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1、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AC=2.点P在边AC上，过点P作PD⊥AB，垂足为D，过点D作DF⊥BC，垂足为F.连结PF，取PF的中点E.在点P从点A到点C的运动过程中，点E所经过的路径长为.

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2、如图，已知点A（-3，0），B（0，3），C（-1，4），动点P在线段AB上，点P，C，M按逆时针顺序排列，且 $∠ C P M = 9 0^{\circ}, C P = M P$ ，当点P从点A运动到点B时，求点M运动的路径长.

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3、如图，在等边三角形ABC中，AB=BC=AC=6，M是BC边上的高AD所在直线上的点，以BM为边作等边三角形BMN，连结DN，则DN的最小值为.

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4、如图，在平面直角坐标系中，A（-3，0），B是y轴上一动点.以AB为边在AB的下方作等边三角形ABP，连结OP，当点B在y轴上运动时，OP的最小值为.

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5、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2，0）.

(1)、当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是；

(2)、设P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA=∠ABO，则m的值是.

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6、如图，半圆O的直径AB=10cm，弦AC=6cm，AD平分∠BAC，则AD的长为 cm.

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7、如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB=.

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8、在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点C旋转得到△DEC，点A的对应点D落在边AB上，连结BE.

(1)、如图1，求证：△BCE∽△ACD.

(2)、如图2①，当BC=2，AC=1时，求BE的长.

(3)、如图②，过点E作AB的平行线交AC的延长线于点F，过点B作AC的平行线交EF于点G，DE与BC交于点K.
①求证：AC=CF；
②当 $\frac{G F}{G B} = \frac{5}{6}$ 时，直接写出 $\frac{K D}{K E}$ 的值.

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9、如图，菱形AB-CD绕点A旋转得到菱形AB'C'D'，点B'在BC上，B'C'交CD于点E.若AB=2BB'=4，则CE的长为.

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10、如图，AB=AC，AE=AD，点E在BD上，∠EAD=∠BAC，∠BDC=56°，则∠ABC的度数为（）

A、56° B、60° C、62° D、64°

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11、在△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点（不与端点重合），连结AD.将线段AD绕点A逆时针旋转α得到线段AE，连结DE.

(1)、如图①，若α=∠BAC=60°，∠CAE=20°，求∠ADB的度数；

(2)、如图②，α=∠BAC=90°，BD<CD，过点D作DG⊥BC，DG交CA的延长线于点G，连结BG.F是DE的中点，H是BG的中点，连结FH，CF.用等式表示线段FH与CF的数量关系，并证明；

(3)、如图③，∠BAC=120°，α=60°，AB=8，连结BE，CE.点D从点B开始移动到点C的过程中，将BE绕点B逆时针旋转60°得到线段BM，连结EM，作MN⊥CA交CA的延长线于点N.当CE取最小值时，在直线AB上取一点P，连结PE，将△APE沿PE所在直线翻折到△ABC所在的平面内，得到△QPE，连结BQ，MQ，NQ，当BQ取最大值时，请直接写出△MNQ的面积.

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12、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，点B，C的对应点分别为B'，C'，B'C'的延长线与边BC相交于点D，连结CC'.若AC=4，CD=3，则线段CC'的长为（）

A、 $\frac{12}{5}$ B、 $\frac{16}{5}$ C、4 D、 $\frac{24}{5}$

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13、如图①，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，点E，F分别在四边形ABCD的边BC，CD上，∠EAF= $\frac{1}{2} ∠ B A D$ ，连结EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系.

(1)、思路梳理：将△ABE绕点A逆时针旋转至△ADG，使AB与AD重合，由∠B+∠ADC=180°，得∠FDG=180°，即F，D，G三点共线，易证△AFG≌△AFE，故EF，BE，DF之间的数量关系为.

(2)、类比引申：如图②，在图①的条件下，若点E，F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB，DC的延长线上，∠EAF= $\frac{1}{2} ∠ B A D$ ，连结EF，试猜想EF，BE，DF之间的数量关系，并给出证明.

(3)、联想拓展：如图③，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC上，且 $∠ D A E = 4 5^{\circ}$ .若BD=1，EC=2，则DE的长为

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14、【问题呈现】
如图1①，已知P是正方形A₁A₂A₃A₄外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 18 0^{\circ}$ ，探究PA₁ ， PA₂ ， PA₃三条线段的数量关系.
小颖通过观察、分析、思考，形成了如下思路：思路一：如图1②，构造△QA₃A₂与△PA₁A₂全等，从而得出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与PA₂的数量关系；
思路二：如图1③，构造△MA₁A₂与△NA₃A₂全等，从而得出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与PA₂的数量关系.

(1)、请参考小颖的思路，直接写出 $P A_{1} + P A_{3}$ 与PA₂的数量关系：；

(2)、【类比探究】
如图2①，若P是正五边形A₁A₂A₃A₄A₅外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 18 0^{\circ}, P A_{1} = 11, P A_{3} = 49,$ ，求PA₂的长度（结果精确到0.1，参考数据： $s i n 5 4^{\circ} \approx 0.81, s i n 7 2^{\circ} \approx$ 0.95，cos54°≈0.59，cos72°≈0.31）；

(3)、【拓展延伸】
如图2②，若P是正十边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{10}$ 外一点，且满足 $∠ P A_{1} A_{2} + ∠ P A_{3} A_{2} = 18 0^{\circ},$ 则PA₁ ， PA₂ ， PA₃三条线段的数量关系为（结果用含有锐角三角函数的式子表示）.

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15、在菱形ABCD中，AB=5，AC=8.

(1)、如图①，求sin∠BAC的值.

(2)、如图②，E是AD延长线上的一点，连结BE，作△FBE与△ABE关于直线BE对称，EF交射线AC于点P，连结BP.
①当EF⊥AC时，求AE的长；
②求PA-PB的最小值.

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16、如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=5，点E在射线AD上运动，以BE为直角边向右作Rt△BEF，使得∠BEF=90°，BE=2EF，连结CF.

(1)、当点F恰好落在CD边上时，BF=；

(2)、当EF=时，CF有最小值.

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17、如图，已知正方形ABCD中，射线BP与边AD交于点P，过点A，C，D分别作射线BP的垂线，垂足分别为A₁ ， C₁ ， D₁.设 $m = A A_{1} + C C_{1} + D D_{1},$ 若AB=1，则m的最小值为.

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18、如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠DAB=30°，∠ADC=60°，BC=CD=2.若线段MN在边AD上运动，且MN=1，则 $B M^{2} + 2 B N^{2}$ 的最小值是（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{29}{3}$ C、 $\frac{39}{4}$ D、10

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19、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BC=6，将射线CA绕点C顺时针旋转90°到CA₁ ，在射线CA₁上取一点D，连结AD，使得△ACD的面积为24，连结BD，则BD的最大值是.

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20、如图，在△ABC中，∠ABC=60°，BC=8，AC=10，点D，E分别在AB和AC边上运动，且AD=CE，则CD+BE的最小值为.

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