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1、如图，点 $A$ 是直线 $l$ 外一点，以点 $A$ 为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线 $l$ 于点 $M$ ， $N$ ；分别以点 $M$ 、 $N$ 为圆心，以 $2 M N$ 的长为半径画弧，两弧交于点 $P$ （点 $P$ 与点 $A$ 在直线 $l$ 的两侧）；作直线 $A P$ 交直线 $l$ 于点 $O$ ，连接 $A M$ ， $A N$ ， $P M$ ， $P N$ ．则 $\sin ∠ M P O =$ ．

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2、已知 $x = 2$ 是关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} - m x - 2 = 0$ 的一个根，则 $m =$ ．

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3、在平面直角坐标系中，对于任意两点 $A (m, n)$ 和 $B (s, t)$ ，若点 $P (x, y)$ 满足 $x = m - s$ ， $y = n - t$ ，则称点 $P$ 是点 $A$ 、 $B$ 的“关联点”．下列说法错误的是（）

A、已知点 $A (5, - 3)$ ， $B (2, 1)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的“关联点” $P$ 的坐标为 $(3, - 4)$ B、已知点 $A (a^{2} + 2, 4 a)$ ， $B (a - 1, 4 a)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的“关联点” $P$ 一定在 $x$ 轴上 C、已知点 $A (2 x - 1, x^{2})$ ， $B (x + 3, - 2)$ ，则点 $A$ 、 $B$ 的“关联点” $P$ 在第三象限 D、已知点 $A (a, b)$ ， $B (2, - 1)$ ，点 $A$ 在函数 $y = 2 x^{2} + 3$ 图像上，点 $P (c, d)$ 为点 $A$ 、 $B$ 的“关联点”，则点 $P$ 的纵坐标 $d$ 不可能是 $- 2$

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4、如图，正比例函数 $y = x$ 与反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象相交于 $A$ 、 $C$ 两点，过 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、2

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5、如图， $∠ 1 = ∠ 2$ ， $A B = A D$ ，添加一个条件不一定能判定 $△ A B C ≌ △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ E$ B、 $∠ B = ∠ D$ C、 $A C = A E$ D、 $B C = D E$

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6、光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从某无色透明液体中射向空气时，会发生折射．由于折射率相同，在无色透明液体中平行的光线，在空气中也是平行的．如图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线，经过无色透明液体与空气的界面折射形成的光线示意图，界面与玻璃杯的底面平行．若 $∠ 3 = 55 °$ ， $∠ 4 = 75 °$ ，则 $∠ 1 + ∠ 2$ 的大小是（）

A、 $160 °$ B、 $150 °$ C、 $140 °$ D、 $130 °$

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 在 $⊙ O$ 上，连接 $A C$ 、 $B C$ ，若 $∠ A = 24 °$ ，则 $∠ B$ 的度数是（）

A、 $48 °$ B、 $56 °$ C、 $66 °$ D、 $76 °$

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8、综合与探究
若 $x$ 满足 $(30 - x) (x - 20) = 16$ ，求 ${(30 - x)}^{2} + {(x - 20)}^{2}$ 的值．
解：设 $30 - x = a$ ， $(x - 20) = b$ ，则 $(30 - x) (x - 20) = a b = 16$ ， $a + b = (30 - x) + (x - 20) = 10$ ， $∴ {(30 - x)}^{2} + {(x - 20)}^{2} = a^{2} + b^{2} = {(a + b)}^{2} - 2 a b = 10^{2} - 2 \times 16 = 68$ ．

(1)、【类比探究】若 $x$ 满足 $(80 - x) (x - 60) = 150$ ，求 ${(80 - x)}^{2} + {(x - 60)}^{2}$ 的值；

(2)、【联系拓展】若 $x$ 满足 $(2026 - x) (2020 - x) = 5$ ，求 ${(2026 - x)}^{2} + {(2020 - x)}^{2}$ 的值；

(3)、【解决问题】如图，在长方形 $A B C D$ 中， $A B = 21$ ， $B C = 17$ ，点 $E$ 、 $F$ 是 $B C$ 、 $C D$ 上的点，且 $B E = D F = x$ ，分别以 $F C$ 、 $C E$ 为边在长方形 $A B C D$ 外侧作正方形 $C F G H$ 和正方形 $C E M N$ ，若长方形 $C E P F$ 的面积为 $150$ 平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少平方单位？

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9、探究不同情境，回答下面问题：

(1)、发现：两个差为8的正整数的积与16的和总是某个正整数的平方．
验证：①一个数为2，另一个数为10，它们的差为8，则 $2 \times 10 + 16$ 的结果是哪个正整数的平方？
②若较小的正整数是 $n$ ，算出这两个正整数的积与16的和，并说明该结果是哪个正整数的平方．

(2)、延伸：两个差为6的正整数的积与 $a$ 的和始终为某个数的平方，若较小的正整数为 $m$ ，求 $a$ 的值．

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10、如图，在三角形 $A B C$ 中，点 $D$ 、 $F$ 在 $B C$ 边上，点 $E$ 在 $A B$ 边上，点 $G$ 在 $A C$ 边上， $E F$ 与 $G D$ 的延长线交于点 $H$ ， $∠ 1 = ∠ B$ ， $∠ 2 + ∠ 3 = 180 °$ ．

(1)、试说明： $E H$ $∥ A D$ ；

(2)、若 $∠ D G C = 62 °$ ， $∠ 4 = 24 °$ ，求 $∠ H$ 的度数．

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11、化简求值： $[{(2 x - y)}^{2} + (2 x - y) (2 x + y) + x (x - 2 y)] \div 3 x$ ，其中 $|x - 1| + {(y + 2)}^{2} = 0$ ．

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12、在某校七年级（1）班组织的“校园歌曲大赛”活动中，小丽和小芳都想当节目主持人，但现在只有一个名额，小芳想出了一个用游戏来选人的办法，她将一个转盘（均质的）平均分成6份，如图所示．游戏规定：随意转动转盘，当转盘停止后，若指针指向偶数，则小丽去；反之，则小芳去．

(1)、求小丽获胜的概率是多少？

(2)、你认为这个游戏公平吗？请说明理由，若不公平，如何使这个游戏变得公平？

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13、如图，直线 $A B$ ， $M N$ 相交于点 $Q$ ， $M N$ 上有一点 $P$ （不在直线 $A B$ 上）．

(1)、过点 $P$ 作直线 $C D$ （点 $C$ 在点 $D$ 左侧），使 $C D$ $∥ A B$ （尺规作图，保留作图痕迹）；

(2)、在（1）的基础上，若 $∠ A Q N = 65 °$ ，求 $∠ D P M$ 的度数．

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14、我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下的《详解九章算法》，书中记载的图表给出了

{(a + b)}^{n}

展开式的系数规律．

$\begin{matrix} 1 & \dots \dots {(a + b)}^{0} = 1 \\ 1 & 1 & \dots \dots {(a + b)}^{1} = a + b \\ 1 & 2 & 1 & \dots \dots {(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} \\ 1 & 3 & 3 & 1 & \dots \dots {(a + b)}^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3} \end{matrix}$

当代数式 $x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$ 的值为8时，则 $x$ 的值为．

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15、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ，点 $D$ ， $E$ 分别在 $A B$ ， $A C$ 上，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折叠得到 $△ F D E$ ，且满足 $E F ∥ A B$ ，则 $∠ 1 =$ ．

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16、如图，点A，B，C分别代表王老师的家，图书馆，学校．已知图书馆 $B$ 在王老师家 $A$ 的北偏东 $40 °$ 方向上，学校 $C$ 在图书馆 $B$ 的北偏西 $30 °$ 方向上．则 $∠ A B C$ 的度数是．

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17、若 $α = 40 ° 1 8^{'}$ ，则 $α$ 的补角等于．

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18、如图， $A B$ $∥ C D$ ， $F$ 为 $A B$ 上一点， $F D$ $∥ E H$ ，且 $F E$ 平分 $∠ A F G$ ，过点 $F$ 作 $F G ⊥ E H$ 于点 $G$ ，且 $∠ A F G = 2 ∠ D$ ，则下列结论：① $∠ D = 30 °$ ；② $2 ∠ B F D + ∠ E H C = 90 °$ ；③ $F D ⊥ F G$ ；④ $F D$ 平分 $∠ B F H$ ．其中正确结论的是（）

A、①②③ B、③④ C、②③ D、①②③④

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19、如图，某同学的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知法线 $O C ⊥ M N$ ，反射光线 $A O$ 与水平线的夹角 $∠ A O D = α ° (0 ° < α < 90 °)$ ，则平面镜 $M N$ 与水平线 $B D$ 的夹角 $∠ D O N$ 的大小为（入射光线与镜面的夹角等于反射光线与镜面的夹角（　　）

A、 $(90 - α) °$ B、 $(\frac{a}{2}) °$ C、 $α °$ D、 $(\frac{α}{3}) °$

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20、若一个正方形的边长增加 $1 cm$ ，它的面积就增加 $21 {cm}^{2}$ ，则这个正方形的边长是（）

A、 $5 c m$ B、 $6 c m$ C、 $8 c m$ D、 $10 cm$

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