相关试卷

1、如图1，在 $Rt △ A B C$ 中， $A B = A C$ ，点D为 $A B$ 边的中点， $D E ∥ B C$ 交 $A C$ 于点E．点F为线段 $D E$ 上一点，连接 $A F$ ， $B F$ ，将线段 $A F$ 绕点A逆时针旋转 $90 °$ 至 $A G$ ，连接 $C G$ ．

(1)、求证： $△ A B F ≌ △ A C G$ ；

(2)、若 $D F = a$ ， $E F = b$ ．
①如图2，连接 $F G$ 交 $A C$ 于H，当 $△ A G H$ 与 $△ A F H$ 的面积之比是 $3 : 2$ ，求 $\frac{b}{a}$ 的值；
②如图3，延长 $D E$ 交 $G C$ 于点M，当 $A F ∥ G C$ 时，试求出 $∠ G A C$ 的度数及 $△ G F M$ 的面积（注意：面积用含a，b的代数式表示）．

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2、数形结合思想是初中数学学习中很重要的一种思维方法，“数”的精准描述与“形”的直观刻画，使代数问题与几何问题可以相互转化．例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式．

(1)、如图（1），一个边长为a的大正方形被分割成两个较小的正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为________；

(2)、若x满足 ${(2026 - x)}^{2} + {(x - 2023)}^{2} = 5$ ，求 $(2026 - x) (4046 - 2 x)$ 的值；

(3)、如图（2），已知正方形 $A B C D$ 的边长为x，G，E分别是 $A B$ 、 $B C$ 上的点，且 $A G = 1$ ， $C E = 3$ ，若长方形 $G F E B$ 的面积为48，以线段 $E F$ 和线段 $B E$ 为边分别作正方形 $M N E F$ 与正方形 $B E H P$ ，求图中阴影部分面积．

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3、配方法是数学中重要的一种思想方法．它是指将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．这种方法常被用到代数式的变形，并结合非负数的意义来解决问题．
例如 $x^{2} + 4 x + 6 = (x^{2} + 4 x + 4) + 2 = {(x + 2)}^{2} + 2$ ．可知当 ${(x + 2)}^{2} = 0$ ，即 $x = - 2$ 时， $x^{2} + 4 x + 6$ 有最小值，最小值是2．
根据阅读材料，解决下列问题：

(1)、代数式 $x^{2} - 4 x - 7$ 的最小值为________；

(2)、已知 $△ A B C$ 的三边长a，b，c，且满足 $a^{2} + b^{2} - 6 a - 10 b + 34 = 0$ ，求边c的取值范围；

(3)、已知 $P = 3 m^{2} + 4 n + 19$ ， $Q = m^{2} - n^{2} + 12 m - 4$ ，试比较P，Q的大小．

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4、定义：若一个两位数k，满足 $k = m^{2} + m n + n^{2}$ （m，n为正整数），则称该两位数k为“近似完全平方数”，记 $S_{(k)} = m + n$ ．例如： $39 = 2^{2} + 2 \times 5 + 5^{2}$ ，则39是一个“近似完全平方数”，且 $S_{(39)} = 2 + 5 = 7$ ．若两位数k是最小的“近似完全平方数”，则k的值为 $___________$ ；若两位数k是“近似完全平方数”且满足 $S_{(k)} = \frac{k + 35}{12}$ ，则k的最大值为．

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5、如图，一副直角三角板（ $∠ A B C = 45 °$ ， $∠ E F D = 60 °$ ）的斜边分别与直线 $a$ 、 $b$ 重合，且 $a ∥ b$ ，将 $△ A B C$ 、 $△ D E F$ 分别绕点 $B$ 、点 $E$ 以每秒 $4$ 度和每秒 $2$ 度的速度同时逆时针旋转， $△ A B C$ 转动一周回到初始位置时，两块三角板同时停止转动，设时间为 $t$ 秒，当 $A C$ 与 $△ D E F$ 的一边平行时， $t$ 的值为．

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6、如图，D是等边 $△ A B C$ 内一点，连接 $A D ， B D ， C D$ ，以 $A D$ 为边作等边 $△ A D E$ ，使得点E在直线 $A C$ 的右侧，若 $∠ A D B = x °$ ， $∠ B D C = y °$ ，且 $△ C D E$ 是以 $D E$ 为腰的等腰三角形，则x与y的关系是．

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7、如图，将 $△ A B C$ 的边 $A B, B C, C A$ 分别延长至点D，E，F，使得 $A B = B D$ ， $B C = C E$ ， $C A = A F$ ，再连接 $D E, E F, F D$ ．现随机向 $△ D E F$ 内投掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率是．

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8、已知 $x + 2 y + 2 = 0$ ，则 $3^{x} \cdot 9^{y} =$ ．

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9、如图，已知 $△ A B C$ ，点D为 $B C$ 边上一点，点E为 $△ A B C$ 外一点，连接 $A E$ 交 $B C$ 于点F，连接 $A D$ ， $D E$ ，有 $∠ B = ∠ E = 40 °$ ， $∠ B A E = 60 °$ ，且 $∠ A D C = 70 °$ ．

(1)、求证： $B D = D E$ ；

(2)、若 $A B = C D$ ，求 $∠ A C D$ 的大小．

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10、如图所示的程序是一个数值转换程序，其中输入x的值满足 $- 3 \leq x \leq 4$ ．

(1)、若输入x的值为 $- 1$ ，求输出的结果为多少；

(2)、事件“输入任一符合条件的x，则输出的结果不小于1”是一个________事件（填随机或必然）；

(3)、若所输入的值是满足条件的整数，求输出结果为2的概率．

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11、先化简，再求值： $[{(x + 2 y)}^{2} - 2 (x + y) (x - y) + x (x - 2 y)] \div (- \frac{1}{3} y)$ ，其中x，y满足 ${(x + 1)}^{2} + | y - 2 | = 0$ ．

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12、计算下列各题

(1)、 $- 1^{2026} + {(π - 3)}^{0} - {(- \frac{1}{3})}^{2} + |- 2|$ ；

(2)、 ${(x + 3)}^{2} - (x - 2) (x - 3)$ ．

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13、若代数式 $x^{2} - k x + 9$ 是一个完全平方式，则实数 $k =$ ．

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14、有如图所示的正方形和长方形卡片若干张，若要拼成一个长为 $2 a + b$ 、宽为 $a + 3 b$ 的长方形，需要B类卡片张．

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15、如图，太阳能热水器的支架形状通常为三角形，其中蕴含的数学原理是．

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16、如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心 $O$ 的光线相交于点 $P$ ，点 $F$ 为该凸透镜的焦点．若 $∠ 2 = 25 °$ ， $∠ 3 = 60 °$ ，则 $∠ 1$ 的度数为（）

A、 $125 °$ B、 $130 °$ C、 $135 °$ D、 $145 °$

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17、下列结论正确的是（）

A、两直线被第三条直线所截，同位角相等 B、过一点有且只有一条直线与这条直线平行 C、直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 D、两直角边分别相等的两直角三角形全等

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18、在下列条件中，不能确定 $△ A B C$ 是直角三角形的条件是（）

A、 $∠ A = ∠ B - ∠ C$ B、 $∠ A - ∠ B = 90 °$ C、 $∠ A : ∠ B : ∠ C = 2 : 3 : 5$ D、 $∠ A = \frac{1}{2} ∠ B = \frac{1}{3} ∠ C$

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19、如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 5$ ，点P是边 $B C$ 上的动点，则 $A P$ 长不可能是（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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20、下列成语所反映的事件中，可能性大小最小的事件是（）

A、水中捞月 B、一箭双雕 C、旭日东升 D、绳锯木断

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