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1、先化简，再求值： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2}$ ，其中x＝3．小乐同学的计算过程如下：
解： $\frac{2 x}{x^{2} - 4} - \frac{1}{x - 2} = \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{1}{x - 2} \dots$ ①
$= \frac{2 x}{(x + 2) (x - 2)} - \frac{x + 2}{(x - 2) (x + 2)} \dots$ ②
$= \frac{2 x - x + 2}{(x + 2) (x - 2)} \dots$ ③
$= \frac{x + 2}{(x + 2) (x - 2)} \dots$ ④
$= \frac{1}{x - 2} \dots$ ⑤
当x＝3时，原式＝1．

(1)、小乐同学的解答过程中，第步开始出现了错误；

(2)、请帮助小乐同学写出正确的解答过程．

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2、计算： $t a n 60 ° - {(\frac{1}{2})}^{- 1} + {(2025 - π)}^{0} + | \sqrt{3} - 2 |$ ．

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3、如图Rt△ABC，∠ACB＝90°，AD垂直于∠ABC外角的角平分线于D点，过D作BC的垂线，交CB延长线于点E，连接DC交AB于点F， $\frac{D F}{C F} = \frac{3}{4}$ ， DE＝6，那么BE的长为．

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4、如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABOC的边BO在x轴上，顶点A在反比例函数y $= \frac{k}{x}$ （x＜0）的图象上，顶点C在反比例函数y $= \frac{12}{x}$ （x＞0）的图象上．若tan∠ABO $= \frac{3}{4}$ ，则k的值为．

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5、如图，在矩形ABCD中， $A B = 4 ， B C = 2 \sqrt{2}$ ，以A为圆心，AB长为半径画弧交边CD于点E，连接AE，则图中阴影部分的面积为．（结果保留π）

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6、如图，由内到外依次为正方形A，B，C，若A的面积为3，C的面积为17，则B的边长可以是整数．（写出一个答案即可）

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7、如果x＝1是关于x的方程2x﹣3a＝14的解，那么a的值是．

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8、如图，正方形纸片ABCD的边长为12，E、G分别是AD、CD边上的点，连接CE、把正方形纸片沿BG折叠，使点C落在CE上的一点F，若AE＝7，则EF的长为（）

A、 $\frac{49}{13}$ B、 $\frac{24}{7}$ C、 $\frac{13}{5}$ D、 $\frac{35}{12}$

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9、图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），图2为其示意图，摄像头A的仰角、俯角均为15°，高度OA为160cm．某人笔直站在离摄像头水平距离100cm的点B处，若此人要能被摄像头识别，其身高不能超过（）（参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）

A、214cm B、187cm C、173cm D、160cm

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10、古代歌谣《群鸦栖树》记载：栖树一群鸦，鸦树不知数；三个坐一棵，五个没去处；五个坐一棵，闲了一棵树，问鸦树各几何．若设树x棵，乌鸦y只，可得方程组（）

A、 $\{\begin{array}{l} 3 y + 5 = x \\ 5 (x - 1) = y \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 5 = y \\ 5 (x + 1) = y \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} 3 x - 5 = y \\ 5 x - 1 = y \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} 3 x + 5 = y \\ 5 (x - 1) = y \end{array}$

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11、如图是一块太阳能电池板，其表层是用于减少反射的光伏玻璃，太阳光线AB射向光伏玻璃，在玻璃表面点B处发生反射和折射现象，反射光线为BC，折射光线BD在太阳能电池板表面的点D处发生反射现象，反射光线从玻璃表面的点E处射出，形成光线EF．已知BC∥EF，MN∥PQ．若∠FEN＝61°，∠BDP＝72°，则∠CBD的度数为（）

A、72° B、108° C、119° D、133°

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12、下列运算正确的是（）

A、x³•x²＝x⁶ B、x²+2x＝3x³ C、 $(- \frac{3}{2} x y^{2})^{3} = - \frac{27}{8} x^{3} y^{6}$ D、（x﹣y）²﹣（x+y）²＝4xy

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13、下列人工智能大模型图标是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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14、在等边△ABC中， AB=4， D是BC边上的中点， E， F分别是线段AC， AD上任意一点，连结 EF，将线段EF绕点E顺时针旋转120°得到线段EG，连接FG、AG，EF的延长线交射线AB于点M．

(1)、如图1，当点E与点C重合，若CF为∠ACB的平分线， FG交AC于点 P，求AP的长；

(2)、如图2，若N为线段AC上一点，且∠AGN=∠AEG， AF=AN，求证： $A M + A F = \sqrt{3} A E;$

(3)、如图3，设∠AEF=α，求证： $\frac{E F}{M F} = \frac{s i n (12 0^{\circ} - α)}{s i n α} ．$

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15、已知抛物线 $y = x^{2} - (2 a + 1) x + 2 ．$

(1)、若a=1，求图象与x轴的交点坐标；

(2)、若 $A (x_{1}, \frac{1}{2}), B (x_{2}, \frac{1}{2})$ 是抛物线上不同的两点，且点 $C (x_{1} + x_{2}, m)$ 也在抛物线上，求m的值；

(3)、在(1)的条件下，作一条垂直于x轴的直线x=n，交抛物线于点 P，交直线y=x-1于点Q，当线段PQ随n的增大而增大时，求字母n的取值范围．

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16、如图， AB 切圆O于点 C，过直径DG上一点 E 作 AE⊥DB，AE交 CD于点 F， AC交 DG的延长线于点 B．

(1)、求证： AF=AC；

(2)、若E为OD 中点， $A B = 7 \sqrt{2}, t a n B = 1,$ 求弧CG的长度．

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17、阅读材料：图形的密铺在生活、生产中被广泛应用，其中最著名的是荷兰艺术大师埃舍尔的作品(图1)，给人一种奇妙的美感．平面图形的密铺是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙、不重叠地铺成一片．而多边形的密铺就是共顶点的各多边形的内角之和等于360°(图2)．
问题解决：

(1)、请说明图2中用两个正方形、三个等边三角形能够密铺的理由；

(2)、若只用一种正n边形进行密铺，且n≥3，密铺的个数为k，且k为正整数，请推导n与k满足的关系式，并直接写出所有满足条件的正多边形．

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18、2026马年春节联欢晚会中，语言类节目有小品《奶奶的最爱》《又来了》《包你满意》，喜剧短剧《血压计》《你准喜欢》共5个．某校九年级共有400名学生，随机抽取30名学生，调查他们春晚中最喜欢的语言类节目(每人限选一个)，调查结果见下图：

(1)、若选择《奶奶的最爱》的 6名学生的年龄(单位：岁)分别为：12，13， 13， 13， 14， 15，求这 6名学生年龄的众数与中位数；

(2)、根据统计信息，估计该校九年级学生中最喜欢小品《你准喜欢》的总人数；

(3)、根据统计信息，小王同学说：“今年春晚的这5个语言类节目中最受学生欢迎的一定是《你准喜欢》”，你觉得小王的说法对吗?请结合统计相关知识说明理由．

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19、如图，在正方形ABCD中，点E为AB的中点，以D为圆心，DE为半径作圆，交对角线BD于点F，交边BC于点G，连结EG．

(1)、求证：△EBG为等腰直角三角形；

(2)、若AB=2，求 $\frac{B F}{D F}$ 的值．

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20、解分式方程： $\frac{3}{1 - x} = \frac{x}{x - 1} - 5 ．$

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