相关试卷

1、如图，在 $△ A B C$ 中，D，E分别是 $A B, A C$ 的中点，点F是 $B C$ 上的一点，且 $B F = D E = 5 cm$ ，则 $C F$ 的长是（）

A、 $5 cm$ B、 $4 cm$ C、 $4.5 cm$ D、 $5.5 cm$

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2、中国初创企业“深度求索”公司，其自主研发的人工智能 ( $A I$ ) 大语言模型 $D e e p S e e k$ ，凭借“好用、开源、免费”三大特点，在全球范围内引发热烈反响． $D e e p S e e k$ 公司记录了7名 $A I$ 工程师在某项任务中编写代码的行数，数据如下∶ 20， 25， 25， 30， 35， 40， 45，则这组数据的中位数、众数和平均数分别是（）

A、30， 25， 30 B、35， 25， $31.4$ C、30， 25， $31.4$ D、25， 30， 35

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3、2024年3月25日凌晨0时46分，中国自主研发的鹊桥二号中继星在经过约112小时跨越440万公里的长途奔月之旅后，成功抵达月球附近，并开始了至关重要的近月制动程序．鹊桥二号中继星成功减速并进入了预定的环月轨道，标志着此次制动过程圆满成功．请你把数据440万用科学记数法表示为（）

A、 $440 \times 10^{4}$ B、 $44 \times 10^{5}$ C、 $4.4 \times 10^{6}$ D、 $0.44 \times 10^{7}$

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4、综合与探究：
折纸作为融合生活实践与数学探究的活动，其折叠过程生动展现了对称性、等长线段、等角关系及图形全等等几何原理．综合探究课上，老师带领同学们开展以“平行四边形的折叠”为主题的数学活动．
如图1，平行四边形纸片 $A B C D$ ， $A B$ 的长度不确定，点 $P$ 是 $A B$ 上的一个动点，连接 $D P$ ，把平行四边形 $A B C D$ 沿着线段 $P D$ 对折，点 $A$ 的对应点为 $A^{'}$ ．
【探究1】如图2，当 $P$ 与 $B$ 重合时，连接 $A^{'} C$ ，探究 $A^{'} C$ 与 $B D$ 的位置关系，请完成下面的证明过程；
证明： $∵ △ A B D$ 沿 $B D$ 翻折至 $△ A^{'} B D$ ，
$∴ ∠ D B A = ∠ A^{'} B D, A B = A^{'} B$ ，
$∵$ 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ，
$∴ ∠ D B A =$                         ，
$∴ ∠____________= ∠____________= \frac{1}{2} (180 ° - ∠ D E B)$ ，
$∴ E B = E D$ ，
$∵$ 在平行四边形 $A B C D$ 中， $A B = C D$ ，
$∴ A^{'} B = C D$ ，
$∴ A^{'} B - E B = D C - E D$ ，
$∴____________=$                        ，
$∴ ∠ E A^{'} C = ∠ E C A^{'} = \frac{1}{2} (180 ° - ∠ A^{'} E C)$ ，
$∵ ∠ D E B = ∠ A^{'} E C$ ，
$∴$                       =                       ，
$∴ A^{'} C ∥ B D$ ；
【探究2】如题图3，若 $A^{'}$ 刚好能落在 $B C$ 的中点时，且 $B P = 1$ ，求 $A P$ 的长；
【探究3】如图4，若 $∠ A = 30 °, A D = 2$ ，当 $P$ 刚好落在点 $A B$ 的中点上时， $Q$ 是 $D C$ 的中点，连接 $A^{'} Q$ ，若 $△ A^{'} D Q$ 是直角三角形，直接写出 $A B$ 的长．

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5、综合与实践
综合与实践课上，老师设计“电车充电计费”为主题的综合实践活动．
【材料一】随着电动汽车的普及，某公司购入一台电动商务车（每次充电75度）和一台电动货车（每次充电210度），充电桩充电速度为每小时30度，每次必须连续充满电．
充电时段
该时段的充电收费标准（元/度）
货车
商务车
0时 $- 6$ 时
$\begin{array}{l} 0.6 \end{array}$
$0.6$
6时 $- 12$ 时
$\begin{array}{l} 1.2 \end{array}$
$1.0$
12时 $- 18$ 时
$1.8$
$1.6$
18时 $- 24$ 时
$\begin{array}{l} 1.6 \end{array}$
$1.4$
【材料二】充电过程中，不同的时段，不同车型，对应每小时的收费标准有所不同，如上表所示：
【材料三】公司仅有一个充电桩，每次仅能为一辆车充电．假设每次充电均在电量完全耗尽后立即开始，并连续充至满电．为了研究更合理的充电安排，进行以下任务：
任务一：如果在0时 $- 6$ 时开始充电，有两种充电方案：
方案A：先充商务车，再充货车；方案B：先充货车，再充商务车；
比较两种充电方案那种更省钱？
任务二：设 $x$ 为电车开始充电的时刻，
商务车充电的费用记作 $w_{1}$ 元，货车充电的费用记作 $w_{2}$ 元．
（1）当 $x$ 为5时至6时中的某一个时刻 $(5 \leq x \leq 6)$ ，直接写出商务车充电的费用 $w_{1}$ 与充电的时刻 $x$ 之间的函数关系式：；
（2）当 $x$ 为7时至8时中的某一个时刻 $(7 \leq x \leq 8)$ ，直接写出货车充电的费用 $w_{2}$ 与充电的时刻 $x$ 之间的函数关系式：；
（3）根据①②所列的函数关系式，说明为何“开始时间越晚，费用越高”，并提出包含数学依据的优化建议．

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6、花店计划从花场购进甲、乙两种花卉，其中乙花卉的进价比甲花卉的进价少5元/箱，用96元购买的乙花卉的数量与用102元购买的甲花卉的数量相同，运输过程中甲花卉的数量会损失 $5 %$ ，乙花卉的数量会损失 $10 %$ ．

(1)、求甲、乙花卉的进价；

(2)、如果花店在进价的基础上提高 $10 %$ 作为售价，假设花店计划只购进甲、乙其中的一款花 $m$ 束．此时：如果花店只购入甲花卉，最终的销售额为元（用含 $m$ 的代数式表示，无需化简）；如果花店只购入乙花卉，最终的销售额为元（用含 $m$ 的代数式表示，无需化简）；花店为了不亏本，应该选择购买花卉．（填“甲”或“乙”或“任意一款”）；

(3)、现花店打算只购买乙花卉，请通过计算说明乙花卉的售价每箱最低应提高百分之几，才能使得花店获得至少 $15 %$ 的利润？（精确到 $1 %$ ）

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7、操作与实践：已知 $△ O B C$ ．

(1)、尺规作图：作 $△ O D A$ ，使得 $△ O D A$ 与 $△ O B C$ 关于点 $O$ 中心对称，点 $B$ 和点 $C$ 的对应点分别是点 $D$ 和点 $A$ ；（保留作图痕迹，不要求写作法）

(2)、已知点 $F$ 是线段 $B C$ 上的动点，连接 $A B 、 C D 、 F O$ ，延长 $F O$ 与 $A D$ 交于点 $E$ ．根据题意，把图形补充完整，判断四边形 $A B C D$ 的形状，并证明 $O E = O F$ ．

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8、观察下面算式的规律，解决问题；
① $3^{2} - 1^{2} = 8 \times 1$ ；② $5^{2} - 3^{2} = 8 \times 2$ ；③ $7^{2} - 5^{2} = 8 \times 3$ ；④ $9^{2} - 7^{2} = 8 \times 4$ ．

(1)、根据以上规律写出第⑤个等式：；

(2)、通过上面的算式，小明得出了一个结论：两个相差2的奇数的平方差一定是8的倍数．请你证明这个结论．

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9、化简： $\frac{m + 2}{m - 1} - \frac{2 m - 6}{m^{2} - 9} \div \frac{2 m - 2}{m + 3}$ ，并在 $- 3, 1, 2$ 中选择一个合适的 $m$ 值，代入求分式的值．

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10、解不等式： $4 x + 1 > x - 2$ ，并把解集表示在数轴上．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中，点P在 $△ A B C$ 内部， $A B = A C = 13$ ， $B P ⊥ C P$ 于点P， $B P = 8$ ， $C P = 6$ ，求阴影部分的面积为．

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12、请写一个分式，使它满足当 $x = - 1$ 时，分式无意义，当 $x = 2$ 时，它的值为0，这个分式可以是．

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13、一次函数 $y_{1} = k x + b$ 与 $y_{2} = x + a$ 的图象，如图，则 $k x + b > x + a$ 的解集是．

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14、在 $△ A B C$ 中，若 $∠ A - ∠ B = ∠ C$ ，则 $△ A B C$ 是三角形．

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15、某书店库存一批图书，其中一种图书的原价是每册 $m$ 元，现每册降价 $x$ 元销售，则这种图书库存全部售出时，其销售额为 $n$ 元，从降价销售开始时，该书店这种图书的库存量是（）册．

A、 $\frac{n}{m + x}$ B、 $\frac{n}{m - x}$ C、 $\frac{m}{n + x}$ D、 $\frac{m}{n - x}$

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16、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ C D$ ．添加下列条件，能判定四边形 $A B C D$ 是平行四边形的是（）

A、 $∠ D = ∠ C$ B、 $B C = A D$ C、 $∠ A = ∠ B$ D、AD//BC

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17、在平面直角坐标系中，点 $P (1, - 1)$ 平移后的坐标为 $(0, - 1)$ ，则点 $P$ 平移的方向是（）

A、向左 B、向右 C、向上 D、向下

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18、下列由左边到右边的变形，不属于因式分解的是（）

A、 $3 a + 3 b = 3 (a + b)$ B、 $a^{2} - a + 1 = a (a - 1) + 1$ C、 $a^{2} + 4 a + 4 = {(a + 2)}^{2}$ D、 $a^{2} - 9 = (a + 3) (a - 3)$

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19、如图是某隧道的限高标志，规定通过的车辆高度不能超过 $4.5 m$ ，则通过该隧道的车高 $x$ 的范围可表示为（）

A、 $x \geq 4.5$ B、 $x > 4.5$ C、 $x \leq 4.5$ D、 $x < 4.5$

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20、如图，已知函数 $y = x + 1$ 的图像与 $y$ 轴交于点 $A$ ，一次函数 $y = k x + b$ （ $k \neq 0$ ）的图像经过点 $B (0, - 1)$ ，与 $x$ 轴及函数 $y = x + 1$ 的图像分别交于点 $C$ ， $D$ ，且点 $D$ 的坐标为 $(1, n)$ ．

(1)、直接写出 $n =$ ________， $k =$ ________， $b =$ ________．

(2)、求四边形 $A O C D$ 的面积．

(3)、 $y$ 轴上是否存在点 $P$ ，使得以 $P$ ， $B$ ， $D$ 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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充电时段	该时段的充电收费标准（元/度）
充电时段	货车	商务车
0时 $- 6$ 时	$\begin{array}{l} 0.6 \end{array}$	$0.6$
6时 $- 12$ 时	$\begin{array}{l} 1.2 \end{array}$	$1.0$
12时 $- 18$ 时	$1.8$	$1.6$
18时 $- 24$ 时	$\begin{array}{l} 1.6 \end{array}$	$1.4$