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1、已知在一个样本中，50个数据分别落在5个组内，第一、二、三、五组数据的频数分别为2，8，15，5，则第四组数据的频率是．

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2、当 $x =$ 时，分式 $\frac{2}{1 - x}$ 无意义．

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3、如图，已知正方形 $A B C D$ 与正方形 $E F G H$ 的重叠部分是长方形 $B M H N$ ，面积记为 $S_{1}$ ，四边形 $B K G M$ 与四边形 $E L B N$ 都为正方形，面积分别记为 $S_{2}$ 和 $S_{3}$ ，已知 $C M - A N = 2$ ，则下列代数式的值为定值的是（）

A、 $S_{3} - S_{1}$ B、 $S_{2} + S_{3} - 2 S_{1}$ C、 $\frac{S_{3} - S_{1}}{S_{2}}$ D、 $\frac{S_{1} + S_{2}}{S_{3}}$

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4、小明在数学课堂折纸活动中，将一张长方形纸片 $A B C D$ 沿着 $E F$ 翻折，点A ， D的对应点分别为 $A^{'}$ ， $D^{'}$ ， $A^{'} D^{'}$ 与 $C D$ 交于点G ，再将 $△ E D^{'} G$ 沿着 $C D$ 边翻折，点 $D^{'}$ 的对应点落在长方形 $A B C D$ 的内部点H处，若 $E H$ 平分 $∠ C E F$ ，则 $∠ A^{'} F B$ 的度数为（）

A、 $36 °$ B、 $40 °$ C、 $42 °$ D、 $44 °$

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5、《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根木头的长，绳子还剩余 $4.5$ 尺；将绳子对折再量木头，则木头还剩余1尺，问木头长多少尺？可设木头长为x尺，绳子长为y尺，则所列方程组正确的是（）

A、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x - 1 \end{array}$ B、 ${\begin{array}{l} y = x + 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$ C、 ${\begin{array}{l} y - x = 4.5 \\ 0.5 y = x + 1 \end{array}$ D、 ${\begin{array}{l} y = x - 4.5 \\ y = 2 x - 1 \end{array}$

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6、如果 ${(m - 3)}^{m} = 1$ ，那么m的值不能取（）

A、0 B、1 C、2 D、4

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7、把分式 $\frac{3 a - 4 b}{2 a b}$ 的分子分母中的a ， b都扩大为原来的2倍，则分式的值（）

A、不变 B、扩大为原来的2倍 C、缩小为原来的 $\frac{1}{4}$ D、缩小为原来的 $\frac{1}{2}$

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8、下列调查中，适合用抽样调查方式的是（）

A、了解七年级（1）班学生每周的体育锻炼时长 B、旅客登飞机前的安检 C、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命 D、某公司职工进行健康检查

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9、下列计算正确的是（）

A、 ${(a - 2)}^{2} = a^{2} - 4$ B、 ${(2 x)}^{3} = 6 x^{3}$ C、 $(a^{2} b + a) \div a = a b$ D、 ${(x^{2})}^{3} = x^{6}$

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10、如图，与 $∠ D$ 是同旁内角的是（）

A、 $∠ 1$ B、 $∠ 2$ C、 $∠ 3$ D、 $∠ 4$

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11、 2024年4月，北京大学团队研发出全球最薄的光学晶体-转角菱方氮化硼光学晶体，其厚度仅为 $0.000001$ 米，能效比传统晶体提升了100至1万倍，数据 $0.000001$ 用科学记数法表示为（　　）

A、 $0.1 \times 1 0^{- 5}$ B、 $1 \times 1 0^{- 6}$ C、 $1 \times 1 0^{- 7}$ D、 $10 \times 1 0^{- 8}$

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12、下列方程中，属于二元一次方程的是（）

A、 $3 x + y^{2} = 1$ B、 $x - 2 y = 6$ C、 $\frac{1}{x} + 3 y = 5$ D、 $3 x - 2 = x$

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13、数学活动课上，小云和小王在讨论涂老师出示的一道代数式求值问题：
已知 $p + q + 2 r = 1 ， p^{2} + q^{2} - 8 r^{2} + 6 r - 5 = 0$ ，求代数式 pq-qr- rp的值.
通过你的运算，代数式 pq-qr-rp的值为

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14、阅读材料：整体代入求值是数学中常用的方法.例如“已知3a-b=2，求代数式6a-2b-1的值.”可以这样解：6a-2b-1=2(3a-b)-1=2×2-1=3.根据阅读材料，解决问题：若x=2是关于x的一元一次方程 ax+b=3的解，则代数式 $4 a^{2} + 4 a b + b^{2} + 4 a + 2 b - 1$ 的值是.

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15、若x+2y-3=0，则3^x·9^y=.

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16、我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知∠A=90°，BD=4，CF=6，设正方形ADOF的边长为x，则 $x^{2} + 10 x =$ ( )

A、12 B、16 C、20 D、24

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17、如图，⊙O是锐角三角形ABC 的外接圆，OD⊥AB，OE⊥BC，OF⊥AC，垂足分别为 D，E，F，连结 DE，EF，FD.若 DE+DF=6.5，△ABC的周长为21，则EF的长为( )

A、8 B、4 C、3.5 D、3

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18、已知a是方程 $2 x^{2} - 3 x - 5 = 0$ 的一个根，则 $- 4 a^{2} + 6 a$ 的值为 ( )

A、10 B、-10 C、2 D、-40

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19、【阅读材料】平面几何中的费马问题是十七世纪法国数学家、被誉为业余数学家之王的皮埃尔·德·费马提出的一个著名的几何问题.费马曾写信请托里拆利解答如下问题：如图R5-5①，给定不在一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最短的点 P 的位置.托里拆利成功地解决了费马的问题.后来人们为了纪念他们，就把平面上到一个三角形的三个顶点 A，B，C距离之和最小的点称为△ABC的费马一托里拆利点.
【问题解决】证明：如图②，把△APC绕点
A 逆时针旋转 60°得到△AP'C'，连结 PP'，
∴∠PAP^'=60°，AP=AP^' ， PC=P^'C^' ，
∴△APP'为等边三角形，∴AP=PP'，
$∴ P A + P B + P C = P P^{'} + P B + P^{'} C^{'} .$
点 C'可看成是点 C 绕点 A 逆时针旋转 60°而得的定点，BC为定长，
∴当 B，P，P'，C'四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小.

(1)、观察图②中∠APB，∠BPC和∠APC，试猜想这三个角的大小关系；

(2)、【类比探究】如图③，在 Rt△ABC内部有一动点 P，∠ACB=90°，∠BAC=30°，连结PA，PB，PC，若 BC=2，求 PA+PB+PC的最小值；

(3)、【拓展应用】如图④，已知正方形AB-CD内一动点 P 到A，B，C三点的距离之和的最小值为 $\sqrt{2} + \sqrt{6} ，$ 求此正方形的边长.

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20、阅读材料，解答下列问题：
材料：已知. $\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x} = 1 ，$ 求 $\sqrt{15 - x} +$ $\sqrt{8 - x}$ 的值.
李聪同学是这样解答的：
$∵ (\sqrt{15 - x} - \sqrt{8 - x}) (\sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x})$
$= {(\sqrt{15 - x})}^{2} - {(\sqrt{8 - x})}^{2}$
=15-x-8+x=7，
$∴ \sqrt{15 - x} + \sqrt{8 - x} = 7 .$
这种方法称为“构造对偶式”.
问题：已知 $\sqrt{30 - x} + \sqrt{9 - x} = 7 .$

(1)、求 $\sqrt{30 - x} - \sqrt{9 - x}$ 的值；

(2)、求x的值.

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