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1、如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ 为 $B A$ 延长线上一点， $F$ 为 $C E$ 的中点，以 $B$ 为圆心， $B F$ 长为半径的圆弧经过 $A D$ 与 $C E$ 的交点 $G$ ，连结 $B G$ ．

(1)、求证： $B G = \frac{1}{2} C E$ ．

(2)、若 $A B = 12, C E = 26$ ，求 $A G$ 的长．

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2、计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 2} + |- 3| - \sqrt[3]{27}$ ．

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3、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中，点 $E 、 F$ 分别是边 $B C 、 C D$ 上的点．若 $A B = 4$ ， $A D = 6$ ， $C F = 1$ ， $∠ A E B = ∠ A F E = ∠ E F C$ ，则 $A E$ 的长为．

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4、如图，一次函数 $y_{1} = k_{1} x + b (k_{1} > 0)$ 的图象与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x} (k_{2} > 0)$ 的图象交于 $A 、 B$ 两点，点 $A$ 的横坐标为 $1$ ，点 $B$ 的横坐标为 $- 2$ ，当 $y_{1} < y_{2}$ 时，则 $x$ 的取值范围是．

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5、如图，两条直线 $l_{1}, l_{2}$ 分别经过正六边形 $A B C D E F$ 的顶点 $B 、 C$ ，且 $l_{1} ∥ l_{2}$ ．当 $∠ 2 = 95 °$ 时，则 $∠ 1 =$ ．

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6、不等式组 $\{\begin{array}{l} x - 2 \geq 0 \\ x - 3 < 3 \end{array}$ 的解集为．

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7、因式分解： $a^{2} - 5 a =$ ．

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8、如图，在菱形 $A B C D$ 中，对角线 $A C$ ， $B D$ 相交于点 $O$ ，点 $E$ 为 $O C$ 上一点，连接 $D E$ ，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 翻折得到 $△ F D E ， E F$ 交 $C D$ 于点 $G$ ，连接 $B E ， C F$ ．当四边形 $B C F E$ 为平行四边形时，若 $sin ∠ D A C = k$ ，则 $\frac{G E}{G F}$ 的值为（）

A、 $k$ B、 $2 \sqrt{1 - k^{2}} - 1$ C、 $2 \sqrt{1 - k^{2}} + 1$ D、 $\frac{k}{2 \sqrt{1 - k^{2}} - 1}$

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9、在平面直角坐标系中，两点 $A (x_{1}, y_{1}) 、 B (x_{2}, y_{2})$ 在抛物线 $y = a x^{2} - 4 a x + b (a > 0)$ 上，则下列结论中正确的是（）

A、若 $x_{1} + x_{2} > 4$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，则 $y_{1} > y_{2}$ B、若 $x_{1} < x_{2} < 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ C、若 $x_{1} < 2 < x_{2}$ ，且 $y_{1} y_{2} < 0$ ，则 $b < 0$ D、若 $x_{1} > x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} > y_{2}$

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10、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是位似图形，位似中心为点 $O$ ．若点 $A (- 6,2)$ 的对应点为 $A^{'} (- 12,4)$ ，则点 $B (- 4,8)$ 的对应点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 8, 16)$ B、 $(16, - 8)$ C、 $(- 16, 8)$ D、 $(8, - 16)$

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11、运算 ${(- a)}^{2} + a^{2}$ 的结果是（）

A、0 B、2 $a^{2}$ C、4a D、 $a^{4}$

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12、【阅读材料】
解方程： $x^{4} - 5 x^{2} + 4 = 0,$ 这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：
设 $x^{2} = y,$ 则 $x^{4} = y^{2} .$ 于是原方程可转化为 $y^{2} - 5 y + 4 = 0,$ 解得 $y_{1} = 1, y_{2} = 4 ．$
当y=1时， $x^{2} = 1,$ 所以x=±1；当y=4时， $x^{2} = 4,$ 所以= x=±2．
所以原方程有四个根： $x_{1} = 1, x_{2} = - 1, x_{3} = 2, x_{4} = - 2 ．$
在这个过程中，我们利用换元法达到降次的目的，体现了转化的数学思想．
【问题】

(1)、在解方程 ${(x^{2} + x)}^{2} - 4 (x^{2} + x) - 12 = 0$ 时，若设 $y = x^{2} + x,$ 则原方程可转化为．

(2)、若 $(m^{2} + n^{2} - 3) (2 m^{2} + 2 n^{2} - 4) = 8,$ 则 $m^{2} + n^{2} =$ ．

(3)、参照上面解题的思想方法解方程： ${(\frac{x}{x - 2})}^{2} - 5 \cdot \frac{x}{x - 2} + 6 = 0$ ．

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13、如图， $△ A B C$ 中， $∠ B = 9 0^{\circ}, A B = 6 c m, B C = 8 c m ．$ 点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B 点开始沿BC边向点 C以2cm/s的速度移动，P、Q分别从A、B两点同时出发，设运动时间为t秒．

(1)、t为何值是，PQ的长度等于 $4 \sqrt{2} c m$ ．

(2)、线段 PQ能否将 $△ A B C$ 分成面积3：5的两部分?若能，求出运动时间；若不能说明理由．

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14、亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红．据统计，“江南忆”公仔在某电商平台8月份的销售量是5万件，10月份的销售量是7.2万件．

(1)、若该平台8月份到10月份的平均增长率都相同，求月平均增长率是多少?

(2)、市场调查发现，某一间店铺“江南忆”公仔的进价为每件40元，若售价为每件80元，每天能销售20件；售价每降价0.5元，每天可多售出2件．为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利1400元，则售价应降低多少元?

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15、关于x的一元二次方程 $x^{2} - 2 (k - 1) x + k^{2} + 3 = 0 ．$

(1)、若该方程有两个实数根，求k的取值范围．

(2)、若该方程的两个实数根为x₁ ， x₂ ，且满足 $(x_{1} - 1) (x_{2} - 1) = 14,$ 求k的值．

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16、已知 $A = x^{2} + 2 x - 6 y, B = - y^{2} + 4 x - 10,$

(1)、判断A， B的大小关系．

(2)、若 $A = B - ∣ z - 1 ∣,$ 求x+y+z的值．

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17、已知m，n是方程 $x^{2} - 2 x - 1 = 0$ 的两个实数根，求代数式 $m^{2} + 4 m + n^{2} + 2 n + 3$ 的值．

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18、解下列方程：

(1)、 $x^{2} - 6 x = 1$

(2)、 $2 x^{2} - 5 x + 2 = 0$

(3)、 ${(x - 3)}^{2} - 2 x (x - 3) = 0$

(4)、 $2 x^{2} + 2 x + 1 = 0$

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19、定义：关于x的一元二次方程： $a_{1} {(x - m)}^{2} + n = 0 (a_{1} 、$ m、n是常数， $a_{1} \neq 0)$ 与 $a_{2} {(x - m)}^{2} + n = 0 (a_{2} 、$ m、n是常数， $a_{2} \neq 0)$ 称为“同族二次方程”．例如： $2 {(x - 3)}^{2} + 4 = 0$ 与 $3 {(x - 3)}^{2} + 4 = 0$ 是“同族二次方程”．
如果关于x的一元二次方程 $2 {(x - 1)}^{2} + 1 = 0$ 与 $a x^{2} + b x + 5 = 0$ (a、b是常数、a≠0)是“同族二次方程”．那么代数式 $a x^{2} - b x + 2030$ 的最小值是．

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20、若关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0 (a c \neq 0)$ 有一根为x=m，则关于x的一元二次方程 $c x^{2} - b x + a = 0 (a c \neq 0)$ 必有一根为．

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