相关试卷

1、（1）观察图1，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线相交于一点，共有6对对顶角；四条直线相交于一点，共有 ▲ 对对顶角．试猜想，10条直线相交于一点，共有 ▲ 对对顶角；

(1)、观察图2，两条直线交于一点，共有2对对顶角；三条直线两两相交于不同的点，共有6对对顶角；四条直线两两相交于不同的点，共有对对顶角．试猜想，10条直线两两相交于不同的点，共有对对顶角；

(2)、针对上述两种情形，试归纳出一个一般性的结论．

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2、如图，直线 $A B$ 、 $C D$ 相交于点 $O$ ， $O B$ 平分 $∠ E O C$ ，若 $∠ E O C = 70 °$ ，求 $∠ A O D$ 和 $∠ A O E$ 的度数．

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3、下列各图中， $∠ 1$ 与 $∠ 2$ 互为对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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4、如图中， $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 是对顶角的是（）

A、 B、 C、 D、

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5、如图，直线a ， b相交于点O ， ∠1=40 ° ，求∠2 ，∠3 ，∠4 的度数．

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6、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知两个点 $M$ ， $N$ 和图形 $W$ ，如果在图形 $W$ 上存在点 $P$ ， $Q$ （ $P$ ， $Q$ 可以重合）使得 $M P = N Q$ ，那么称点 $M$ 与点 $N$ 是图形 $W$ 的抽象对称点．已知点 $A (3, 0)$ ．

(1)、如图 $1$ ，已知点 $B (6, 0)$ ．
$①$ 在 $P_{1} (- 1, 0)$ ， $P_{2} (1, 1)$ ， $P_{3} (3, 4)$ 这三个点中，与点 $B$ 可以成为线段 $O A$ 的抽象对称点的是________；
$②$ 已知 $C (0, c)$ ，若点 $B$ 与点 $C$ 是线段 $O A$ 的抽象对称点，则 $c$ 的取值范围是________；

(2)、如图 $2$ ，若点 $M$ 与点 $N$ 是线段 $O A$ 的抽象对称点， $M A = 1$ ，则满足条件的所有点 $N$ 组成的图形面积是________；

(3)、如图 $3$ ，正方形 $D E F G$ 的四个顶点坐标分别为 $D (4, 4)$ ， $E (4 + m, 4)$ ， $F (4 + m, 4 + m)$ ， $G (4, 4 + m)$ 且 $m > 0$ ．若线段 $O A$ 上的任意两个点都是正方形 $D E F G$ 的一对抽象对称点，请在坐标系中画出符合条件的最小的正方形，并简述画图步骤．

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7、2000多年前，古希腊几何提出“仅用无刻度直尺和圆规三等分任意角”的著名问题，该问题直到1837年才由法国数学家旺策尔证明为不可能．尽管尺规无法实现，但借助折纸可以完成，以下为用正方形纸片 $A B C D$ 三等分锐角的操作步骤．
①如图1，在 $A D$ 上任取一点 $P$ ，过 $B$ ， $P$ 两点折叠，折痕为 $B P$ ，得到锐角 $∠ P B C$ ，下面三等分这个锐角；
②如图2，在 $A B$ 上任取一点 $E$ ，将 $B C$ 向上翻折，使点 $B$ 与点 $E$ 重合．此时将点 $C$ 的对应点记为点 $F$ ，折痕记为 $G H$ ，然后展开纸片；
③如图3，折叠纸片，使点 $B$ ，点 $E$ 分别落在 $G H$ ， $B P$ 上，点 $E$ ，点 $G$ ，点 $B$ 的对应点分别记为点 $X$ ，点 $Y$ ，点 $Z$ ，折痕记为 $M N$ ， $M N$ 与 $G H$ 交于点 $O$ ；
④展开纸片，作射线 $B Y$ ， $B Z$ ；则 $B Y$ ， $B Z$ 即为 $∠ P B C$ 的三等分线．

证明过程如下：

(1)、先证 $∠ 1 = ∠ 2$ ．请把下面的证明过程补充完整．
由题知 $∵ G H ∥ B C$ ， $M N$ 垂直平分 $B Z$ ．
$∵ G H ∥ B C$ ，
$∴ ∠ 1 =$ ________．
$∵ M N$ 垂直平分 $B Z$ ，
$∴ B O =$ ________．（________）
$∴ ∠ 2 = ∠ O Z B$ ．（________）
$∴ ∠ 1 = ∠ 2$ ．

(2)、再证 $∠ 2 = ∠ 3$ ．请完成证明．
综上所述， $∠ 1 = ∠ 2 = ∠ 3$ ，即 $B Y$ ， $B Z$ 为 $∠ P B C$ 的三等分线．

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8、物体重心的位置对于物体保持平衡、运动和稳定的状态至关重要．均质等厚的板材（可抽象为平面图形）的重心位置可通过分割法计算，即将板材分解为若干个简单规则图形（如矩形、三角形、圆形等），分别求出各简单图形的重心坐标和面积，再计算组合图形的重心．

根据以下素材，探索完成任务．

素材

图形	重心	说明
长方形	几何重心	对角线的交点
三角形	三条中线交点	若顶点坐标分别为 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ ， $(x_{3}, y_{3})$ ，则中线交点坐标为 $(\frac{x_{1} + x_{2} + x_{3}}{3}, \frac{y_{1} + y_{2} + y_{3}}{3})$
圆	几何中心	圆心

素材二

建立平面直角坐标系确定重心位置公式的步骤：

1．建立坐标系：根据图形特点建立平面直角坐标系，使图形的各部分在同一坐标系中便于描述，比如让对称轴与坐标轴重合等．

2．分割图形：将平面组合图形分割成几个简单平面图形，确定每个简单图形的面积 $s_{i}$ ．

3．确定简单图形重心坐标：求出每个简单图形重心在已建立坐标系中的坐标 $(x_{i}, y_{i})$ ．

4．代入公式计算：把所有简单图形的重心坐标代入公式，计算出组合图形重心坐标 $(\bar{x}, \bar{y})$ ，其中 $\bar{x} = \frac{x_{1} s_{1} + x_{2} s_{2} + \dots + x_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{1} s_{1} + y_{2} s_{2} + \dots + y_{n} s_{n}}{s_{1} + s_{2} + \dots + s_{n}}$ ．

素材三

负面积法（挖空图形）：若组合图形包含挖空部分（如长方形中挖去圆形），可将挖空部分视为“负面积”，重心公式调整为 $(\bar{x}, \bar{y})$ ：其中 $\bar{x} = \frac{x_{整体} s_{整体} - x_{挖空} s_{挖空}}{s_{整体} - s_{挖空}}$ ， $\bar{y} = \frac{y_{整体} s_{整体} - y_{挖空} s_{挖空}}{s_{整体} - s_{挖空}}$ ．

任务1：阴影部分图形的重心坐标是________；

任务2：阴影部分图形的重心坐标是________； $(π = 3)$

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9、如图，在平面直角坐标系中，点 $A (- 1, 4)$ ， $B (- 3, 1)$ ， $C (0, 2)$ ， $D (1, 0)$ ， $E (3, - 3)$ ， $F (0, - 2)$ ．

(1)、 $△ D E F$ 可以看作是由 $△ A B C$ 经过若干次的图形变化得到的，写出一种由 $△ A B C$ 得到 $△ D E F$ 的图形变化过程：________；

(2)、在 $x$ 轴上找一点 $P$ ，使得 $P B + P C$ 的值最小，此时点 $P$ 的坐标为________；

(3)、已知点 $Q$ 为 $y$ 轴上一点，若 $△ D F Q$ 为等腰三角形，则点 $Q$ 有________个．

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10、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ．

(1)、用直尺和圆规完成以下作图：作线段 $B C$ 的垂直平分线交 $A C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于点 $E$ ，在直线 $D E$ 上截取线段 $E F$ （点 $F$ 在 $B C$ 下方），使得 $E F = B C$ ，连接 $C F$ ；（保留作图痕迹，不写作法）

(2)、根据（1）中作图，若 $A C ⊥ C F$ ，证明： $B C = 2 A B$ ．补全以下证明过程：
证明： $∵ A C ⊥ C F$ ，
$∴ ∠ A C B + ∠ E C F = 90 °$
$∵ ∠ B = 90 °$ ，
$∴ ∠ A + ∠ A C B = 90 °$ ，
$∴$ ________________．
$∵ E F$ 垂直平分 $B C$ ，
$∴ ∠ C E F = 90 °$ ， ________ $= 2 E C$ ．
$∴ ∠ B = ∠ C E F$ ．
在 $△ A B C$ 和 $△ C E F$ 中，
$\{\begin{matrix} ∠ B = ∠ C E F \\ \begin{matrix} ∠ A = ∠ E C F \\ ________ \end{matrix} \end{matrix}$
$∴ △ A B C ≌ △ C E F$ ．
$∴$ ________．（________）
$∴ B C = 2 A B$ ．

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11、如图，在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 30^{\circ}$ ， $A D ⊥ B C$ 于点 $D$ ， $A B = c$ ， $A C = b$ ， $A D = h$ ，其中 $c > b$ ， $P$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $A B$ ， $C B$ ， $C A$ 上的点（均不与点 $A$ ， $B$ ， $C$ 重合），对于每一个确定的点 $E$ ，将 $△ P E F$ 周长的最小值记为 $m (E)$ ．给出下列四个结论：
①过点 $E$ 向 $A B$ ， $A C$ 作垂线，垂足分别为 $G$ ， $H$ ，此时 $△ G E H$ 的周长即为 $m (E)$ ；
②在点 $E$ 从点 $B$ 向点 $C$ 运动过程中， $m (E)$ 的最小值为 $h$ ；
③在点 $E$ 从点 $B$ 向点 $C$ 运动过程中， $m (E)$ 的最大值为 $b$ ；
④当 $h < m (E) < b$ 时，点 $E$ 始终能在两个不同的位置取到相同的 $m (E)$ 值．
其中所有正确结论的序号是．

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12、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中， $A (4, 0)$ ， $B (0, 6)$ ，动点 $P$ ， $Q$ 分别按照 $B - O - A$ 和 $A - O - B$ 的路线同时开始运动，到各自的终点时停止．直线 $l$ 经过原点 $O$ ，过 $P$ ， $Q$ 分别作 $l$ 的垂线段，垂足分别为 $E$ ， $F$ ．若点 $P$ 的速度为每秒2个单位长度，点 $Q$ 的速度为每秒1个单位长度，记点 $Q$ 的运动时间为 $t$ 秒，当 $△ O P E$ 与 $△ O Q F$ 全等（ $P$ ， $Q$ 不能重合）时， $t$ 的值为．

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13、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线， $B E$ 是 $△ A B D$ 边 $A D$ 上的中线，若 $△ A B C$ 的面积是 $8$ ， $A B = 6$ ， $A C = 3$ ，则 $△ A B E$ 的面积是．

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14、如图，在 $△ A B C$ 中，以点 $A$ 为圆心， $A C$ 的长为半径作弧交 $B C$ 于点 $D$ ，再分别以点 $B$ 和点 $D$ 为圆心，大于 $\frac{1}{2} B D$ 的长为半径作弧，两弧分别交于点 $M$ 和点 $N$ ，作直线 $M N$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，连接 $D E$ ．若 $A B = 7$ ， $A C = 5$ ，则 $△ A D E$ 的周长为．

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15、如图，已知 $△ A B C$ 的三个内角和三条边，则以下三个三角形中，一定和 $△ A B C$ 全等的是．（填“甲”“乙”“丙”）

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16、如图， $O$ 是 $△ A B C$ 内一点，且点 $O$ 到三边 $A B$ ， $A C$ ， $B C$ 的距离相等，即 $O P = O M = O N$ ，若 $∠ A B C = 80 °$ ，则 $∠ A O C$ 的度数是（）

A、 $140 °$ B、 $130 °$ C、 $120 °$ D、 $110 °$

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17、问题情景：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图 $①$ ，在平行四边形 $A B C D$ 中， $B E ⊥ A D$ ，垂足为 $E$ ， $F$ 为 $C D$ 的中点，连接 $E F$ ， $B F$ ，试猜想 $E F$ 与 $B F$ 的数量关系，并加以证明；

(1)、独立思考：请解答老师提出的问题；

(2)、实践探究：梦之队小组受此问题的启发，将平行四边形 $A B C D$ 沿着 $B F$ （ $F$ 为 $C D$ 的中点）所在直线折叠，如图 $②$ ，点 $C$ 的对应点为 $C^{'}$ ，连接 $D C^{'}$ 并延长交 $A B$ 于点 $G$ ，请判断 $A G$ 与 $B G$ 的数量关系，并加以证明；

(3)、问题解决：智慧小组突发奇想，将平行四边形 $A B C D$ 沿过点 $B$ 的直线折叠，如图 $③$ ，点 $A$ 的对应点 $A^{'}$ ，使 $A^{'} B ⊥ C D$ 于点 $H$ ，连接 $A^{'} M$ ，交 $C D$ 于点 $N$ ．若此平行四边形 $A B C D$ 的面积为 $20$ ， $A B = 5$ ， $B C = \frac{8 \sqrt{3}}{3}$ ，求图中阴影部分（四边形 $B H N M$ ）的面积．

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18、在平面直角坐标系中，四边形 $O A B C$ 是矩形，点 $A ， C$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上，反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k > 0 ， x > 0)$ 的图象分别与矩形 $O A B C$ 的边 $B C ， A B$ 相交于点 $D$ ， $E$ ．

(1)、如图1，若 $O A = \sqrt{2} O C = 2$ ，
①点 $B$ 的坐标是___________；
②连接 $O D ， D E$ ，当 $O D ⊥ D E$ 时，探究点 $D ， E$ 是否分别为线段 $B C ， A B$ 的中点，并证明；

(2)、如图2，过点 $D$ 作 $D F ⊥ O A$ ，垂足为点 $F$ ，连接 $O D$ ， $E F$ ．当 $O D ∥ E F$ 时，探究点 $F ， E$ 是否分别为线段 $O A ， A B$ 的黄金分割点，并证明．

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19、综合与实践．
【主题】探究化学实验中的数学问题．
【实践操作】如图是排水法收集气体的化学实验装置示意图，安装要求为试管口略向下倾斜，铁夹应固定在距试管口的三分之一处．
【数学建模】将图1的示意图抽象成题图2，已知试管 $A B$ 的长为 $15 cm$ ，过点 $B$ 作 $A H$ 的垂线段，垂足为 $C$ ，交 $D G$ 于点 $E$ ，试管倾斜角 $∠ A B C = 8 °$ ，试管与导管的夹角 $∠ A B F = 143 °$ ．
【问题解决】

(1)、求 $∠ B F M$ 的度数；

(2)、铁夹 $D$ 到水平桌面 $H N$ 的距离是 $17 cm$ ，测量可得导管露在水槽外的部分 $B F$ 为 $8 cm$ ，则水槽的高度 $M N$ 约为多少？（结果精确到 $0.1 cm$ ；参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $sin 8^{\circ} \approx 0.14$ ， $cos 8^{\circ} \approx 0.99$ ， $tan 8^{\circ} \approx 0.14$ ）

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20、如图，已知点 $E$ 是矩形 $A B C D$ 的边 $C D$ 上一点， $B F ⊥ A E$ 于点 $F$ ．若 $A D ＝ 12, D E ＝ 5, A F ＝ 4$ ，求 $B F$ 的长．

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