相关试卷

1、下列运算中，正确的是（）

A、 $y^{3} \cdot y^{2} = y^{6}$ B、 ${(3 a c)}^{3} = 9 a^{3} c^{3}$ C、 ${(m^{2})}^{3} = m^{5}$ D、 $3 n^{2} + 2 n^{2} = 5 n^{2}$

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2、心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟，学生的注意力随教师讲课时间的变化而变化．学生的注意力指数y随时间x（分）的变化规律如图所示（其中AB、BC为线段，CD为双曲线的一部分）．
（1）上课后的第5分钟与第30分钟相比较，_______分钟时学生的注意力更集中．
（2）分别求出线段AB和双曲线CD的函数关系式．
（3）一道数学题，需要讲18分钟，为了学生听课效果较好，要求学生的注意力指数不低于40，那么经过适当的时间安排，教师能否在学生注意力达到所需状态下讲完这道题？

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3、超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
v（千米/小时）
60
75
80
90
t（小时）
5.00
4.00
3.75
$\frac{10}{3}$

(1)、根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；

(2)、汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．

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4、填表并在同一坐标系中画出函数 $y = - 3 x + 3$ 和函数 $y = \frac{3}{2} x - 6$ 的图象．
x

0
1
4

$y = - 3 x + 3$

$y = \frac{3}{2} x - 6$

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5、计算： $\sqrt{9} - 4 \times {(\frac{1}{2})}^{- 2} + |- 5| + {(π - 3)}^{0}$ ．

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6、符号“ $|_{c}^{a} {}_{d}^{b}|$ ”称为二阶行列式，规定它的运算法则为： $|\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}| = a d - b c$ ，请你根据上述规定求出下列等式中x的值．若 $|\begin{matrix} 2 & 1 \\ \frac{1}{1 - x} & \frac{1}{x - 1} \end{matrix}| = 1$ ，那么 $x =$ ．

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7、若函数 $y = (a + 3) x + a^{2} - 9$ 是正比例函数，则 $a =$ ．

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8、若分式 $\frac{|x| - 2}{x - 2}$ 的值为0，则 $x$ 的值为．

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9、密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位： $m^{3}$ ）发生变化时，气体的密度ρ（单位： ${kg/m}^{3}$ ）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，其图象如图所示，当 $V = 5$ 时， $ρ = 1.98$ ．观察图象，下列说法不正确的是（）

A、ρ与V的函数关系式是 $ρ = \frac{9.9}{V} (V > 0)$ B、当 $ρ = 9$ 时， $V = 1.1$ C、当 $ρ > 1.98$ 时， $V > 5$ D、当 $3 < V < 9$ 时，ρ的变化范围是 $1.1 < ρ < 3.3$

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10、A、B两市相距200千米，甲车从A市到B市，乙车从B市到A市，两车同时出发，已知甲车速度比乙车速度快15千米/小时，且甲车比乙车早半小时到达目的地．若设乙车的速度是x千米/小时，则根据题意，可列方程为（）

A、 $\frac{200}{x + 15} - \frac{200}{x} = \frac{1}{2}$ B、 $\frac{200}{x} - \frac{200}{x + 15} = \frac{1}{2}$ C、 $\frac{200}{x - 15} - \frac{200}{x} = \frac{1}{2}$ D、 $\frac{200}{x} - \frac{200}{x - 15} = \frac{1}{2}$

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11、如图，已知一次函数 $y = a x + b$ 和 $y = k x$ 的图象交于点P，则根据图象可得关于x，y的二元一次方程组 $\{\begin{array}{l} y = a x + b \\ y = k x \end{array}$ 的解是（）

A、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = - 1 \end{array}$ B、 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = - 1 \end{array}$ C、 $\{\begin{array}{l} x = - 3 \\ y = 1 \end{array}$ D、 $\{\begin{array}{l} x = 3 \\ y = 1 \end{array}$

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12、已知反比例函数y= $\frac{k^{2} + 1}{x}$ 的图上象有三个点（2， $y_{1}$ ）， (3， $y_{2}$ )，( $- 1$ ， $y_{3}$ )，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1}$ ＞ $y_{2}$ ＞ $y_{3}$ B、 $y_{2}$ ＞ $y_{1}$ ＞ $y_{3}$ C、 $y_{3}$ ＞ $y_{1}$ ＞ $y_{2}$ D、 $y_{3}$ ＞ $y_{2}$ ＞ $y_{1}$

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13、在双曲线 $y = - \frac{2}{x}$ 上的点是（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(- 1, - 2)$ C、 $(- 2, 1)$ D、 $(- 4, 2)$

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14、点 $P (3, - 4)$ 关于原点对称的点的坐标是（）

A、 $(- 3, - 4)$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $(3, 4)$ D、 $(- 4, 3)$

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15、下列计算正确的是（）

A、 $\frac{x^{3}}{x} = x$ B、 $\frac{a + 1}{b + 1} = \frac{a}{b}$ C、 $2 \div 2^{- 1} = - 1$ D、 $a^{- 3} = {(a^{3})}^{- 1}$

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16、下列计算正确的是（）

A、 $2^{- 2} = - 4$ B、 $2^{- 2} = 4$ C、 $2^{- 2} = - \frac{1}{4}$ D、 $2^{- 2} = \frac{1}{4}$

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17、下列各式中，属于分式的个数有( )
① $\frac{1}{x}$ ；②－ $\frac{x}{2}$ ；③ $\frac{2 x y}{x + y}$ ；④ $\frac{2 x - x}{3}$ ；⑤ $\frac{1}{4}$ (x²＋1)．

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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18、
通过旋转将具有特殊数量关系的角组合到一起，转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，这是一种常见的解决问题的思路．
（1）如图1，在等腰直角 $△ B A C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，当 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{2} ∠ B A C = 45 °$ 时，可通过旋转将 $∠ B A D$ 和 $∠ E A C$ 这两个角组合到一起，再进一步得到对称全等的三角形，可得出图1中线段 $B D$ ， $D E$ ， $C E$ 之间的数量关系为___________（直接填写结果）．
【触类旁通】小张思考，若 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{3} ∠ B A C$ 时，有什么有趣的结论呢？
（2）如图2，在等腰直角 $△ B A C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，当 $∠ B A D + ∠ E A C = \frac{1}{3} ∠ B A C = 30 ° . A F$ 平分 $∠ D A E$ 且 $A F = A E$ ．请求出此时 $B D$ ， $C E$ ， $D F$ 之间的数量关系．
【举一反三】
（3）如图3， $∠ B A C = 135 °, A B = A C, ∠ B A D + ∠ E A C = 45 °, B D = 4, C E = \sqrt{2}$ ．将线段 $A E$ 绕点 $A$ 顺时针旋转 $45 °$ 得线段 $A F$ ，连接 $D F$ ．求 $D F$ 的长度．

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19、
【教材呈现】：
已知 $M$ 是含字母 $x$ 的单项式，要使多项式 $4 x^{2} + M + 1$ 是某个多项式的平方，求 $M$ ．
【自主解答】解：根据两个数和或差的平方公式，分两种情况：
当 $M$ 为含字母 $x$ 的一次单项式时，原式可以表示为关于 $x$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = {(2 x)}^{2} + M + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}, ∴ M = \pm 2 \times 2 x \cdot 1 = \pm 4 x$ ；
当 $M$ 为含字母 $x$ 的四次单项式时，原式可以表示为关于 $x^{2}$ 的二项式的平方，
$∵ 4 x^{2} + M + 1 = M + 2 \times 2 x^{2} \cdot 1 + 1^{2} = {(2 x^{2} + 1)}^{2}, ∴ M = 4 x^{4}$ ．
综上所述， $M$ 为 $4 x$ 或 $- 4 x$ 或 $4 x^{4}$ ．
【解后反思】
①上述解答过程得到等式： $4 x^{2} \pm 4 x + 1 = {(2 x \pm 1)}^{2}; 4 x^{4} + 4 x^{2} + 1 = {(2 x^{2} + 1)}^{2}$ ，
观察等式左边多项式的系数发现： ${(\pm 4)}^{2} = 4 \times 4 \times 1$ ．
②结合多项式的因式分解又如：
$16 x^{2} + 24 x + 9 = {(4 x + 3)}^{2}; 9 x^{2} - 12 x + 4 = {(3 x - 2)}^{2}$ ，
发现这两个多项式的系数规律： $24^{2} = 4 \times 16 \times 9, {(- 12)}^{2} = 4 \times 9 \times 4$ ．
③一般地：若关于 $x$ 的二次三项式 $a x^{2} + b x + c$ （a、b、c是常数）是某个含 $x$ 的二项式的平方，则其系数a、b、c一定存在某种关系．
（1）请你写出系数a、b、c之间存在的这种关系式：___________；
【解决问题】
（2）若多项式 $9 y^{2} + 4$ 加上一个含字母 $y$ 的单项式 $N$ ，就能表示为一个含 $y$ 的二项式的平方，请写出所有满足条件的单项式 $N$ ，并对 $9 y^{2} + 4 + N$ 进行因式分解；
（3）若关于 $x$ 的多项式 $x^{2} - 2 (m - 3) x + (m^{2} + 3 m)$ 是一个含 $x$ 的多项式的平方，求实数 $m$ 的值．

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20、综合与实践

主题	2026年深圳APEC峰会科技设备购买方案
信息1	为保障2026年深圳APEC峰会智能会务服务，需采购AI翻译终端和智能签到终端．已知AI翻译终端单价是智能签到终端的2倍，用1200元购买智能签到终端的数量比用1600元购买AI翻译终端的数量多10台．
信息2	某会务保障组计划花费2440元采购这两款终端，两款终端的采购数量共40台．
信息3	采购完成后，设备供应商赠送n张（ $6 \leq n \leq 9$ 且n为正整数）兑换券，每张兑换券可换取AI翻译终端1台或智能签到终端2台，换取后两款终端的总数量将达到相等，且换取的设备总费用不超过1000元．

(1)、探求设备单价：请运用适当的方法，求出AI翻译终端与智能签到终端的单价．

(2)、计算采购数量：购买AI翻译终端___________台，购买智能签到终端___________台．（直接填写结果）

(3)、确定换取方案：结合信息3，运用数学知识，确定符合条件的一种换取方案．

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v（千米/小时）	60	75	80	90
t（小时）	5.00	4.00	3.75	$\frac{10}{3}$

x	0	1	4
$y = - 3 x + 3$
$y = \frac{3}{2} x - 6$