相关试卷

1、如图，已知正方形ABCD的边长为4，E为AD的中点，连结CE，取CE的中点F，过点F作CE的垂线，交AB于点G，则AG的长为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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2、如图，E，F，G，H分别是四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点.若BD=AC，四边形EFGH的面积为24，且HF=6，则GH=（）

A、4 B、5 C、8 D、10

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3、在∠AOB中，C是∠AOB的平分线上一点，过点C作CD⊥OB，垂足为D，过点D作DE⊥OA，垂足为E，直线DE，OC交于点F，过点C作CG⊥DE，垂足为G.

(1)、观察猜想
如图①，当∠AOB为锐角时，用等式表示线段CG，OE，OD的数量关系：

(2)、类比探究
如图②，当∠AOB为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立.若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明.

(3)、拓展应用
当0°<∠AOB<180°，且∠AOB≠90°时，若 $\frac{G F}{E F} = 3,$ 请直接写出 $\frac{O D}{C D}$ 的值.

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4、如图，以等腰三角形ABC的底边BC为直径作⊙O，分别交AB，AC边于点D，E，过点E作EF⊥BC于点F，∠CEF的平分线交BC于点G.若BD=3，CG=1，则FG= ， AE= .（参考素材：角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两边对应成比例，如 $\frac{F G}{E F} = \frac{C G}{C E}$ ）

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5、如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD，∠BCA=2∠DCA，点E在AC边上，∠EDC=∠ABC.若BC= $5 \sqrt{5}$ ， CD=10，AD=2AE，则AC的长为.

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6、如图，半圆O的直径AB=5，AC，AD为弦.若AC=3，AD平分∠BAC，则AD=.

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7、如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AD平分∠CAB，BE⊥AD，E为垂足，则 $\frac{A D}{B E}$ 的值为( ）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $\frac{7 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{5 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3}$

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8、如图，在矩形ABCD中，M为边BC的中点，N为边AB上一点，连结DM，DN.若DM平分∠CDN，且AN=3，BN=1，则DN的长为（）

A、4 B、 $3 \sqrt{2}$ C、5 D、 $3 \sqrt{3}$

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9、如图，AD是△ABC的角平分线，BE平分∠ABC交AD于点E，BF是△ABC的外角平分线，交AD的延长线于点F，且BF∥AC，连结CF.下列结论错误的是（）

A、∠EBF=90° B、∠BCF=∠BFC C、若CF∥AB，则AE=BD D、若AF⊥BC，则CF=BC

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10、如图，在Rt△ABC中，AC=3，BC=4，∠C=90°，D，E分别为BC，AC的中点，BF平分∠ABC，交DE于点F，则EF的长是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、 $\frac{5}{2}$

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11、我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用.
例如：已知x可取任意实数，试求二次三项式 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值.
解： $x^{2} + 2 x + 3 = x^{2} + 2 x + 1 + 2 = (x + {1)}^{2} + 2 .$
∵无论x取何实数，都有 ${(x + 1)}^{2} \geq 0,$
$∴ {(x + 1)}^{2} + 2 \geq 2,$
即 $x^{2} + 2 x + 3$ 的最小值为2.
试利用配方法解决下列问题：

(1)、 $x^{2} - 6 x + 12$ 的最小值为；

(2)、比较代数式 $3 x^{2} - x + 2$ 与 $2 x^{2} + 3 x - 6$ 的大小，并说明理由；

(3)、如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD.若AC+BD=10，求四边形ABCD面积的最大值.

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12、如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，连结BE，BF，EF，G是BE的中点，连结AG并延长，交BF于点K.

(1)、∠AKB=°；

(2)、连结CK，当线段CK取得最小值时， $\frac{C F}{C D}$ 的值为.

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13、小明在求代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 4}$ 的最小值时，采用如下方法：如图，在平面直角坐标系中，设M（x，0）为x轴上的一个动点，选取点A（0，1）和B（4，2），根据两点之间的距离公式，得 $A M = \sqrt{x^{2} + 1}, B M = \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 4},$ 通过构造，将求代数式的最小值转化为求AM+BM的最小值.由此小明求出 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(x - 4)}^{2} + 4}$ 的最小值为

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14、老师布置的作业中有这样一道题：
如图，在△ABC中，D为BC的中点，若AC=3，AD=4，则AB的长不可能是（    ）
A. 5          B. 7          C. 8          D. 9
甲同学认为AB，AC，AD这三条线段不在同一个三角形中，无法解答，老师给的题目有错误；乙同学认为可以从中点D出发，构造辅助线，利用全等的知识解决；丙同学认为没必要借助全等三角形的知识，只需取AB的中点构造三角形的中位线，就可以解决.关于三位同学的思考过程，你认为正确的是（    ）

A、甲 B、乙 C、丙 D、乙和丙

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15、【知识呈现】
转化思想是数学常用的思想方法之一，在解决一些陌生问题的时候，可以构造辅助线，将陌生问题转化为熟悉问题来解决.

(1)、如图①，C是线段AB上一点（AC>BC），AB=16，∠A=∠DCE=∠ABE=120°，CD=CE=14.
①求证：△ACD≌△BEC；
②求tanD的值.

(2)、【小试牛刀】
如图②，在等边三角形ABC中，M，N分别是边AC，AB上的点，将△AMN沿MN翻折，使点A的对应点落在BC边上的点D处.若CD=2，BD=5，求AN的长.

(3)、【拓展应用】
如图③，在△ABC中，AB=AC， $∠ A B C = ∠ C = α (4 5^{\circ} < α < 9 0^{\circ})$ ， D是BC边的中点，E为AC边上任意一点，将射线DE绕着点D逆时针旋转α，得到射线DG，过点E作EF⊥DE，交射线DG于点F，连结FB.若FB=FD，求 $\frac{C E}{A E}$ 的值.（用含α的式子表示）

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16、在学习锐角三角函数时，小明同学对“具有倍半关系的两个锐角的正切值之间具有怎样的关系”这个问题产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究.

(1)、初步尝试：
我们知道： $t a n 6 0^{\circ} =$ ， $t a n 3 0^{\circ} =$ ；
发现结论：tanA2tan $\frac{A}{2}$ （（填“=”或“≠”）.

(2)、如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2，BC=1，求 $t a n \frac{∠ B A C}{2}$ 的值.
研究思路：小明想构造包含 $\frac{1}{2} ∠ B A C$ 的直角三角形，延长CA至点D，使得DA=AB，连结BD，得到 $∠ D = \frac{1}{2} ∠ B A C,$ 即转化为求∠D的正切值，那么 $t a n \frac{∠ B A C}{2} =$ .

(3)、在△ABC中，∠A为锐角， $t a n A = \frac{1}{3},$ ∠B=2∠A，AB= $3 \sqrt{10}$ ，求S_△ABC的值.

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17、如图，D是以AB为直径的半圆O的中点， $\hat{C D} = 2 \hat{C B}$ ， E是直径AB上一个动点.已知AB=2cm，则图中阴影部分周长的最小值是cm.

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18、在《九章算术》“割圆术”中指出：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这里所用的割圆术所体现的是一种由有限到无限的转化思想.比如在求 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots$ 的值时，“…”代表按此规律不断求和.我们可设 $x = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots,$ 则有 $x = 1 + \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots),$ 即 $x = 1 + \frac{1}{2} x,$ 解得x=2，故 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2^{2}} + \frac{1}{2^{3}} + \frac{1}{2^{4}} + \dots = 2 .$
类似地，请你计算： $1 + \frac{1}{3^{2}} + \frac{1}{3^{4}} + \frac{1}{3^{6}} + \frac{1}{3^{8}} + \dots =$ .（直接填计算结果即可）

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19、如图，在△ABC中，AB=AC，O为BC的中点，点D在边AB上，连结OD.

(1)、如图①，若OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，求证：OE=OD；

(2)、如图②，已知∠BAC=90°，AB=4，AD=1.若点F在边AC上，OF=OD，求AF的长.

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20、两个智能机器人在如图所示的Rt△ABC区域工作，∠ABC=90°，AB=40m，BC=30m，直线BD为生产流水线，且BD平分△ABC的面积（即D为AC的中点）.机器人甲从点A出发，沿A→B的方向以v₁（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点P表示，机器人乙从点B出发，沿B→C→D的方向以v₂（m/min）的速度匀速运动，其所在位置用点Q表示.两个机器人同时出发，设机器人运动的时间为t（min），记点P到BD的距离（即垂线段PP'的长）为d₁（m），点Q到BD的距离（即垂线段QQ'的长）为d₂（m）.当机器人乙到达终点时，两个机器人立即同时停止运动，此时 $d_{1} = 7.5 m . d_{2}$ 与t的部分对应数值如下表 $(t_{1} < t_{2}) :$
t（min）
0
t₁
t₂
5.5
d₂（m）
0
16
16
0

(1)、机器人乙运动的路线长为m；

(2)、求 $t_{2} - t_{1}$ 的值；

(3)、当机器人甲、乙到生产流水线BD的距离相等（即 $d_{1} = d_{2}$ ）时，求t的值.

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t（min）	0	t₁	t₂	5.5
d₂（m）	0	16	16	0