相关试卷

1、如图是一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部的直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）

A、 $12 \leq a \leq 13$ B、 $12 \leq a \leq 15$ C、 $5 ≤ a ≤ 12$ D、 $5 ≤ a ≤ 13$

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2、四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 60 °$ ， $∠ B = ∠ D = 90 °$ ， $B C = 1$ ， $C D = 2$ ，则对角线 $A C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{21}$ B、 $\frac{\sqrt{21}}{3}$ C、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3}$ D、 $\frac{5 \sqrt{21}}{3}$

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3、如图，点D是正 $△ A B C$ 内的一点， $D B = 3$ ， $D C = 4$ ， $D A = 5$ ，则 $∠ B D C$ 的度数是（）

A、 $90 °$ B、 $120 °$ C、 $135 °$ D、 $150 °$

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4、如图，将一个有 $45 °$ 角的直角三角板的直角顶点C放在一张宽为 $2 c m$ 的纸带边沿上，另一个顶点B落在纸带的另一边沿上，测得 $∠ D B C = 30 °$ ，则直角三角板的斜边 $A B$ 的长为（）

A、 $2 c m$ B、 $2 \sqrt{2} c m$ C、 $4 c m$ D、 $4 \sqrt{2} c m$

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5、如图、两段公路 $A B$ ， $B C$ 互相垂直，公路 $A C$ 的中点 $D$ 与点 $B$ 被湖隔开，若测得 $A C$ 的长为 $4 k m$ ，则 $B$ ， $D$ 两点间的距离为（）

A、 $1 k m$ B、 $1.5 k m$ C、 $2 k m$ D、 $3 k m$

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6、若直角三角形的三边长分别为6，8， $x$ ，则 $x$ 的值为（）

A、10或 $2 \sqrt{7}$ B、10或14 C、2或14 D、2或10

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7、在几何图形学习中，直角三角形是应用广泛的基础图形．下列长度（单位：cm）的各组线段中，能构成直角三角形的是（）

A、 $1, 2, 3$ B、 $2, 3, 4$ C、 $6, 7, 8$ D、 $5, 12, 13$

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8、如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90^{\circ}$ ， $A C = B C = 6$ ，动点 $P$ 从点 $A$ 出发，在线段 $A C$ 上以每秒1个单位长度的速度向点 $C$ 做匀速运动，到达点 $C$ 停止运动.设运动时间为 $t$ 秒.

(1)、如图①，过点 $P 作 P D ⊥ A C$ ，交 $A B 于 D$ ，若 $△ P B C 与 △ P A D$ 的面积和是 $△ A B C$ 的面积的 $\frac{7}{9}$ ，求 $t$ 的值；

(2)、如图②，点 $Q$ 在射线 $P C$ 上，且 $P Q = 2 A P$ ，以线段 $P Q$ 为边向上作正方形 $P Q N M$ .在运动过程中，若正方形 $P Q N M 与 △ A B C$ 重叠部分的面积为8，求 $t$ 的值.

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9、某科技公司生产销售一种电子产品，该产品总成本包括技术成本、制造成本、销售成本三部分，经核算，2024年该产品各部分成本所占比例约为 $2 : a : 1 (a$ 为整数 $)$ .且2024年该产品的技术成本为400万元.

(1)、若2024年产品总成本超过1 800万元，但不超过2 000万元，确定 $a$ 的值；

(2)、在（1）的条件下，为降低总成本，该公司2025年及2026年增加了技术成本投入，确保这两年技术成本都比前一年增加一个相同的百分数 $m % (m < 50)$ ，制造成本在这两年里都比前一年减少 $2 m %$ ；同时为了扩大销售量，2026年的销售成本将在2024年的基础上提高 $10 %$ ，经过以上变革，预计2026年该产品总成本仅为2024年该产品总成本的 $\frac{4}{5}$ ，求 $m$ 的值.

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10、湖南长沙是一个充满文化底蕴的城市，拥有着丰富的旅游特色纪念品．随着国庆小长假旅游旺季的到来，某市某店铺购进了一批旅游纪念品，“文创 $T$ 恤”和“纪念湘绣”，进货价和销售价如下表：
纪念品
文创 $T$ 恤
纪念湘绣
进货价/（元/件）
59
66
销售价/（元/件）
79
88

(1)、该店铺购进“文创 $T$ 恤”和“纪念湘绣”共80件，且进货总价不高于4 900元，若进货后能全部售出，则分别购进“文创 $T$ 恤”和“纪念湘绣”多少件，才能获得最大销售利润？最大销售利润是多少？

(2)、该店铺为了在国庆假期中尽快售完“文创 $T$ 恤”，打算调价销售，如果按照原价销售，平均每天可售8件，经调查发现，每降价1元，平均每天可多售2件，将销售价定为每件多少元时，能使“文创 $T$ 恤”平均每天销售利润为256元？

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11、阅读理解并解答：

(1)、【方法呈现】
配方法在代数式求值、解方程、解决最值问题中都有着广泛的应用．
例如： $x^{2} + 2 x + 3 = (x^{2} + 2 x + 1) + 2 = (x + 1)^{2} + 2$ .因为 $(x + 1)^{2} \geq 0$ ，所以 $(x + 1)^{2} + 2 \geq 2$ ．则代数式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为，这时相应的 $x$ 的值是；

(2)、【尝试应用】
求代数式 $x^{2} - 8 x + 10$ 的最小值或最大值；

(3)、【拓展提高】
已知 $a ， b ， c 是 △ A B C$ 的三边长，满足 $a^{2} + b^{2} = 10 a + 8 b - 41$ ，求 $c$ 的取值范围．

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12、高乐同学在手工课上利用等边三角形、白色正方形和灰色正方形按一定规律搭建图形，观察图形，回答下列问题：

(1)、图①中的灰色正方形有： $1 + 1 = 1 + \frac{1 \times (1 + 1)}{2}$ （个）；
图②中的灰色正方形有： $1 + 1 + 2 = 1 + \frac{2 \times (1 + 2)}{2}$ （个）；
图③中的灰色正方形有： $1 + 1 + 2 + 3 = 1 + \frac{3 \times (1 + 3)}{2}$ （个）；
图④中的灰色正方形有： $1 + 1 + 2 + 3 + 4 = 1 + \frac{4 \times (1 + 4)}{2}$ （个）；…；
图ⓝ中的灰色正方形有：.

(2)、图①中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多1个；图②中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多2个；图③中，白色正方形的个数比灰色正方形的个数多3个；…；则图ⓝ中的白色正方形有个.

(3)、若图ⓝ中灰色正方形的个数比等边三角形的个数多45个，求图ⓝ中白色正方形的个数.

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13、阅读下面的材料，回答问题：解方程 $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0$ ，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是设 $x^{2} = y$ ，那么 $x^{4} = y^{2}$ ，于是原方程可变为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0 ①$ ，解得 $y_{1} = 1 ， y_{2} = 4$ .当 $y = 1$ 时， $x^{2} = 1$ ，所以 $x = \pm 1$ ；当 $y = 4$ 时， $x^{2} = 4$ ，所以 $x = \pm 2$ .所以原方程有四个根： $x_{1} = 1 ， x_{2} = - 1 ， x_{3} = 2 ， x_{4} = - 2$ ．在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学中的转化思想．

(1)、试用上述方法解方程 $x^{4} - 2 x^{2} - 3 = 0$ ，得原方程的解为．

(2)、解方程 $(x^{2} + 2 x)^{2} + 3 (x^{2} + 2 x) + 2 = 0$ ．

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14、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - (m + 3) x + 3 m = 0$ ．

(1)、求证：无论实数 $m$ 取何值，方程总有两个实数根；

(2)、若 $R t △ A B C$ 的两直角边 $A B ， A C$ 的长恰好是该方程的两个实数根，且斜边 $B C$ 的长为4，求 $m$ 的值．

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15、解方程：

(1)、 $3 x^{2} + 4 x - 1 = 0$ ；

(2)、 $x^{2} - 2 \sqrt{17} x = 83$ ；

(3)、 $5 (x - 2)^{2} = x^{2} - 4$ ．

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16、已知关于 $x$ 的一元二次方程 $m (x - a)^{2} + b = 0 与 n (x - a)^{2} + b = 0$ ，称其为“同族二次方程”.如 $2 (x - 1)^{2} + 3 = 0 与 6 (x - 1)^{2} + 3 = 0$ 是“同族二次方程”.若关于 $x$ 的一元二次方程 $2 (x - 1)^{2} + 1 = 0 与 (a + 6) x^{2} - (b + 8) x + 6 = 0$ 是“同族二次方程”，则代数式 $a x^{2} + b x + 2026$ 能取得的最大值是.

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17、2025年10月，诺贝尔物理学奖表彰了科学家在超导电路中发现了宏观量子现象，在超导电路中，量子比特的“共振频率”很关键．已知某种量子比特的两个共振频率 $f_{1} 和 f_{2}$ （单位： $10^{9}$ 赫兹）满足以下条件：①两个频率的和为8；②以这两个频率为根的一元二次方程，其一次项系数的2倍与常数项的和，等于两根的差的平方．设该一元二次方程为 $x^{2} + b x + c = 0$ （其中 $b ， c$ 是实数），则可求得 $c =$ ．

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18、如图，等边三角形 $A B C$ 中， $D$ 在射线 $B A$ 上，连接 $C D$ .若 $B C ， C D$ 的长为方程 $x^{2} - 15 x + 7 m = 0$ 的两根，且 $m$ 为符合题意的最大的整数，则不同位置的 $D$ 点共有个.

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19、为了节省材料，某农场水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为120米的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，且这三块矩形区域的面积都为225平方米，则图中 $a$ 的值为.

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20、若方程 $x^{2} - 4112784 = 0$ 的两根为 $x_{1} = 2028 ， x_{2} = - 2028$ ，则方程 $x^{2} - 2 x - 4112783 = 0$ 的两根为.

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纪念品	文创 $T$ 恤	纪念湘绣
进货价/（元/件）	59	66
销售价/（元/件）	79	88