔之间的距离．即“如图，已知 $A C ⊥ A B$ ， $B D ⊥ A B$ ， $M$ 是 $A B$ 上一点， $C M = D M$ ， $A C = 30$ ， $B D = 20$ ，在 $C$ 处测得点 $M$ 的俯角为 $60 °$ ，那么 $A B =$ ． ”

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7、如果 $a + b = 3$ ， $a^{2} - b^{2} = 12$ ，那么 $a - b =$ ．

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8、如图，正方形 $A B C D$ 的边长为1， $G$ 是对角线 $B D$ 上一动点， $G E ⊥ C D$ 于点 $E$ ， $G F ⊥ B C$ 于点 $F$ ，连接 $E F$ ，给出四种情况：①若 $G$ 为 $B D$ 的中点，则四边形 $C E G F$ 是正方形；②点 $G$ 在运动过程中，始终满足 $∠ G A D = ∠ G F E$ ；③点 $G$ 在运动过程中， $G E + G F$ 的值为定值1；④点 $G$ 在运动过程中，线段 $E F$ 的最小值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．其中正确的有（）

A、①②③ B、②③④ C、①③④ D、①②③④

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9、若关于 $x$ 的不等式组 ${\begin{array}{l} \frac{3 x - 1}{2} \leq x + 2 \\ x + 1 \geq - x + a \end{array}$ 至少有两个正整数解，且关于 $x$ 的分式方程 $\frac{a - 1}{x - 1} = 2 - \frac{3}{1 - x}$ 的解为正整数，则所有满足条件的整数 $a$ 的值之和为（）

A、8 B、14 C、18 D、38

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10、如图，已知平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，小明用尺规作图画了 $B E$ 和 $C F$ 交于点 $O$ ，保留了作图痕迹，根据作图痕迹计算 $\frac{O E}{O B}$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{1}{4}$

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11、我国古代数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载过一元二次方程（正根）的几何解法．以方程 $x^{2} + 2 x - 35 = 0$ 即 $x (x + 2) = 35$ 为例，记载的方法如下：构造如图所示的正方形，大正方形的面积是 ${(x + x + 2)}^{2}$ ，同时它又等于四个矩形的面积加上中间小正方形的面积，即 $4 \times 35 + 2^{2}$ ，因此 $x = 5$ ，在下面四个选项中，能正确说明方程 $x^{2} - 5 x - 6 = 0$ 解法的构图是（）

A、 B、 C、 D、

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12、蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子．近年来，随着社会的进步和发展，蒙古族生活的中心逐步由牧区转移至城市，但是在夏季外出放牧时，牧民依旧会选择蒙古包作为游牧时的居所．蒙古包其主体结构可抽象为圆柱与圆锥的几何体组合．现有一个蒙古包的模型，其三视图如图所示，现在需要买一些油毡纸铺上去（底面不铺）．若油毡纸的价格为30元 $/ m^{2}$ ，则买油毡纸要花费的费用至少为（）

A、8.4元 B、17元 C、34元 D、50元

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13、若点 $A (a, y_{1})$ ， $B (a + 1, y_{2})$ 都在反比例函数 $y = - \frac{1}{x}$ 的图象上，且 $y_{1} > y_{2}$ ，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 0$ B、 $a > 0$ C、 $a < - 1$ 或 $a > 0$ D、 $- 1 < a < 0$

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14、折叠电动车是一种超轻便的电动车，其体积小、节能环保、可伸缩折叠、设计精巧，可快速拆装，制作材料采用镁合金等特殊轻材质制成．图1为折叠电动车实物图，图2为设计示意图， $A B$ 、 $C D$ 为支架， $O_{1}$ 、 $O_{2}$ 为车轮，点 $O_{2}$ 、 $B$ 、 $E$ 共线．已知， $C D ∥ B E$ ， $∠ O_{1} A C = 135 °$ ， $∠ A D C = 50 °$ ，则 $∠ A B O_{2}$ 度数是（）

A、 $85 °$ B、 $92 °$ C、 $95 °$ D、 $105 °$

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15、“ $D e e p S e e k$ ”是中国深度求索公司研发的高性能 $A I$ 语言模型，广泛应用于智能客服、数据分析等领域.2026年1月，“ $D e e p S e e k$ ”全球月活跃用户数量突破46200000个，创下行业新纪录．用科学记数法表示46200000并精确到百万位，下列表示正确的是（）

A、 $46.2 \times 1 0^{6}$ B、 $4.6 \times 1 0^{7}$ C、 $46 \times 1 0^{6}$ D、 $4.62 \times 1 0^{7}$

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16、下列运算中，正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 $a^{3} + a^{2} = a^{5}$ C、 ${(a - b)}^{2} = a^{2} - b^{2}$ D、 ${(- a - b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

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17、下列各数中，比-1小的数是（）

A、-2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、0 D、 $\frac{1}{2}$

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18、【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.

(1)、如图 1，在边长为 a的正方形中剪掉一个边长为 b的小正方形.把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形.由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：.

(2)、如图 2，四个长为 a，宽为 b的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：.

(3)、【知识迁移】
计算： $(2^{2} + 1) (2^{4} + 1) (2^{8} + 1) - \frac{2^{16}}{3} .$

(4)、若 m+n=10， mn=9，求 m-n的值.

(5)、【拓展探究】
如图 3，将边长分别为 m，n的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为 6，长方形 AEHD的面积为 4，求两个正方形纸片的面积和.

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19、老师给小深和小圳布置了一道课后作业：过直线外一点，作一条线和已知直线平行.

(1)、如图 1，A，B，C均在格点上.小深觉得，如果能够在网格中作图，就可以利用网格的格点作出平行线.请利用网格的格点，在网格中过点 C作出 AB的平行线 CD.

(2)、如图 2，小圳觉得，连接 AC或者 BC，利用同位角或者内错角相等，两直线平行的定理，作一个角等于已知角，也可以过 C点作出 AB的平行线，请用尺规作图在图 2中作出 AB的平行线 CD.

(3)、如图 3，已知 AB||CD，∠D=x°，∠B=y°，在平行线之间有一点 E，连接 BE、DE，求∠BED的大小?小深提出，可以过点 E作 AB的平行线 EF，借助辅助线 EF可以解决问题.请写出完整解答过程.

(4)、如图 4，已知 AB||CD，在平行线上方有一点 E，连接 BE、DE，作∠ABE与∠CDE的角平分线相交于F点，请问∠BFD与∠BED有什么数量关系，并说明理由.

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20、【新定义】设两个相邻整数分别为 n和 n+1（n为整数)：
定义：①平均数的平方为 M，则 $M = {[\frac{n + (n + 1)}{2}]}^{2};$ ②平方的平均数为 N，则 $N = \frac{n^{2} + {(n + 1)}^{2}}{2} .$ 请完成以下问题：

(1)、计算验证：取 n=1，请计算 M、N的值，判断 M、N大小；

(2)、初步化简：分别将 M、N两个代数式化简（即展开并合并同类项)；

(3)、完整推导：在第（2）问的基础上，M-N的结果是否为一个固定的值?如果是，请求出具体的值；如果不是，请说明理由.

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班级	平均数	众数	中位数	方差
A	92	95	$a$	34.2
B	89	$b$	88.5	24.4