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1、综合与实践对于均质等厚薄板（平面组合图形）的重心位置可通过分割法计算，即将组合图形分解为若干个简单规则图形（如长方形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再利用加权平均公式计算组合图形的重心．以下是具体公式和步骤：

根据以下素材，探索完成任务．

素材1	在使用分割法前，需线掌握以下基本图形的重心位置．
	图形	重心	说明
	长方形	几何中心	对角线的交点
	三角形	三条中线交点 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$	顶点坐标为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$
素材2	建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤： 1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等． 2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积 $s_{i}$ ． 3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标 $(x_{i}, y_{i})$ ． 4．代入公式计算：把 $S_{i} (x_{i}, y_{i})$ 代入重心坐标公式，计算出组合图形重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，其中 $\bar{x} = \frac{x_{1} s_{1} + x_{2} s_{2} + \dots + x_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{1} s_{1} + y_{2} s_{2} + \dots + y_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ．

应用：

(1)、如图1组合图形分割为长方形

A B C O

和

C D E F

中，

O C = C D = 4

，

O A = 3

，

C F = 5

，以点O为坐标原点，“1”为一个单位长度，建立平面直角坐标系，则长方形

A B C O

的重心点

M_{1}

的坐标为___________，长方形

C D E F

的重心点

M_{2}

的坐标为___________，长方形形

A B C O

的面积为___________．长方形

C D E F

的面积为___________，计算得此组合图形的重心坐标为___________；

(2)、如图2，直角梯形

O A B C

，

A (0, 6)

，

B (3, 6)

，

C (7, 0)

，求直角梯形

O A B C

的重心坐标

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2、如图，在 $△ A B C$ 中，点D为边 $B C$ 的中点， $D E ⊥ A B$ ， $D F ⊥ A C$ ， E，F为垂足， $B E = C F$ ，

(1)、求证： $∠ B = ∠ C$ ；

(2)、求证： $A D$ 平分 $∠ B A C$ ．

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3、小琪同学在数学实践活动课上，老师要求她利用所学几何知识测量出学校门前小河的宽度（即图中AB的长），经过思考探究，小琪设计方案如下：如图，先测量出BE=DE，∠B=∠D=90°，点B、E、D在同一直线上，点A，E，C在同一直线上，测量出CD=8m，小琪就知道河面宽度AB的长了．则你认为河宽AB是多少？请说明理由．

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4、如图，已知 $A D$ ， $A E$ 分别是 $△ A B C$ 的高和角平分线， $∠ C A B = 90 °$ ， $∠ B = 60 °$ ， $A C = 4 cm$ ．

(1)、求 $∠ D A E$ 的度数；

(2)、求 $A D$ 的长．

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5、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $D$ 、 $E$ 分别在 $A B$ 、 $A C$ 上，连接 $D E$ ，若 $∠ 1 = ∠ 2$ ，则 $△ A D E$ 是直角三角形吗？为什么？

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6、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 5$ ， $B C = 10$ ， $A C = 9$ ， $M N$ 为边 $B C$ 的垂直平分线，点 $D$ 为直线 $M N$ 上一动点，则 $△ A B D$ 的周长的最小值为．

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7、课间，顽皮的小刚拿着老师的等腰直角三角板放在黑板上画好了的平面直角坐标系内(如图)，已知直角顶点H的坐标为(0，1)，另一个顶点G的坐标为(4，4)，则点K的坐标为

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8、已知：如图，P、Q是 $△ A B C$ 边 $B C$ 上两点，且 $B P = P Q = Q C = A P = A Q$ ，则 $∠ A P Q =$ 度．

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9、已知等腰三角形的一边长是8，周长是18，它的底边长是．

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10、（1）观察并补全下面的算式：
$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} =$ ___________； $\frac{1}{3} - \frac{1}{4} =$ ___________； $\frac{1}{9} - \frac{1}{10} =$ ___________；
$\frac{1}{2 \times 3} =$ ___________； $\frac{1}{3 \times 4} =$ ___________； $\frac{1}{9 \times 10} =$ ___________．
（2）算式 $\frac{1}{1 \times 2} + \frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{3 \times 4} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{9 \times 10} =$ ___________．
（3）计算： $\frac{1}{3 \times 7} + \frac{1}{7 \times 11} + \frac{1}{11 \times 15} + \cdot \cdot \cdot + \frac{1}{55 \times 59}$ ．

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11、如图，在数轴上有三个点A，B，C，请回答下列问题：

(1)、点A，B，C表示的数分别为___________，___________，___________；

(2)、点A，B，C表示的数的相反数分别为___________，___________，___________；

(3)、将点A向右移动4个单位长度后，其对应点 $A^{'}$ 所表示的数的相反数是___________；

(4)、将点B向左移动3个单位长度后，其对应点 $B^{'}$ 所表示的数的绝对值是___________；

(5)、将点C向右移动2个单位长度后，其对应点 $C^{'}$ 所表示的数的倒数是___________．

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12、已知 $|x - 2| + |y + 3| = 0$ ．

(1)、求x，y的值；

(2)、已知 $|y + z| = 2025$ ，求z的值．

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13、请画出一个数轴，在数轴上标出下列各点： $+ (- 2)$ 、 $- 1 \frac{1}{2}$ 、0、 $|- 0.5|$ 、 $- (- 2.5)$ ；并用“＞”把这些数连起来．

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14、计算：

(1)、 $(- 8) - (- 15) + (- 9) - (- 12)$

(2)、 $8 + 5 \times (- 2) - (- 6) \div 3$

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15、在数轴上，点A表示 $- 4$ ，点B表示 $6$ ，则A、B两点间的距离是．

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16、我国古代数学著作《九章算术》中首次正式引入负数，如果支出 $500$ 元记作 $- 500$ 元，那么收入 $50$ 元记作．

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17、若数轴上点A表示的数a满足 $|a + 2| + |a - 5| = 7$ ，则a的取值范围是（）

A、 $- 2 \leq a \leq 5$ B、 $a \leq - 2$ 或 $a \geq 5$ C、 $a = - 2$ 或 $a = 5$ D、无解

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18、一个物体作左右方向的运动，我们规定，向右为正，向左为负，如果物体先向右运动5米，再向左运动3米，那么可以表示两次运动最后结果的算式是( )

A、(+5)+(+3) B、(+5)﹣(﹣3) C、(﹣5)+(﹣3) D、(+5)+(﹣3)

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19、如图，在四边形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ 平分 $∠ B A D$ ， $∠ B C A = 2 ∠ D C A$ ，点E在 $A C$ 上， $∠ E D C = ∠ A B C$ ．若 $B C = 5$ ， $C D = 2 \sqrt{5}$ ， $A D = 2 A E$ ，求 $A C$ 的长．

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20、如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点A，B，C在格点上．

(1)、画出过A，B，C三点的圆的圆心P；

(2)、求 $A C$ 的长．

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