相关试卷

1、下列计算正确的是（）

A、 $4 x^{2} - 2 x^{2} = 2$ B、 $(x + 2 y) (x - 2 y) = x^{2} - 4 y^{2}$ C、 ${(- 2 a^{3})}^{3} = - 8 a^{6}$ D、 $(a + b)^{2} = a^{2} + b^{2}$

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2、不等式 $6 x - 1 \geq 8 x - 5$ 的解集在数轴上表示正确的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知点 $S (a, b)$ ，对于点 $T$ 给出如下定义：先将点 $T$ 向上（当 $b \geq 0$ 时）或向下（当 $b < 0$ 时）平移 $|b|$ 个单位长度，再关于直线 $x = a$ 对称，得到点 $T^{'}$ ，则称点 $T^{'}$ 为点 $T$ 的“ $S -$ 制导点”．

(1)、如图1，点 $T$ 坐标为 $(- 3, 2)$ ．
①当点 $S (1, 2)$ 时，点 $T$ 的“ $S -$ 制导点” $T^{'}$ 的坐标为_____________；
②若点 $T^{'} (2, - 1)$ 为点 $T$ 的“ $S -$ 制导点”，则点 $S$ 的坐标为_____________．

(2)、如图2，点 $A (0, 2)$ ， $B (0, - 2)$ ， $C (1, 0)$ ，点 $S$ 在 $△ A B C$ 边上，点 $T (0, 4)$ ．若直线 $y = \frac{1}{2} x + m$ 上存在点 $T$ 的“ $S -$ 制导点”，求 $m$ 的取值范围；

(3)、如图3，点 $F (- n, n)$ ， $G (- n, - n)$ ， $H (n, - n)$ ， $I (n, n)$ ，其中 $n > 0$ ，点 $S$ 在正方形 $F G H I$ 边上，点 $M (- 5, 4)$ ， $N (- 4, 5)$ ．若线段 $M N$ 上存在点 $T (0, 2 n)$ 的“ $S -$ 制导点”，直接写出 $n$ 的取值范围_____________．

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4、如图1，矩形 $A B C D$ 中， $A B = 6, A D = 8$ ，点P在边 $B C$ 上，且不与点B、C重合，直线 $A P$ 与 $D C$ 的延长线交于点E．

(1)、当点P是 $B C$ 的中点时，求证： $△ A B P ≌ △ E C P$ ；

(2)、将 $△ A P B$ 沿直线 $A P$ 折叠得到 $△ A P B^{'}$ ，点 $B^{'}$ 落在矩形 $A B C D$ 的内部，延长 $P B^{'}$ 交直线 $A D$ 于点F．
①证明 $F A = F P$ ，并求出在（1）条件下 $A F$ 的值；
②连接 $B^{'} C$ ，求 $△ P C B^{'}$ 周长的最小值；
③如图2， $B B^{'}$ 交 $A E$ 于点H，点G是 $A E$ 的中点，当 $∠ E A B^{'} = 2 ∠ A E B^{'}$ 时，请判断 $A B$ 与 $H G$ 的数量关系，并说明理由．

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5、造纸厂只生产面积为 $1 m^{2}$ 的长方形纸张，称为 $A 0$ 纸，其他纸张都在 $A 0$ 纸的基础上裁剪获得，这是全球最广泛使用的纸张规格体系，叫 $ISO216$ 标准．如图 $1$ ，我们把 $A 0$ 纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张 $A1$ ，把 $A1$ 纸沿其长边中点所在直线裁剪，得到新的纸张 $A2$ ，由此方法我们可以得到 $A$ 系列纸张 $A1$ 、 $A2$ 、 $A3$ 、 $A4$ ， $\dots$
查阅资料知 $A$ 系列纸张的规格如下：
规格
$A0$
$A1$
$A2$
$A3$
$A4$
长（ $mm$ ）
$1189$
$841$
$594$
$420$
$297$
宽（ $mm$ ）
$841$
$594$
$420$
$297$
$210$
长与宽的比值
$1.41$
$1.41$
$m$
$1.41$
$n$

(1)、根据表格数据直接写出 $A2$ 、 $A4$ 纸的长与宽之比： $m =$ ___________， $n =$ ___________（结果保留两位小数）；

(2)、求证： $A0$ 纸的长与宽的比值等于一个固定的无理数；

(3)、如图 $2$ ，已知长方形 $A B C D$ 的长与宽之比为（ $2$ ）中所证明的无理数，点 $E$ 、 $F$ 分别为边 $A D$ 、 $C D$ 的中点，请判断 $△ B E F$ 的形状，并说明理由．

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6、综合与实践．
我们研究一个新函数，一般从定义、图象、性质等方面进行．函数图象的性质一般包括函数图象的对称性、自变量、函数图象的增减性、函数图象的最值等．由此方法我们来探究 $y = \sqrt{x + 2}$ 的图像和性质．

(1)、函数 $y = \sqrt{x + 2}$ 自变量 $x$ 的取值范围是____________；

(2)、①函数 $y = \sqrt{x + 2}$ 中 $x$ 、 $y$ 部分对应值如表，其中 $a =$ ____________；
$x$
$- 2$
$- 1$
0
1
2
3
…
$y = \sqrt{x + 2}$
0
1
$a$
$\sqrt{3}$
2
$\sqrt{5}$
…
②在平面直角坐标系中描点，并画出函数图象；

(3)、结合函数图象，任意写出函数图象的一条性质：____________；

(4)、已知直线 $l : y = - x + b$ ，若直线 $l$ 的图像与函数 $y = \sqrt{x + 2}$ 的图像有交点，直接写出 $b$ 的取值范围为____________．

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7、如图，在平面直角坐标系中，一次函数 $y = k x + b$ 的图像与坐标轴分别交于 $A$ ， $B$ 两点，已知 $A (- 2, 0)$ ，且 $2 O B = 5 O A$ ．

(1)、求一次函数的表达式；

(2)、当 $x$ 轴上有一点 $C$ ，使得 $△ A B C$ 的面积为10，求点 $C$ 的坐标．

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8、如图，在四边形 $A B C D$ 中，点 $E$ ， $F$ 分别在边 $B C$ ， $C D$ 上，连接 $A E$ ， $A F$ ，已知 $△ A B E ≌ △ A D F$ ．条件：① $∠ B A D = ∠ B C D$ ；② $A B = C D$ ；③ $A D ∥ B C$ ．
请你从以上三个条件中任选一个条件：___________（填写条件序号），证明四边形 $A B C D$ 是菱形，

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9、如图，某人从 $A$ 地到 $B$ 地共有三条路可选，第一条路是从 $A$ 到 $B$ ， $A B$ 为10米，第二条路是从 $A$ 经过 $C$ 到达 $B$ 地， $A C$ 为8米， $B C$ 为6米，第三条路是从 $A$ 经过 $D$ 地到 $B$ 地共行走26米，若 $C$ 、 $B$ 、 $D$ 刚好在一条直线上，求 $B D$ 的长．

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10、已知 $x = 3 \sqrt{2} + \sqrt{5}$ ， $y = 3 \sqrt{2} - \sqrt{5}$ ．

(1)、 $x + y =$ _____________， $x y =$ _____________．

(2)、求代数式 $x^{2} - x y + y^{2}$ 的值．

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11、已知点 $(k, b)$ 为第一象限内的点，则一次函数 $y = k x + b$ 的图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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12、实数a，b在数轴上的位置如图所示，那么化简 $b - \sqrt{a^{2}}$ 的结果是（　　）

A、 $- a - b$ B、 $a - b$ C、 $b - a$ D、 $b + a$

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13、下列命题正确的是（）

A、对角线垂直、相等且互相平分的四边形是正方形 B、对角线相等的四边形是平行四边形 C、对角线相等且互相平分的四边形是菱形 D、对角线垂直且互相平分的四边形是矩形

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14、如图，在平行四边形 $A B C D$ 中， $∠ A = 60 °$ ，则 $∠ C$ 的度数为（）

A、 $50 °$ B、 $60 °$ C、 $70 °$ D、 $120 °$

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15、如图1所示， $A B ∥ C D$ ，点E是两平行线内部一点， $E F$ 交直线 $C D$ 于点F，且 $∠ E = 90 °$ ；

(1)、求 $∠ 1$ 和 $∠ 2$ 的数量关系．

(2)、若其他条件不变，点E在 $A B$ 上方(如图2)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释．

(3)、若其他条件不变，点E在 $A B$ 下方(如图3)，则（1）中的关系是否还成立？若成立，说明理由，若不成立，请写出正确的数量关系并解释．

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16、推理填空：如图，在 $△ A B C$ 中， $C D ⊥ A B$ 于点 $D$ ， $F G ⊥ A B$ 于点 $G$ ， $E D ∥ B C$ ．求证： $∠ 1 = ∠ 2$ ．
证明：∵ $C D ⊥ A B$ ， $F G ⊥ A B$ （已知），
∴ $∠ C D B = ∠ F G B = 90 °$ ，
∴ $C D ∥ F G$ （①                              ），
∴②                $= ∠ 3$ （③                              ），
又∵ $D E ∥ B C$ （已知），
∴④                $= ∠ 3$ （⑤                              ），
∴ $∠ 1 = ∠ 2$ ．

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17、如图，在边长均为 $1$ 个单位的正方形网格图中，建立了直角坐标系 $x O y$ ，按要求解答下列问题：

(1)、写出 $△ A B C$ 三个顶点的坐标；

(2)、画出 $△ A B C$ 向右平移 $6$ 个单位，再向下平移 $2$ 个单位后的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ；

(3)、求 $△ A B C$ 的面积．

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18、解方程

(1)、 $x^{2} - 25 = 56$ ；

(2)、 ${(x + 2)}^{3} = 64$ ．

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19、计算：

(1)、 $- 2 \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}$ ；

(2)、 $2 (\sqrt{5} - 2) + \sqrt{25} - \sqrt[3]{27}$ ．

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20、如果 $\sqrt{a - 1} + |b + 2| = 0$ ，那么 ${(a + b)}^{2025}$ 的值为．

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