相关试卷

1、下列选项中，变量之间的关系属于反比例关系的是（）

A、正方形的周长 C 与边长 $a$ ． B、汽车匀速行驶时，路程 $s$ 与行驶时间 $t$ ． C、某村的总耕地面积固定，人均耕地面积 $y$ 与该村总人数 $x$ ． D、圆的面积 $S$ 与半径 $r$ ．

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2、计算： $2 a - 2 (2 a - 1) =$ （）

A、 $2 a + 2$ B、 $- 2 a + 2$ C、 $2 a - 2$ D、 $- 2 a - 2$

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3、综合与实践
问题情境：平行四边形是中心对称图形，在研究其部分性质时围绕其中心对称性展开，如图：平行四边形 $A B C D$ 中，点 $O$ 是对角线 $A C$ 的中点，过点 $O$ 的直线 $l$ 交边 $A B$ ， $C D$ 所在的直线于点 $M$ ， $N$ ．已知 $∠ B =60 °$ ， $A C = 2 \sqrt{2}$ ．
猜想验证：
（1）如图1，旋转直线 $l$ ，当 $M C ⊥ C N$ 时，连接 $A N$ ，求证：四边形 $A M C N$ 为矩形．
（2）如图2，当 $M C = C N$ 时，猜想线段 $M B$ ， $C D$ 和 $A N$ 的数量关系，并说明理由．
深入探究：
（3）当点 $M$ ， $N$ 在 $A B$ ， $C D$ 延长线上时， $l$ 交 $A D$ ， $B C$ 于点 $P$ ， $Q$ ，连接 $A Q$ ， $C P$ ，此时四边形 $A Q C P$ 为正方形．请直接写出 $P D$ 的长度．

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4、阅读下列材料，完成相应的任务：

几何法探究配方法解方程

西周时期政治家周公与数学家商高探讨“数”的起源，商高说：“数出于方圆，圆出于方，方出于矩，”，老师在课堂上利用“矩”得“方”解决了配方法解方程的问题．例：如图：某正方形广场外侧有两条宽度相同的小路，已知正方形边长为11，小路面积为48，求小路的宽．

设小路宽为 $x m$ ，根据题意可列方程：

$x^{2} + 2 \times 11 x = 48$ ，

解方程时想到“矩”旁边有一个“方”，组合成另一个大的“方”，

整体看大正方形面积既可以表示为 $x^{2} + 22 x + 11^{2}$ ，也可以表示为 ${(x + 11)}^{2}$ ，

根据构造的图形，可将方程变形为 ${(x + 11)}^{2} = 169$ ，

利用平方根的定义求解即可．

将方程 $x^{2} + 22 x = 48$ 抽象为 $x^{2} + p x = q$ ，

求解过程如下： $x^{2} + p x + {(\frac{p}{2})}^{2} = q + {(\frac{p}{2})}^{2}$ ，

${(x + \frac{p}{2})}^{2} = \dots \dots$

任务：

(1)、将材料中剩余步骤补充完整，求出方程的解．

(2)、班级数学爱好者模仿以上材料，做了新的笔记：假如已知某矩形的面积为20，长比宽多10，求矩形的长和宽．设矩形宽为

x

，则长为

(x + 10)

，根据题意列方程得

x (x + 10) = 20

，解方程时想到用“矩”得“方”的办法进行配方．

①根据构造的图形，可将方程变形为：，利用平方根的定义求解即可．

②将方程 $x (x + 10) = 20$ 抽象为：．

(3)、将②抽象出的方程，按照材料中的思路写出求解过程．

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5、以下各图均是由边长为 $1$ 的小正方形组成的网格，图中的点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在格点上．

(1)、如图： $P C : P B =$ ．

(2)、在 $A B$ 上找点 $M$ ，使 $A M : A B = 1 : 3$ ．

(3)、在 $A C$ 上找点 $Q$ 使 $B Q ⊥ A C$ ．

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6、为深入学习习近平总书记在纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会上的重要讲话精神，打造“大思政课”品牌．某校举行宣讲活动，活动结束后校园书店准备购进一些爱国主义教育图书，10月份以每套50元的价格购进800套，当月以单价80元销售，售出了200套.11月如果单价不变，预计仍可售出200套，书店老板为增加销售量，决定降价销售，根据学生意向调查，单价每降低1元，可多售出10套，但最低单价应高于购进的价格；11月结束后，书店对剩余的这种图书一次性清仓销售，清仓时单价为40元，设在11月清仓前图书单价降低 $x$ 元．

(1)、填表：（不需化简）
时间
10月
11月
清仓时
单价（元）
80
______
40
销售量（套）
200
______
______

(2)、如果书店希望通过销售这批图书获利9000元，那么11月的单价应定为多少元？

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7、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 边上一点， $∠ A E D = 90 °$ ， $∠ E A D = 30 °$ ， $F$ 是 $A D$ 的中点， $E F = 4$ ，求 $B E$ 的长度．

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8、山西省教育厅明确规定，中小学每天综合体育活动时间不得低于两小时，旨在促进学生健康成长和全面发展，各校积极探索形式多样的活动，确保学生每天体育锻炼时间达标．某初中学校初一年级某班 $20$ 名学生进行羽毛球比赛，分成5个小组，每个小组4个人．现抽签决定由1组和3组进行第一轮单打比赛，两个小组各选一名选手参加，1组的小明和3组的小丽同时被选中的概率为多少？

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9、如图，在等腰三角形ABC中， $A B = A C, A H ⊥ B C$ 于点H，点E是AH上一点，延长AH至点F，使 $F H = E H$ .求证：四边形EBFC是菱形.

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10、解下列方程：

(1)、 $3 {(2 x + 1)}^{2} = 108$ ；

(2)、 $x (x - 1) = 2 - 2 x$ ；

(3)、 $2 x^{2} + 7 x + 3 = 0$ ．

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11、如图， $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ，将 $△ A B D$ 沿 $B C$ 平移到 $△ A^{'} B^{'} F^{'}$ 位置， $A^{'} B^{'}$ 交 $A C$ 于点 $M$ ， $A^{'} F^{'}$ 交 $A C$ 于点 $N$ ．此时 $M$ 为 $A^{'} B^{'}$ 中点，已知 $A B = 3$ ， $A C = 4$ ，则 $N F^{'} =$ ．

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12、从前有一天，一个笨汉拿着竹竿进屋，横拿竖拿都进不去，横着比门框宽4尺，竖着比门框高2尺．他的邻居教他沿着门的两个对角斜着拿竿，这个笨汉一试，不多不少刚好进去了．求竹竿有多长．设竹竿长 $x$ 尺，则根据题意，可列方程．

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13、在研究随机事件的概率中，有的是等可能事件，可以算出理论概率，有的理论概率计算复杂，还有的是非等可能事件，这两种事件的概率选择用实验的方法，通过增加实验的频次，用频率估计概率，下面是利用计算机模拟实验估计50个人中有两人生日相同的概率曲线图，通过图中数据可知40个人中两人生日相同的概率接近．（精确到 $0.1$ ）

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14、一元二次方程 $x^{2} - 9 x = 0$ 的根为．

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15、如图， $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A = 36 °$ ， $C E$ 平分 $∠ A C B$ ，交 $A B$ 于点 $E$ ， $E D ∥ B C$ ，交 $A C$ 于点 $D$ ，已知 $D E = 2$ ，则 $B C =$ （）

A、 $\sqrt{5} - 1$ B、 $\sqrt{5} + 1$ C、 $2 \sqrt{5}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + 1}{2}$

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16、永祚寺双塔是太原的地标建筑，始建于明万历二十七年，即1599年，距今有400多年的历史，数学兴趣小组学完相似三角形应用后，决定亲自利用所学知识测量双塔高度，如图是他们借助附近一棵大树 $E F$ （大树上的标志牌写着树高 $10.5 m$ ）测得的一些数据，可以计算出塔的高度约为（）

A、 $45 m$ B、 $53 m$ C、 $55.5 m$ D、 $44.5 m$

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17、第二十四届太原市机器人竞赛暨太原市第十届“创新未来”中小学生机器人竞赛活动中，全市208所中小学校一千多名学生参加，某校有25人参加，都获得不同等级的奖项，已知该校第二十二届参赛人数是16人，连续两年平均增长率相同．则该校参赛人数连续两年的平均增长率为（）

A、 $30 %$ B、 $25 %$ C、 $20 %$ D、 $10 %$

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18、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 2 k - 1 = 0$ 有两个实数根．则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $k < 1$ B、 $k \leq 0$ C、 $k < 0$ D、 $k \leq 1$

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19、如图，有一个质地均匀且六个面上分别标有数字： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ， $6$ 的正方体骰子，甲、乙两名同学按照以下游戏规则：每人先掷骰子，骰子朝上的数是几，就将棋子前进几格，并获得格子中的相应物品．现在轮到乙掷骰子，棋子在标有数字“1”的那一格，汽车在第8个格子．他知道无论怎样，掷一次骰子都得不到汽车，申请连续掷两次，他连续掷两次骰子能获得汽车的概率是（）

A、 $\frac{1}{6}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、1 D、 $\frac{7}{36}$

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20、如图，已知直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ， $l_{3}$ 分别截直线 $l_{4}$ 于点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，截直线 $l_{5}$ 于点 $D$ ， $E$ ， $F$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ．若 $A B = 4$ ， $B C = 8$ ， $E F = 10$ ，则 $D E$ 的长为（）

A、53 B、5 C、15 D、 $\frac{10}{3}$

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时间	10月	11月	清仓时
单价（元）	80	______	40
销售量（套）	200	______	______