相关试卷

1、已知关于x的一元二次方程 $x^{2} - (m - 2) x + \frac{m^{2}}{4} - m = 0 .$

(1)、求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)、若方程的两个根都是正整数，求m的最小值.

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2、在《阿基米德全集》中的《引理集》中记录了古希腊数学家阿基米德提出的有关圆的一个引理．如图，已知劣弧 $A B$ ， C是弦 $A B$ 上一点．

(1)、根据提示完成尺规作图(保留作图痕迹，不写作法)；
①作线段 $A C$ 的垂直平分线 $D E$ ，分别交劣弧 $A B$ 于点D，垂足为E；
②以点D为圆心， $D A$ 长为半径作弧，交劣弧 $A B$ 于点F(F，A两点不重合)，连接 $B F$ ．

(2)、引理的结论为： $B C = B F$ ．
证明：连接 $D A$ ， $D C$ ， $D F$ ， $D B$ ．
∴ $D E$ 为 $A C$ 的垂直平分线，
∴ $D A = D C$ ，
∴ $∠ D A C = ∠ D C A$ ．
又∵四边形 $A B F D$ 为圆的内接四边形
∴ $∠ D A C + ∠$   ▲   $= 180 °$ ．（          ）．
又∵ $∠ D C A + ∠ D C B = 180 °$ ，
∴ $∠ D C B = ∠ D F B$ ．
又∵ $A D = F D$ ，
∴ $\overset{⌢}{A D} =$   ▲   ，
∴ $∠ A B D = ∠ D B F$ ，（    ）．
∴ $△ B C D ≌ △ B F D (A A S)$ ，
∴ $B C = B F$ ．

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3、已知 $m$ 是方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的一个根，求代数式 $2 m (m - 2) - 5$ 的值．

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4、解方程：

(1)、 $x^{2} = 3 x$ ；

(2)、 $2 x^{2} - 4 x = 1$ ．

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5、某社区服务点有甲、乙、丙、丁四名志愿者，某一天每人可参与服务时间段如下表所示：
志愿者
可参与服务时间段1
可参与服务时间段2
甲
$7 : 00 - 9 : 00$
$15 : 00 - 17 : 00$
乙
$7 : 30 - 8 : 30$
$16 : 00 - 19 : 00$
丙
$9 : 00 - 12 : 00$
$17 : 00 - 18 : 00$
丁
$8 : 00 - 11 : 00$
$16 : 30 - 17 : 30$
已知每名志愿者一天至少要参加一个时间段的服务，任意时刻社区服务点同时最多需要2名志愿者服务，则该服务点这一天所有参与服务的志愿者的累计值守时间最短为小时，最长为小时（假设志愿者只要参与服务，就一定把相应时间段全部值完）

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6、已知 $y$ 是关于 $x$ 的二次函数，部分 $y$ 与 $x$ 的对应值如表所示：
x
…
-4
-3
-2
-1
0
1
2
…
y
…
1
-2
-3
1
6
…
则当 $- 4 < x < 0$ 时， $y$ 的取值范围是．

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7、如图， $P A$ ， $P B$ 是圆 $O$ 的切线，切点分别为 $A$ ， $B$ ，连接 $O B$ ， $A B$ ．如果 $∠ P = 30 °$ ，那么 $∠ O B A$ 的度数为．

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8、若点 $A (x_{1}, 1)$ 和 $B (x_{2}, 4)$ 在反比例函数 $y = \frac{2}{x}$ 图象上，则 $x_{1}$ $x_{2}$ （填“>”“<”或“=”）．

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9、反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象如图所示，点 $M$ 是该函数图象上一点， $M N$ 垂直于 $x$ 轴，垂足是点 $N$ ，如果 $S_{△ M O N} = 2$ ，则 $k$ 的值为．

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10、如果一元二次方程 $x^{2} + 2 x + a = 0$ 有两个不等实根，则实数 $a$ 的取值范围是．

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11、请写出一个函数表达式，使其当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 增大而减小：．

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12、已知 $A B = 4$ ，点 $C$ 满足 $∠ A C B = 90 °$ ，作射线 $B M$ ，使得 $∠ A B M = 30 °$ ，作 $C H ⊥ B M$ 于点 $H$ ，则 $B H$ 长的最大值是（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $2 + \sqrt{3}$ D、 $2 + 2 \sqrt{3}$

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13、壁挂铁艺盆栽是一种兼具装饰性和实用性的家居园艺用品，适合用于阳台、客厅墙面或其他空间，增添绿意和艺术感，如图①是一种壁挂铁艺盆栽，花盆外围是圆形框架．图②是其截面示意图， $O$ 为圆形框架的圆心，弦 $A B$ 和劣弧 $A B$ 围成的区域为种植区，已知种植区的深度为 $8 c m$ ，圆形框架的半径为 $20 c m$ ，则弦 $A B$ 的长为（）

A、 $4 c m$ B、 $8 c m$ C、 $16 c m$ D、 $32 c m$

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14、如图，点A、B、C为 $⊙ O$ 上三点， $∠ A C B = 30 °$ ， $A B = 3$ ，弧 $A B$ 的长是（）

A、 $π$ B、 $\frac{3}{4} π$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $2 π$

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15、如果一个正多边形的中心角等于 $72 °$ ，那么这个多边形是（）

A、正三角形 B、正方形 C、正五边形 D、正六边形

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16、二次函数 $y = {(x - 3)}^{2} + 1$ 的顶点坐标是（）

A、 $(3, - 1)$ B、 $(3, 1)$ C、 $(- 3, - 1)$ D、 $(- 3, 1)$

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17、围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．以下是在棋谱中截取的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、对于平面直角坐标系 $x O y$ 内的点P和图形M，给出如下定义：如果点P绕原点O顺时针旋转 $90 °$ 得到点 $P'$ ，点 $P'$ 落在图形M上，那么称点P是图形M关于原点O的“伴随点”，已知点 $A (1, 1), B (1, 2), C (3, 1)$ ．

(1)、在点 $P_{1} (- 1, 1)$ ， $P_{2} (- 2, 0)$ ， $P_{3} (- 1, 2)$ 中，点是线段 $A C$ 关于原点O的“伴随点”；

(2)、如果点 $D (m, 2)$ 是 $△ A B C$ 关于原点O的“伴随点”，直接写出m的取值范围；

(3)、已知抛物线 $y = (x + 1)^{2} + n$ ，其关于原点对称的抛物线上存在两个 $△ A B C$ 关于原点O的“伴随点”，直接写出n的取值范围．

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19、抛物线 $y = a x^{2} + 2 a x - 15 (a \neq 0)$ 与x轴交于 $A (3, 0)$ 、B两点，点C是抛物线顶点．

(1)、求抛物线的解析式及点B的坐标；

(2)、点 $D (x_{0}, 0)$ 是x轴上的动点，过点D作 $E F ⊥ x$ 轴交直线 $B C$ 于点E，交抛物线于点F．
①若 $x_{0} = - 2$ ，直接写出 $E F$ 的长；
②若 $- 6 \leq x_{0} < - 1$ ，求线段 $E F$ 长度的最大值．

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20、如图1，是某条公路的一个具有两条车道的隧道的横断面．经测量，两侧墙 $A D$ 和 $B C$ 与路面 $A B$ 垂直，隧道内宽 $A B = 8$ 米．为了确保隧道的安全通行，工程人员在路面 $A B$ 上取点 $E$ ，测量点 $E$ 到墙面 $A D$ 的距离 $A E$ ，点 $E$ 到隧道顶面的距离 $E F$ ．设 $A E = x$ 米， $E F = y$ 米．通过取点、测量，工程人员得到了 $x$ 与 $y$ 的几组值，如表：
$x$ （米）
0
2
4
6
8
$y$ （米）
4.0
5.5
6.0
5.5
4.0

(1)、根据上述数据，隧道顶面到路面 $A B$ 的最大距离为米，若满足的函数关系式为 $y = a {(x - h)}^{2} + k (a \neq 0)$ ，请直接写出函数关系式：；

(2)、若如图（2）的汽车在隧道内正常通过时，汽车的任何部位需离左侧墙及右侧墙的距离不小于 $1$ 米，且到隧道顶面的距离不小于 $0.35$ 米．按照这个要求，隧道能标注的限高应为多少米（精确到 $0.1$ 米）？

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志愿者	可参与服务时间段1	可参与服务时间段2
甲	$7 : 00 - 9 : 00$	$15 : 00 - 17 : 00$
乙	$7 : 30 - 8 : 30$	$16 : 00 - 19 : 00$
丙	$9 : 00 - 12 : 00$	$17 : 00 - 18 : 00$
丁	$8 : 00 - 11 : 00$	$16 : 30 - 17 : 30$

x	…	-4	-3	-2	-1	0	1	2	…
y	…		1	-2	-3		1	6	…

$x$ （米）	0	2	4	6	8
$y$ （米）	4.0	5.5	6.0	5.5	4.0