相关试卷

1、【平行六边形】如图1，在凸六边形 $A B C D E F$ 中，满足 $A B ∥ D E ， B C ∥ E F ， C D ∥ F A$ ，我们称这样的凸六边形叫做“平行六边形”，其中 $A B$ 与 $D E$ ， $B C$ 与 $E F$ ， $C D$ 与 $F A$ 叫做“主对边”； $∠ A$ 和 $∠ D$ ， $∠ B$ 和 $∠ E$ ， $∠ C$ 和 $∠ F$ 叫做“主对角”； $A D, B E, C F$ 叫做“主对角线”．

(1)、类比平行四边形性质，有如下猜想，请判断正误并在横线上填写“正确”或“错误”．
猜想
判断正误
①平行六边形的三组主对边分别相等
②平行六边形的三组主对角分别相等
③平行六边形的三条主对角线互相平分

(2)、【菱六边形】六条边都相等的平行六边形叫做“菱六边形”．
如图2，已知平行六边形 $O P Q R S T$ 满足 $O P = P Q = Q R = R S$ ．
求证：平行六边形 $O P O R S T$ 是菱六边形：

(3)、如图3是一张边长为 $3, 4, 6$ 的三角形纸片．剪裁掉三个小三角形，使剪裁后的纸片为菱六边形．请在剪裁掉的小三角形中，任选一个，求它的各边长．

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2、综合与实践
树人中学组织一次“爱心义卖”活动．九（5）班分配到了一块矩形义卖区和一把遮阳伞，遮阳伞在地面上的投影是一个平行四边形（如图1）
初始时，矩形义卖区 $A B C D$ 与遮阳伞投影 $▱ M N P Q$ 的平面图如图2所示， $P$ 在 $A D$ 上， $M N = 3 m$ ， $A N = 1 m$ ， $A P = 2 m$ ， $A B = 3 m$ ， $B C = 2.5 m$ ，由于场地限制，参加义卖的同学只能左右平移遮阳伞．在移动过程中， $▱ M N P Q$ 也随之移动（ $M N$ 始终在 $A B$ 边所在直线 $l$ 上），且形状大小保持不变，但落在义卖区内的部分（遮阳区）会呈现不同的形状．如图3为 $▱ M N P Q$ 移动到 $P$ 落在 $B C$ 上的情形．
【问题提出】
西西同学打算用数学方法，确定遮阳区面积最大时 $▱ M N P Q$ 的位置．
设遮阳区的面积为 $S m^{2}$ ， $▱ M N P Q$ 从初始时向右移动的距离为 $x m$ ．

(1)、【直观感知】从初始起右移至图3情形的过程中， $S$ 随 $x$ 的增大如何变化？

(2)、【初步探究】求图3情形的 $x$ 与 $S$ 的值；

(3)、【深入研究】从图3情形起右移至 $M$ 与 $A$ 重合，求该过程中 $S$ 关于 $x$ 的解析式；

(4)、【问题解决】当遮阳区面积最大时， $▱ M N P Q$ 向右移动了多少？（直接写出结果）

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3、自2025年5月9日起至2025年12月31日，周末自驾游广西的外省籍小客车，可享受高速公路车辆通行费（以下简称高速费）优惠．小悦一家5月中旬从湖南自驾到广西探亲游玩，此次全程所产生的高速费享受的优惠如下：

湖南境内路段
广西境内特定路段
广西境内其他路段
周一至周四
9.5折
周五至周日
9.5折
全免
5折

(1)、周六小悦一家从湖南Z市到广西A市，所经湖南境内路段、广西境内特定路段和其他路段的高速费原价分别为a元、b元和c元．求此行程的高速费实付多少元？

(2)、周日他们从A市到K市（全程在广西境内），高速费实付27.55元；周一从K市原路返回到A市，高速费实付95.95元．求此行程中A市与K市间广西境内特定路段和其他路段的单程高速费原价分别是多少元．

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4、如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C, D$ 在 $⊙ O$ 上， $∠ A B C = 65 ° ， B C = C D$ ．

(1)、求证： $△ B O C ≌ △ D O C$ ；

(2)、求 $∠ A B D$ 的度数．

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5、某班需从甲、乙两名同学中推荐一人参加校史馆讲解员的选拔，班委决定从口头表达能力、思维能力、表现力、仪容仪表四项内容进行考查．全班同学投票确定了各项所占的百分比，结果如图 $1$ ，再对甲、乙进行考查并逐项打分，成绩如图 $2$ ．

(1)、在所考查的四项内容中，甲比乙更具优势的有哪些？

(2)、按照图 $1$ 的各项占比计算甲、乙的综合成绩，并确定推荐人选．

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6、绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点 $O$ ， $O^{'} (5, 5)$ 为圆心、以 $5$ 为半径作圆，两圆相交于 $A, B$ 两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②．

(1)、写出 $A, B$ 两点的坐标；

(2)、求叶瓣①的周长；（结果保留 $π$ ）

(3)、请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到．

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7、

(1)、计算： $(- 2) \times (- 1) + 3$

(2)、化简： $a (a - 1) + a$

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8、如图，点 $A, D$ 在 $B C$ 同侧， $A B = B C = C A = 2 ， B D = C D = \sqrt{2}$ ，则 $A D =$ ．

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9、从 $3 ， 4 ， 5$ 三个数字中任选两个，则选出的两个数字之和是偶数的概率为．

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10、写出一个使分式 $\frac{1}{x + 3}$ 有意义的 $x$ 的值，可以是．

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11、 $\sqrt{2} \times \sqrt{5} =$ ．

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12、如图，在平面直角坐标系中，“双曲线阶梯” $A B C D E F G$ 的所有线段均与 $x$ 轴平行或垂直，且满足 $B C = D E = F G = 1$ ，点 $A$ ， $C$ ， $E$ ， $G$ 均在双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的一支上．若点A的坐标为 $(4, \frac{3}{2})$ ，则第三级阶梯的高 $E F =$ （）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $\frac{7}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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13、已知 $x_{1}, x_{2}$ 是方程 $x^{2} - 20 x - 25 = 0$ 的两个实数根，则 $x_{1} + x_{2} =$ （）

A、 $- 25$ B、 $- 20$ C、20 D、25

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14、因式分解： $a^{2} - 1 =$ （）

A、 $(a + 1) (a - 1)$ B、 $a (a + 1)$ C、 $(a + 1)^{2}$ D、 $(a - 1)^{2}$

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15、生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量 $y$ 随时间 $t$ 的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（）

A、第5天的种群数量为300个 B、前3天种群数量持续增长 C、第3天的种群数量达到最大 D、每天增加的种群数量相同

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16、在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段 $A B$ 的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（）

A、垂线段最短 B、两点确定一条直线 C、两点之间，线段最短 D、两直线平行，内错角相等

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17、已知一次函数 $y = - x + b$ 的图象经过点 $P (4, 3)$ ，则 $b =$ （）

A、3 B、4 C、6 D、7

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18、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 ° ， A B = 7 ， A C = 3$ ，则 $s i n B =$ （）

A、 $\frac{7}{10}$ B、 $\frac{3}{7}$ C、 $\frac{3}{10}$ D、 $\frac{1}{7}$

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19、有两个容量足够大的玻璃杯，分别装有a克水、b克水， $a > b$ ，都加入c克水后，下列式子能反映此时两个玻璃杯中水质量的大小关系的是（）

A、 $a + c > b + c$ B、 $a + c = b + c$ C、 $a + c < b + c$ D、 $a - c < b - c$

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20、 2025年5月4日，平陆运河青年枢纽电站顺利完成并网调试，具备发电条件．该电站设计年发电量1300万千瓦时，年减排二氧化碳1.17万吨．数据13000000用科学记数法表示为（）

A、 $130 \times 1 0^{5}$ B、 $13 \times 1 0^{6}$ C、 $1.3 \times 1 0^{7}$ D、 $0.13 \times 1 0^{8}$

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①平行六边形的三组主对边分别相等
②平行六边形的三组主对角分别相等
③平行六边形的三条主对角线互相平分

	湖南境内路段	广西境内特定路段	广西境内其他路段
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