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1、对于一个函数，如果存在自变量 $x_{0} = m$ 时，其对应的因变量 $y_{0} = m$ ，那么我们称该函数为“不动点函数”，点 $(m, m)$ 为该函数图象上的一个不动点．

(1)、下列函数的图象上存在不动点的是；
① $y = x + 2$ ；② $y = \frac{4}{x}$ ；③ $y = x^{2} - 2 x + 6$

(2)、若抛物线 $y = x^{2} - 2 b x + c$ 的顶点为该函数图象上的一个不动点，求 $b$ 、 $c$ 满足的关系式；

(3)、已知二次函数 $y = x^{2} - 6$ ，直线 $l : y = m (m > - 6)$ ，将该二次函数在直线 $l$ 上方的图象沿直线 $l$ 翻折到直线 $l$ 的下方，其余部分图象不变，得到一个新的函数图象．若新的函数图象上恰有 $3$ 个“不动点”，求实数 $m$ 的值．

(4)、若 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 是函数 $y = 4 x^{2} - (4 m - 1) x + {(m - 1)}^{2} + 2$ 的两个不动点的横坐标（两不动点可以相等），求 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2}$ 的最小值．

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2、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的一条弦， $E$ 是 $A B$ 的中点，过点 $E$ 作 $E C ⊥ O A$ 于点 $C$ ，过点 $B$ 作直线 $B D$ 交 $C E$ 的延长线于点 $D$ ，且 $D B = D E$ ．

(1)、求证： $B D$ 是⊙ $O$ 的切线；

(2)、若 $A B = 12$ ， $B D = 5$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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3、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 60 °$ ， $A B = 6$ ， $A C = 4$ ．

(1)、尺规作图：用两种不同的方法作 $△ A B C$ 的角平分线 $A D$ ，交边 $B C$ 于点 $D$ （要求保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、在（1）的条件下求 $△ A B D$ 的面积．

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4、世界灌溉工程遗产-夹江东风堰，历史悠久，泽润民生，是重要的水利文化地标．某校数学兴趣小组在“走进东风堰-千佛岩”社会实践活动中想了解游客前往景区的出行方式，故在某一天抽取了 $50$ 名游客进行调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．
根据以上信息，解答下列问题：

(1)、该兴趣小组抽取 $50$ 名游客最合适的方式是；
A．随机抽取 $50$ 名女游客；B．随机抽取 $50$ 名男游客；C．不分性别随机抽取 $50$ 名游客

(2)、扇形统计图中，“自驾”所在扇形的圆心角度数是，请补全条形统计图．

(3)、若景区当天共有游客 $5000$ 人，请估计选择“公共交通”出行的游客有多少人？

(4)、景区为宣传水利文化，准备从甲、乙、丙、丁四名志愿者中随机选择 $2$ 人担任“东风堰-千佛岩”文化讲解员，请用画树状图或列表的方法求恰好选到“甲和乙”的概率．

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5、夹江年画与绵竹年画、梁平年画并称“四川三大年画”， $2008$ 年被列入第二批国家级非物质文化遗产代表性项目名录．为迎接 $2026$ 年马年新春，某年画工艺传承人计划制作 $90$ 幅骏马年画，由于工艺进一步改进，实际每天制作的数量是原计划的 $1.5$ 倍，结果提前 $3$ 天完成任务，求实际每天制作多少幅骏马年画？

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6、计算： $2 \times (- 2) + |- 3| - 2 \cos 60 ° + {(π - 2026)}^{0}$ ．

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7、如图所示， $∠ C = ∠ C^{'} = 90 °$ ， $A C = A C^{'}$ ，求证： $∠ C A B = ∠ C^{'} A B$ ．

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8、解方程组： $\{\begin{array}{l} x + 2 y = 7 \\ x - y = 1 \end{array}$

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9、定义：把一条抛物线绕它的顶点旋转 $180^{°}$ 得到的抛物线我们称为原抛物线的“二级抛物线”．
（1）抛物线 $C_{1} : y = x^{2} - 2 x$ 的“二级抛物线” $C_{2}$ 是；
（2）若直线 $y = k (x - 1) + t$ 与（1）中的抛物线 $C_{2}$ 交于不同的两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ，且满足 ${(x_{1} - 1)}^{2} + {(x_{2} - 1)}^{2} = 6$ ，则实数 $t$ 的取值范围是

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10、如图所示，有 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ ，小嘉同学欲添加两个条件使得 $△ A B C ∽ △ A D E$ ，现有三个条件可供他选择：① $∠ 1 = ∠ 2$ ；② $∠ B = ∠ D$ ；③ $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ．则正确的组合可以是（填序号）

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11、已知 $x y^{2} = 2$ ，则 $(8 x^{4} y^{7} - 4 x^{3} y^{5} + 3 x^{2} y^{3}) \div x y =$ ．

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12、如图，已知 $△ A B C$ 中， $A B = A C ， A B ⊥ A C$ ，则 $∠ C =$ °．

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13、不等式 $x + 2 < 0$ 的解集是

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14、观察下列图形变化的规律，我们发现每一个图形都分为上、下两层，下层都是由黑色正方形构成，其数量与编号相同；上层都是由黑色正方形或白色正方形构成（第 $1$ 个图形除外），则下列说法中正确的个数有（）
①第 $100$ 个图形中，白色正方形共有 $49$ 个
②第 $2025$ 个图形中，黑色正方形共有 $3038$ 个
③第 $n$ 个图形中，一共有 $2 n$ 个正方形
④第 $n$ 个图形中，黑色正方形的个数比白色正方形的个数多 $n + 1$ 个

A、1个 B、 $2$ 个 C、3个 D、 $4$ 个

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15、关于 $x$ 的方程 $a x^{2} - 4 |x| + 2 = 0$ 有 $4$ 个不同的实数根，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a < 2$ B、 $a > 2$ C、 $1 \leq a \leq 2$ D、 $0 < a < 2$

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16、根据物理学中欧姆定律可知，当某电路中电压不变时，该电路中的总电流 $I$ （单位：A）是该电路中总电阻 $R$ （单位： $Ω$ ）的反比例函数，其图象如图所示．当该电路中总电流大于 $10 A$ 时，该电路将可能烧坏．为了安全起见，则接入电路的总电阻应不小于（） $Ω$

A、 $22$ B、 $24$ C、 $26$ D、 $28$

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17、已知实数 $a$ 、 $b$ 满足 $b = 2 \sqrt{4 - a} + \sqrt{a - 4} + 3$ ，则 $a b =$ （）

A、 $4$ B、 $12$ C、 $- 4$ D、 $- 12$

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18、多项式 $a^{3} - 9 a$ 因式分解的结果是（）

A、 $a (a^{2} - 9)$ B、 $a (a - 9) (a + 9)$ C、 $a (a - 3) (a + 3)$ D、 $(a - 3) (a + 3)$

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19、如图，直线 $M N$ 与 $P Q$ 交于点 $O$ ， $O H ⊥ P Q$ ．若 $∠ 1 = 130 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数为（）

A、 $40 °$ B、 $45 °$ C、 $50 °$ D、 $55 °$

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20、下列几何体中，左视图是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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