相关试卷

1、已知 $A (- 1, y_{1})$ ， $B (\sqrt{2}, y_{2})$ ， $C (2, y_{3})$ 三点都在二次函数 $y = - {(x - 1)}^{2} + 3$ 的图象上，那么 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（用小于号连接）．

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2、如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC的中点，若BC＝6，则DE＝（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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3、如图，直线AB、CD相交于点E，DF∥AB. 若∠D=70°，则∠CEB等于( )

A、70° B、80° C、90° D、110°

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4、如图是由六个大小相同的正方体搭成的几何体，现将小正方体A移到B的正上方后，这个几何体三视图发生改变的是（）

A、主视图 B、俯视图 C、左视图 D、主视图和左视图

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5、综合与实践
【问题情境】综合与实践课上，王老师提出了一个有关正方形中“十字型”的问题：
如图1，在正方形 $A B C D$ 中，边长为 $6$ ， $E$ ， $F$ 分别是边 $D C$ ， $A D$ 上的点， $A E ⊥ B F$ ．
【独立思考】（1）试判断 $A E$ 与 $B F$ 的数量关系，并说明理由．
【问题解决】（2）阳光小组在王老师的问题上继续思考．如图 $2$ ，记 $A E$ 与 $B F$ 的交点为 $G$ ，若阴影部分的面积之和为 $24$ ，求 $△ A B G$ 的面积．
【实践探究】（3）缤纷小组进一步探究，如图3，连接 $E F$ 并延长，交 $B A$ 的延长线于点 $P$ ．已知 $D F = 2$ ， $A P = \frac{4 \sqrt{13}}{13} A E$ ，请直接写出 $P E$ 的长．

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6、阅读与思考

下面是小军的阅读笔记．请认真阅读，并完成相应任务．

×年×月×日

认识二次根式的两个概念

（ⅰ）有理化因式：两个含有二次根式且非零的代数式相乘，如果它们的乘积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如： $\sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2$ ， $(\sqrt{3} + \sqrt{2}) (\sqrt{3} - \sqrt{2}) = 1$ ．我们称 $\sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{2}, \sqrt{3} + \sqrt{2}$ 的一个有理化因式是 $\sqrt{3} - \sqrt{2}$ ．

（ⅱ）分母有理化：如果一个代数式的分母中含有二次根式，通常可将分子、分母同乘分母的有理化因式，使分母中不含根号，这种变形叫作分母有理化，也称“有理化分母”．例如： $\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ ； $\frac{2}{\sqrt{3} + 1} = \frac{2 (\sqrt{3} - 1)}{(\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)} = \sqrt{3} - 1$ ．

请完成以下任务：

(1)、①写出

\sqrt{7} + \sqrt{5}

的一个有理化因式：______；

②将 $\frac{6}{\sqrt{5}}$ 分母有理化的结果是______．

(2)、化简：

\frac{1}{\sqrt{12} - \sqrt{10}}

．

(3)、计算

\frac{2}{\sqrt{4} + \sqrt{2}} + \frac{2}{\sqrt{6} + \sqrt{4}} + \frac{2}{\sqrt{8} + \sqrt{6}} + \dots + \frac{2}{\sqrt{58} + \sqrt{56}}

．

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7、如图所示的赵爽弦图是由四个全等的直角三角形和小正方形拼的大正方形．如果直角三角形中较短的直角边长为 $a$ ，较长的直角边长为 $b$ ，大正方形的边长是 $\sqrt{41}, b - a = 1$ ，那么 $a b =$ ．

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8、如图，四边形 $A B C D$ 是平行四边形，O是对角线 $A C$ 与 $B D$ 的交点， $A B ⊥ A C$ ，若 $A C = 12, A B = 9$ ，则 $B D$ 的长是．

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9、如图，在平行四边形中 $A B C D$ 中 $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，将线段 $A B$ 水平向右平移a个单位长度得到线段 $E F$ ，若四边形 $E C D F$ 为菱形时，则a的值为（）

A、2 B、4 C、3 D、6

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10、一个八边形的内角和为（）

A、 $540 °$ B、 $1080 °$ C、 $1440 °$ D、 $360 °$

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11、下列根式中是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{0.1}$ B、 $\sqrt{4}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\sqrt{8}$

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12、综合与应用：
央视春晚舞台上，智能武术机器人上演腾空跳跃特技表演，机器人每次跳跃的运动轨迹为形状固定的抛物线。以机器人平地起跳点为坐标原点，水平向右为x轴，竖直向上为y轴建立平面直角坐标系。机器人最大腾空高度为2米，此时机器人水平方向也移动了2米.舞台上设有长方体台阶ABCD，截面宽AB=1米，竖直高为BC=1.5米，请根据上述信息解决下列问题：

(1)、求图1中抛物线的函数表达式；

(2)、若机器人第一次落地后原地起跳，第二次跳跃能越过长方体台阶ABCD，求台阶应放在离点O多远处?（求OA的取值范围）

(3)、如图2，为进一步提升表演难度与观赏性，机器人从滑梯EF上起跳，OE=4米，OF=2米，此时OA=5.5米，起跳点的横坐标记为m，跳跃后刚好落在台阶顶面CD的中点处，求m的值.

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13、综合与探究
某数学兴趣小组探究平行线分线段成比例定理的应用。

(1)、【初步探究】
在△ABC中，D、E分别为BC、AC的动点，若 $B D = D C, A E = \frac{1}{2} E C .$ 连结AD，BE交于点G如图1，若过D作DF∥BE，交AC于F，则CF与FE的比值为；AG与GD的比值为；

(2)、在（1）的条件下，求出BG与GE的比值；

(3)、【拓展提高】
如图2，在△ABC中，AB=3，AC=4，M是BC上一点，∠BAM=∠C，将△ABC沿AM折叠，AB恰好落在AC上，B的对应点为E，求AM的长.

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14、综合与实践

【实验背景】

某中学数学小组开展“梯子安全使用”实验活动。通过查阅资料，结合学校地面与墙面的实际情况，经多次实验得出结论：要想安全使用梯子，梯子与地面所成的锐角α一般满足 $5 0^{\circ} \leq α ⩽$ 75°（角度过小易滑倒，过大易倾倒）。下表是小组在研究活动中的一份测量记录表。

【实验记录】

测量次数	梯子长度/m	梯子底端到墙脚的水平距离/m	梯子顶端到墙脚的垂直高度/m	梯子与水平面的夹角（α）/°	安全判定（是/否）
第1次	5.0	2.0	4.6	66°	是
第2次	5.0	3.0
第3次	5.0	4.0	3.0	37°	否

(1)、【实验探究】

补全表格中第2次测量的信息。

(2)、在保证安全的情况下，求长度为5m的梯子底端到墙脚的距离的取值范围。

(3)、在一次使用中，初始放置时，长度为5m的梯子的底端距墙脚2.5m，根据使用需求，要将梯子顶端下移0.3m，此时它的底端向外移动多少米?并判断移动后是否仍符合安全使用要求?

参考数据： $4 . 2^{2} = 17.64,4 . 3^{2} = 18.49,4 . 4^{2} = 19.36$

cos50°≈0.64，sin53°≈0.8，cos53°≈0.6，cos75°≈0.26

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15、九年级数学兴趣小组在数学活动课上开展如下探究活动：
观察下列两组数的积
第一组：91×99，92×98，…，99×91
第二组：901×999，902×998，…，999×901

(1)、猜想：第一组数中积最大的算式是、第二组数中积最大的算式是；

(2)、证明：在第一组中，不妨设其中一个乘数的个位数字为x（1≤x≤9，x为整数），两个乘数的积为y，请你结合二次函数的知识证明你对第一组的猜想；

(3)、应用：用长为L的铁丝围成一个矩形，当长和宽分别为多少时，矩形的面积最大?请直接写出结论.

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16、如图，在△ABC中，∠ABC=90°，⊙O是的△ABC外接圆，点D是圆外一点，DO⊥AB，交AB于点E，交⊙O于点F，且∠DBA=∠C

(1)、求证：DB是⊙O的切线；

(2)、若点B是 $\hat{C F}$ 的中点，求证：四边形OAFB是菱形.

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17、为落实“双减”工作，充分践行“五育并举”理念，根据惠州本土文化资源，惠州市某中学利用校内课后服务时间，开设了五个活动小组（每位学生只能参加一个小组）：A.东坡诗词诵读；B.客家剪纸手工；C.龙门农民画创作；D.校园AI编程；E.惠东渔歌学唱。为了解学生对以上活动小组的参与情况，学校随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图：
根据图中信息，解答下列问题：

(1)、①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图；
③扇形统计图中圆心角α（对应C组龙门农民画创作）= ▲ °；

(2)、若该校共有1200名学生，请估计该校参加“校园AI编程”小组的学生人数；

(3)、请你结合上述统计数据，分析该校课后服务活动开展的现状，并为学校后续优化课后服务提出合理建议。

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18、顶角为36°的等腰三角形被称为黄金三角形，如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°。

(1)、尺规作图：作∠ABC的平分线BD，交AC于点D（保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求证：△BCD为黄金三角形。

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19、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m + 2) x + m - 1 = 0 .$

(1)、求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；

(2)、如果方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且 $x_{1} + x_{2} - 3 x_{1} x_{2} = 9,$ 求m的值.

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20、计算 $\sqrt{2} - 2 s i n 4 5^{\circ} - {(π - 3.14)}^{0} - 2^{- 1}$

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