相关试卷

1、在 $△ A B C$ 中， $A B = A C, ∠ B A C = 9 0^{\circ},$ ， P 为直线AB上一点，连接PC，将 PC绕点 P顺时针旋转 $9 0^{\circ}$ 得到 PD，连接BD.

(1)、当点 P 在线段AB上时，如图1，求证： $B C - B D = \sqrt{2} B P;$

(2)、当点P在BA的延长线上时，如图2，线段BC，BD，BP之间又有怎样的数量关系，写出你的猜想，并给予证明；

(3)、当点P 在AB 的延长线上时，如图3，直接写出线段BC，BD，BP 之间的数量关系.

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2、阅读理解：问题：如图1，在四边形ABCD中，对角线BD平分 $∠ A B C, ∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ},$ 求证：DA=DC.
思考：“角平分线+对角互补”可以通过“截长、补短”等构造全等去解决问题.
方法1：在 BC上截取，BM=BA，连接DM，得到全等三角形，进而解决问题；
方法2：延长BA 到点N，使得.BN=BC，连接 DN，得到全等三角形，进而解决问题.

(1)、结合图1，在方法1和方法2中任选一种，添加辅助线并完成证明；

(2)、问题解决：如图2，在(1)的条件下，连接AC，当 $∠ D A C = 6 0^{\circ}$ 时，探究线段AB，BC，BD 之间的数量关系，并说明理由.

(3)、问题拓展：如图3，在四边形ABCD中，. $∠ A + ∠ C = 18 0^{\circ}, D A = D C,$ ，过点D作 $D E ⟂ B C,$ 垂足为点E，请写出线段AB、CE、BC之间的数量关系.

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3、已知方程组 ${\begin{matrix} x - y = 2 \\ m x + y = 6 \end{matrix}$ 有非负整数解，则正整数m的值有个.

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4、已知P为等边 $△ A B C$ 内一点， $P A = 1, P B = 2, ∠ A P B = 15 0^{\circ},$ 则 $P C =$ .

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5、如图，在三角形ABC中，点D在边BC上，BD=3CD，G为AD中点，B G延长线交AC于点E，则 $\frac{B G}{G E} =$ .

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6、如图，等腰直角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 9 0^{\circ}, ∠ A B C$ 的平分线交AC于点D，过C作BD的垂直线交BD的延长线于点E，交BA的延长线于点F.若CE=5，则BD =.

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7、 M是 $△ A B C$ 的边BC的中点， AN平分∠BAC， BN⊥AN于点N，且AB=10，BC=15，MN=3，则 $△ A B C$ 的周长等于.

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8、定义：两个不全等的三角形，若有一组公共边和一个公共角，且公共角所对的边相等，我们就称这两个三角形为“双赢三角形”.例如，在图 1 中， $△ MPQ$ 与 $△ MPN$ 有公共边 MP 和公共角 $∠ M$ ，且 $PQ = PN$ ，则 $△ MPQ$ 与 $△ MPN$ 是双赢三角形.
如图2，在 $△ ABC$ 中，D 是 AB 边上任意一点，

(1)、若 $△ ACD$ 和 $△ ACB$ 是“双赢三角形”， $∠ BCD =4 2^{°}$ ，则 $∠ B$ = ；

(2)、如图3，延长 CD 到点 E，连接 AE 和 BE， $∠ ACD = ∠ ECB$ ， $∠ CDB + ∠ CBE =18 0^{°}$ ， $AD = EB$ ，
① 试说明： $△ ACD$ 与 $△ ACB$ 是“双赢三角形”；
② 若 $BC =12$ ， $AC =18$ ，求 DE 的长；
③ 若 $∠ CAB =5 4^{°}$ ， $∠ ABC =7 8^{°}$ ，求 $∠ AEB$ 的度数.

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9、在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“ $Z$ ”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为 $a$ 的 $A$ 类正方形，1张边长为 $b$ 的 $B$ 类正方形，4张长为 $a$ ，宽为 $b$ 的 $C$ 类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“ $Z$ ”的图案。

(1)、当 $a =2$ 厘米， $b =4$ 厘米时，求“ $Z$ ”图案中阴影部分的面积；

(2)、用含字母a ， b的代数式表示阴影部分的面积；

(3)、若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形 $A$ 的面积总和，请计算 $\frac{a}{b}$ 的值。

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10、项目式学习

项目主题	设计与制作风筝
项目背景	风筝制作在中国具有悠久的历史．以竹篾扎成鸟禽状骨架，上糊以纸，称为“纸鸢”．以下是某小组开展制作风筝项目的实施过程．
驱动任务一	（1）在正方形网格（如图1）中进行风筝骨架的设计：请你以直线l为对称轴画出风筝骨架的另一半．
驱动任务二	（2）用细竹条扎制风筝骨架，竹条 $AC$ 与 $BD$ 的交点为O（如图2），测得 $AD = CD$ ， $AB = CB$ ．下面结论错误的是（）（单选题） A． $BD$ 平分 $∠ ADC$ B． $△ ABO ≌△ CBO$ C． $BD = AC$ D． $AC ⊥ BD$
驱动任务三	（3）将设计与制作的风筝进行试飞，根据试飞结果对风筝（如图2）进一步改良．若 $AC =36 cm ， BD =50 cm$ ．则风筝 $ABCD$ 面积是 ▲ cm²
项目小结	（4）为了编写“简易风筝制作方法”，需对制作过程进行小结，请你写出一条制作过程中用到的数学知识： ▲

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11、某景区向雪糕厂定制了一批包装相同的文创盲盒雪糕在景区小卖部售卖，其中巧克力口味50个，芒果口味40个，香蕉口味30个.

(1)、小方从景区小卖部买一个雪糕，能买到巧克力口味是一个事件(填写“必然”、“随机”、“不可能”)

(2)、小程从景区小卖部买了一个雪糕，是芒果口味的概率是多少？

(3)、因天气炎热，第一批雪糕供不应求，景区准备定制第二批雪糕，原计划各口味定制的数量与第一批定制的相同.后来，为了让旅客买到巧克力口味的概率为 $\frac{1}{2}$ ，需把部分香蕉口味的雪糕替换成巧克力口味，求替换的雪糕数量.

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12、计算：

(1)、 $a^{3} ⋅ a^{3} - a^{8} ÷ a^{2} +(2 a^{3})^{2}$

(2)、 $(π +2025)^{0} - {(\frac{1}{3})}^{- 1} +(- 1)^{2024}$

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13、如图， $AB ∥ CD$ ， $E$ 为 $AB$ 上一点，且 $EF ⊥ CD$ 垂足为 $F$ ， $∠ CED =90 °$ ， $CE$ 平分 $∠ AEG$ ，且 $∠ CGE = α$ ，则下列结论：
① $∠ EDG = \frac{1}{2} α$ ；② $∠ CEB =2 α$ ；③ $∠ CEF =90 °- \frac{α}{2}$ ；④ $∠ FED + ∠ DCE =180 °- α$ ；
其中正确的有.（请填写序号）

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14、若 $(x - 2)(x + m)= x^{2} + ax - 14$ ，则 $a =$ ．

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15、如图，把一块直角三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，若 $∠ 1=3 2^{°}$ ，则 $∠ 2$ 的度数是.

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16、某林业部门统计某种幼树在一定条件下的移植成活率，结果如表所示：
移植总数n
400
1500
3500
7000
9000
14000
成活数m
369
1335
3203
6335
8073
12628
成活的频率 $\frac{m}{n}$
0.923
0.890
0.915
0.905
0.897
0.902
根据表中数据，估计这种幼树移植成活的概率为 (结果精确到0.1).

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17、如图，坪山中心广场拟开发一块新花坛，花坛如阴影部分所示。点C是线段BG上的一点，以BC，CG为边向两边作正方形，面积分别是 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，已知 $BG =8$ ，图中阴影部分面积为6。则 $S_{1} + S_{2} =$ （　　）

A、20 B、35 C、40 D、50

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18、如图， $AD$ 平分 $∠ BAC, BD ⊥ AD$ ，若 $△ ABC$ 的面积是9，则 $△ ADC$ 的面积是（　　）

A、3 B、3.5 C、4 D、4.5

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19、下列运算正确的是（　　）

A、 $(a^{2})^{3} = a^{6}$ B、 $a^{2} + a^{3} = a^{5}$ C、 $a^{2} ⋅ a^{3} = a^{6}$ D、 $(ab)^{5} = a b^{5}$

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20、【综合探究】
探究小组用两个完全相同的等腰直角三角形纸片通过平移做实验．

(1)、【操作探究】
如图1，把重合中的 $▵ A B C$ 向左平移成 $▵ D E F$ ，顶点 $E$ 恰好是 $B C$ 边的中点，连接 $A F$ ， $A B = 2 \sqrt{5}$ ，求三角形 $A C F$ 的面积；

(2)、【深入探究】
如图 $2$ ，把 $▵ D E F$ 继续向左平移，当点 $E$ 与点 $C$ 重合时，连接 $A F$ 交 $D C$ 于点 $G$ ，求证： $D G = C G$ ；

(3)、【拓展提升】
如图 $3$ ，在 $(2)$ 的条件下，过点 $D$ 作 $D Q ⊥ A F$ 于点 $Q$ ，连 $C Q$ ， $D Q = 2$ ，直接写出 $C Q$ 的长度．

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移植总数n	400	1500	3500	7000	9000	14000
成活数m	369	1335	3203	6335	8073	12628
成活的频率 $\frac{m}{n}$	0.923	0.890	0.915	0.905	0.897	0.902