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1、幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”.把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方.图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则
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2、如图，平行四边形ABCD的顶点均在格点上，找到格点P，使BP平分∠ABC.
画法1：在AD边上找到格点P，使AP=AB.
画法2：在BC边上找到格点E，使BE=AB，连结AE，找到格点P.
(1)、请根据上述画法分别在图①和图②中标出格点P，连结BP；(2)、从两种画法中选择一种，证明BP平分∠ABC. -
3、图①②都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段AB的端点在格点上，分别按要求画出图形：
(1)、在图①中画出两个以AB为斜边的直角三角形ABC，且点C在格点上；(2)、在图②中画出一个以AB为对角线的菱形ADBE，且点D，E在格点上. -
4、如图，△ABC的顶点都在正方形网格的格点（图中网格线的交点）上，每个小正方形的边长均为1.请借助网格和无刻度的直尺按要求作图：
(1)、在图①中，作出△ABC的中线CD；(2)、在图②中，作出△ABC的重心，记为点O. -
5、如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.请按要求完成作图：①仅用无刻度的直尺；②保留作图痕迹并标注相关字母.
(1)、如图①，在△ABC内寻找格点P，使得∠BPC=2∠A；(2)、如图②，在线段AC上找一点Q，使得AQ：CQ=1：2；(3)、如图③，在△ABC的边AC上找出中点G，并过点G作AC的垂线. -
6、仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法：
(1)、如图①，在4×4的正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC=AB；(2)、如图②，在4×4的正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）；(3)、如图③，在▱ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）. -
7、小宁同学按如下步骤作四边形ABCD：①作∠MAN；②以点A为圆心，3cm长为半径作弧，分别交AM，AN于点B，D；③分别以点B，D为圆心，3cm长为半径作弧，两弧交于点C；④连结BC，DC.
(1)、求证：四边形ABCD是菱形；(2)、连结BD，若BD=2cm，求四边形ABCD的面积. -
8、小红和小明一起研究一个尺规作图问题：
如图①，在□ABCD中，AB<BC，∠B=66°.用直尺和圆规作∠ECB=66°，E是边AD上一点.
小红：如图②，以点C为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连结CE，则∠ECB=66°.
小明：如图③，以点D为圆心，CD长为半径作弧，交边AD于点E，连结CE，则∠ECB=66°.
(1)、填空：判断他们的作图方法是否正确：（填“正确”或“错误”）①小红的作法；
②小明的作法.
(2)、请从（1）中任选一项判断，说明理由.（要求：写出推理过程） -
9、小明研究一道尺规作图题：作△ABC的边BC上的高线.他的作法如下：如图，在△ABC中，AB>AC，以点A为圆心，AC为半径作弧交BC于点D，再分别以点C，D为圆心，大于CD的长度为半径作弧，两弧交于点E，连结AE交BC于点F，则AF为BC边上的高线.
(1)、你是否同意小明的作法?若同意，请给出证明；若不同意，请说明理由.(2)、若 ， 求△ABC的面积. -
10、尺规作图问题：
如图①，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD.
(1)、如图②，根据作图痕迹，判定四边形AB-CD为平行四边形的依据是什么?(2)、在图①中，请你再作一个平行四边形AB-CD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）. -
11、如图，BD是矩形ABCD的对角线，请按以下要求解决问题：
(1)、利用尺规作△BED，使△BED与△BCD关于直线BD成轴对称（不写作法，保留作图痕迹）；(2)、在（1）的条件下，若BE交AD于点F，AB=1，BC=2，求AF的长. -
12、尺规作图问题：
如图，在□ABCD中，P是对角线BD上一点（BP<PD），连结AP，请按要求解决下列问题：
(1)、用无刻度的直尺和圆规在对角线BD上求作点Q，连结CQ，使得CQ//AP；（保留作图痕迹，不必写作法）(2)、依据你的作图，请说明CQ//AP成立的理由。（要求写出推理过程） -
13、【学习心得】学习完《圆的基本性质》这一章内容后，有一些几何问题，如果添加辅助圆，可以变得很容易.我们把这个过程称为“化隐圆为显圆”.这类题目主要是两种类型.
(1)、①类型一，“定点+定长”.如图①，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一点，且AD=AC，则∠BDC的度数为.②类型二，“定角+定弦”.如图②，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=12，BC=8，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB=∠PBC，求线段CP长的最小值.
解：∵∠ABC=90°，
∴∠ABP+∠PBC=90°.
∵∠PAB=∠PBC，∴∠BAP+∠ABP=90°，∴∠APB= ， （定角）
∴点P在以AB（定弦）为直径的⊙O上.易求得CP长的最小值为.
(2)、【问题解决】如图③，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是边BC上一动点（点P不与点B，C重合），连结AP，作点B关于直线AP的对称点M，则线段MC长的最小值为.
(3)、【问题拓展】如图④，在正方形ABCD中，AD=10，动点E，F分别在边DC，CB上移动，且满足DE=CF，连结AE，DF，交于点P.
①请你写出AE与DF的数量关系和位置关系，并说明理由；
②当点E从点D开始运动到点C时，点P也随之运动，请求出点P的运动路径长.
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14、如图，在四边形AB-CD中，∠ABC=∠ADC=90°，对角线AC和BD交于点E.若AE=4，CE=2，则BD长的最小值为（ ）
A、6 B、 C、4 D、 -
15、
(1)、如图F12-5，在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△AMN沿MN所在的直线翻折得到△A'MN，连结A'C，则A'C长的最小值为.(2)、如图F12-6，在▱ABCD中，∠C=120°，AB=8，BC=10，E为边CD的中点，F为边AD上一动点，将△DEF沿EF翻折得△D'EF，连结AD'，BD'，则△ABD'面积的最小值为. -
16、如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=30°，BC=2，BC边上有一动点D，作点B关于直线AD的对称点B'，在点D从点B运动到点C的过程中，点B'的运动路径长为.
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17、如图，正方形ABCD的边长为3，将长为的线段QF的两端点放在正方形相邻的两边上同时滑动.如果点Q从点A出发，在AB上滑动，同时点F在BC上滑动，当点F到达点C时，运动停止，那么在这个过程中，线段QF的中点M所经过的路线长为（ ）
A、 B、 C、 D、 -
18、如图，矩形ABCD的对角线交于点O，线段EF不经过点O，且EF∥BC，EF分别与边AB，CD交于点G，H，EG=FH，连结AE.若AD=2，EF=4，点O在线段AE的垂直平分线上，则AG·GB=（ ）
A、2 B、3 C、4 D、5 -
19、综合与实践
【问题情境】下面是某校数学社团在一次折纸活动中的探究过程.
【操作实践】如图①，将矩形纸片AB-CD沿过点C的直线折叠，使点B落在AD边上的点B'处，折痕交AB于点E，再沿着过点B'的直线折叠，使点D落在B'C上的点D'处，折痕交CD于点F.将纸片展平，画出对应点B'，D'及折痕CE，B'F，连结B'E，B'C，D'F.
(1)、【初步猜想】确定CE和B'F的位置关系及线段BE和CF的数量关系.创新小组经过探究，发现CE∥B'F，证明过程如下：
由折叠的性质可知
由矩形的性质，可知AD∥BC，∴∠DB'C=∠BCB'，∴① ， ∴CE∥B'F.
智慧小组先测量BE和CF的长度，猜想其关系为②.
经过探究，发现验证BE和CF数量关系的方法不唯一：
方法一：证明△AB'E≌△D'CF，得到.B'E=CF，再由.B'E=BE可得结论；
方法二：过点B'作AB的平行线交CE于点G，构造□CFB'G，然后证.B'G=B'E可得结论.
请补充上述过程中横线上的内容.
(2)、【推理证明】请你结合智慧小组的探究思路，选择一种方法验证BE和CF的数量关系，写出证明过程.(3)、【尝试运用】如图②，在矩形ABCD中，AB=6，按上述操作折叠并展开后，过点B'作B'G∥AB交CE于点G，连结D'G，当△B'D'G为直角三角形时，求BE的长. -
20、【问题提出】如图，折叠矩形纸片ABCD，使得点B与点A重合，则折痕与边AB，CD的交点E，F将这组对边两等分.如何将矩形纸片的边三等分呢?
【问题思考】如图，将矩形纸片分别沿AC，BF折叠后展平，折痕交于点P.
(1)、求证：(2)、将矩形纸片ABCD折叠，折痕过点P，折痕交CD于点G，且（要求：在图中画出折痕）.