相关试卷

1、在解决几何问题时，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题.

(1)、【问题情境】
如图Z11-8，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q，判断线段AE，FG的数量关系，并证明.

(2)、【尝试应用】
如图Z11-9，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，AB交CD于点O，求tan∠AOC的值.

(3)、【拓展提升】如图Z11-10，P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连结DE，BC，DE与BC，PC分别相交于点M，N.
①求 $∠ D M C$ 的度数；
②连结AC，交DE于点H，求 $\frac{D H}{B C}$ 的值.

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2、在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于其边长的 $\sqrt{2}$ 倍.
某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系进行探究，具体如下：如图.

(1)、∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，
$∴ A B^{2} = A O^{2} + B O^{2} .$
又∵AC=2AO，BD=2BO，
$∴ A B^{2} =$ +.
化简整理，得 $A C^{2} + B D^{2} =$ .

(2)、【类比探究】
如图Z11-6，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.

(3)、【拓展应用】
如图Z11-7，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E为AO的中点，F为BC的中点，连结EF.若AB=8，BD=8，AC=12，直接写出EF的长度.

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3、【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：
14.如图，在锐角△ABC中，探究 $\frac{a}{s i n A}, \frac{b}{s i n B}, \frac{c}{s i n C}$ 之间的关系.（提示：分别作AB和BC边上的高.）
【得出结论】 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} .$

(1)、【基础应用】在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=2，利用以上结论求AB的长.

(2)、【推广证明】进一步研究发现， $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}$ 不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} =$ 2R（R为△ABC外接圆的半径）.
请利用图①证明： $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R .$

(3)、【拓展应用】
如图②，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，∠B=∠C=90°.求过A，B，D三点的圆的半径.

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4、阅读理解：
对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式，可以按下面的方法分解因式：
$x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x （ x^{2} - n^{2} ） - （ x - n ） = x （ x - n ）（ x + n ） - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1) .$
理解运用：
如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0,$ 那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0,$ 即有x-n=0或 $x^{2} + n x - 1 = 0,$ 因此，方程x-n=0和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x +$ n=0的解.
解决问题：
方程 $x^{3} - 5 x + 2 = 0$ 的解为.

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5、定义：在平面直角坐标系中有一点P（m，n），点P的纵坐标n与其横坐标m的差（n-m）称为点P的“影差”.例如：点（1，-3）的“影差”为-3-1=-4.

(1)、在二次函数 $y = - x^{2} + b x + c (c \neq 0)$ 中，当x=-4，x=2时“影差”值均为0.
①求b，c的值；
②求此时该二次函数图象上点的“影差”的最大值；
③求该二次函数图象上点的“影差”大于5时，x的取值范围.

(2)、若二次函数 $y = x^{2} + b x + c (c \neq 0)$ 图象上点的“影差”的最小值为-1，B（t，0）与C分别是此二次函数的图象与x轴和y轴的交点，且点B与点C的“影差”相等，求b的值.

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6、分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如： $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + \frac{1}{10} .$ 将 $\frac{3}{11}$ 拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数k（k>2），将 $\frac{2}{5}$ 拆分成两个不同单位分数相加的形式为.

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7、如图①，△ABC与△A₁B₁C₁满足∠A=∠A₁ ， AC=A₁C₁ ， BC=B₁C₁ ， ∠C≠∠C₁ ，我们称这样的两个三角形为“伪全等三角形”.如图②，在△ABC中，AB=AC，点D，E在线段BC上，且BE=CD，则图中共有“伪全等三角形”（）

A、1对 B、2对 C、3对 D、4对

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8、定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”.例如三位数231，因为3-1=2，所以它是“极差数”.

(1)、【理解定义】
三位数265是不是“极差数”?.

(2)、【建模推理】
设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为；

(3)、任意一个“极差数”都能被11整除吗?为什么?

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9、对多项式A，B，定义新运算“⊕”：A⊕B=2A+B；对正整数k和多项式A，定义新运算“⊗”：k⊗A=A⊕A⊕A⊕…⊕A（按从左到右的顺序依次k个A做“⊕”运算）.已知正整数m，n为常数，记 $M = m \otimes (x^{2} + 31 x y), N = n \otimes (y^{2} - 14 x y),$ 若M⊕N不含xy项，则mn=.

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10、对x，y定义了一种新运算G，规定G（x，y）=x+3y.若关于a的不等式组 ${\begin{matrix} G (a, 1 - 2 a) ⩾ - 2, \\ G (- 2 a, 1 + 4 a) > P \end{matrix}$ 恰好有3个整数解，则实数P的取值范围是.

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11、定义运算：a⊗b=（a+2b）（a-b），例如，4⊗3=（4+2×3）×（4-3），则函数y=（x+1）⊗2图象的对称轴为直线.

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12、定义如下运算： $m △ n = m^{2} - n, m ⋆ n = n^{2} -$ 2mn，根据定义计算[（-3）△2]-[2★（-3）]的值为（）

A、14 B、-14 C、21 D、-21

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13、对于任意有理数a，b，现用“☆”定义一种运算： $a b = a^{2} - b^{2},$ 根据这个定义，代数式（x+2y）☆（x-2y）可以化简为（）

A、8y² B、 $2 x^{2} + 8 y^{2}$ C、4xy D、8xy

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14、对于实数a，b定义运算“⊗”为 $a \otimes b = b^{2} -$ ab，例如： $3 \otimes 2 = 2^{2} - 3 \times 2 = - 2,$ 则关于x的方程（k-3）⊗x=k-1的根的情况，下列说法正确的是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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15、我们知道： $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n},$ 现定义一种新运算：h（m+n）=h（m）·h（n）.比如h（2）=3，则h（4）=h（2+2）=3×3=9.若h（2）=k（k≠0），则h（2n）·h（2026）的结果是（）

A、2k+2026 B、1013k C、 $2^{k + 1013}$ D、 $k^{n + 1013}$

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16、如图，AB是⊙O的直径，AB=4，C是上半圆. $\hat{A B}$ 的中点，D是下半圆 $\hat{A B}$ 上一个动点，过点A作CD的垂线，垂足为E，则点D从点A运动到点B的过程中，点E运动的路径长是（）

A、π B、 $\sqrt{2} π$ C、2π D、 $2 \sqrt{2} π$

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17、如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，点P是平面内一个动点，且AP=3，Q为BP的中点，在P点运动过程中，设线段CQ的长度为m，则m的取值范围是.

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18、如图，点A，B的坐标分别为（2，0），（0，2），C为坐标平面内一点，BC=1，M为线段AC的中点，连结OM，则OM的最大值为（）

A、 $\sqrt{2} + 1$ B、 $\sqrt{2} + \frac{1}{2}$ C、 $2 \sqrt{2} + 1$ D、 $2 \sqrt{2} - \frac{1}{2}$

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19、已知：在正方形ABCD中，AB=4，点E在边AB上，且BE=1，以点B为圆心，BE长为半径画⊙B，点P在⊙B上移动，连结AP.

(1)、如图①，在点P移动过程中，AP长度的最小值是；

(2)、如图②，将AP绕点A逆时针旋转90°至AP'，连结BP'，在点P移动过程中，求BP'长度的最小值.

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20、如图，点P（3，4），圆P的半径为2，A（2.8，0），B（5.6，0），M是圆P上的动点，C是MB的中点，求AC的最小值.

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