初中数学湘教版（2024）-试题列表-第1077页

1、若把转盘按逆时针方向转3圈记为+3圈，则转盘按顺时针方向转5圈可记为圈。

2、规定零上的气温为正，若某市12月份的平均气温是零下5℃，则可记为℃。

3、下列各数中，属于负整数的是( )

A、-20 B、

- \frac{1}{2}

C、-π D、-(-2)

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4、综合与实践

从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究.

特例研究

如图①，在正方形ABCD中，AC，BD相交于点O.

(1)、△ADC可以看成是由△AOB绕点A逆时针旋转并放大为原来的k倍得到的，此时旋转角的度数为， k的值为；

(2)、如图②，将△AOB绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上，求

\frac{B F}{O E}

的值；

(3)、类比探究

如图③，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，O是AB的垂直平分线与BD的交点，将 $△ A O B$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到△AEF（点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在OD上，点F落在BC上.猜想 $\frac{B F}{O E}$ 的值是否与a有关，并说明理由；

(4)、若将（3）中“∠ABC=60°”改为“

∠ A B C = β ",

，其余条件不变，探究BA，BE，BF之间的数量关系（用含β的式子表示）.

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5、综合与实践

问题情境：青蛙腾空阶段的运动路线可看作抛物线.我国某科研团队根据青蛙的生物特征和运动机理设计出了仿青蛙机器人，其起跳后的运动路线与实际情况中青蛙腾空阶段的运动路线相吻合.

实验数据：仿青蛙机器人从水平地面起跳，并落在水平地面上，其运动路线的最高点距地面60 cm，起跳点与落地点的距离为160cm.

数学建模：如图①，将仿青蛙机器人的运动路线抽象为抛物线，其顶点为N，对称轴为直线l，仿青蛙机器人在水平地面上的起跳点为O，落地点为M.以O为原点，OM所在直线为x轴，过点O与OM所在水平地面垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系.

(1)、请直接写出顶点N的坐标，并求该抛物线的函数表达式；

(2)、问题解决：已知仿青蛙机器人起跳后的运动路线形状保持不变，即抛物线的形状不变.
如图①，若仿青蛙机器人从点O正上方的点P处起跳，落地点为Q，点P的坐标为（0，75），点Q在x轴的正半轴上，求起跳点P与落地点Q的水平距离OQ的长；

(3)、实验表明：仿青蛙机器人在跃过障碍物时，与障碍物上表面的每个点在竖直方向上的距离不少于3cm，才能安全通过.如图②，水平地面上有一个障碍物，其纵切面为四边形ABCD，其中∠ABC=∠BCD=90°，AB=57cm，BC=40cm，CD=48cm.仿青蛙机器人从距离AB左侧80cm处的地面起跳，发现不能安全通过该障碍物.若团队人员在起跳处放置一个平台，仿青蛙机器人从平台上起跳，则刚好安全通过该障碍物.请直接写出该平台的高度（平台的大小忽略不计，障碍物的纵切面与仿青蛙机器人的运动路线在同一竖直平面内）.

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6、综合与实践

在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法.

【实践活动】①，小明、小亮分别在点B，C处同时测得热气球A的仰角∠ABD=45°，∠ACD=53°，BC=15m，点B，C，D在地面的同一条直线上，AD⊥BD于点D.（测角仪的高度忽略不计）

(1)、【问题解决】计算热气球离地面的高度AD；（参考数据：

s i n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{5}, c o s 5 3^{\circ} \approx \frac{3}{5}, t a n 5 3^{\circ} \approx \frac{4}{3}

）

(2)、【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中的测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案.

爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高.根据他的想法与思路，完成以下填空：

如图②，在锐角三角形ABC中，设 $∠ A B C = α, ∠ A C B = β, B C = m, A D ⊥ B C$ C于点D，用含α，β和m的代数式表示AD.

解：设AD=x.

$∵ t a n α = \frac{A D}{B D} = \frac{x}{B D}, ∴ B D = \frac{x}{t a n α} .$

$∵ t a n β = \frac{A D}{C D} = \frac{x}{C D}, ∴ C D =$ ①.

∵BC=BD+CD=m，解得x=② ，即可求得AD的长.

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7、【知识链接】

实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关

实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化.（溢水杯的杯底厚度忽略不计）

实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的密度有关.物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大.

总结公式：当小铝块位于液面上方时， $F_{拉力形} = G_{\pm};$ 当小铝块浸入液面后，F_拉力=G_重力-F_浮力.

【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数F粒力（N）与小铝块各自下降的高度x（cm）之间的关系如图②所示.

(1)、【解决问题】

当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数；

(2)、当

6 \leq x \leq 10

时，求弹簧测力计A的示数F拉力关于x的函数解析式；

(3)、当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为m（N），若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为m（N），则乙液体中小铝块浸入的深度为n（cm），直接写出m，n的值.

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8、在解决几何问题时，通常我们可以利用平移变换来解决图形中边与角的相关问题.

(1)、【问题情境】

如图Z11-8，在正方形ABCD中，E，F，G分别是边BC，AB，CD上的点，FG⊥AE于点Q，判断线段AE，FG的数量关系，并证明.

(2)、【尝试应用】

如图Z11-9，在正方形网格中，点A，B，C，D均为格点，AB交CD于点O，求tan∠AOC的值.

(3)、【拓展提升】如图Z11-10，P是线段AB上的动点，分别以AP，BP为边在AB的同侧作正方形APCD与正方形PBEF，连结DE，BC，DE与BC，PC分别相交于点M，N.

①求 $∠ D M C$ 的度数；

②连结AC，交DE于点H，求 $\frac{D H}{B C}$ 的值.

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9、在学习特殊的平行四边形时，我们发现正方形的对角线等于其边长的

\sqrt{2}

倍.

某数学兴趣小组以此为方向对菱形的对角线和边长的数量关系进行探究，具体如下：如图.

(1)、∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，

$∴ A B^{2} = A O^{2} + B O^{2} .$

又∵AC=2AO，BD=2BO，

$∴ A B^{2} =$ +.

化简整理，得 $A C^{2} + B D^{2} =$ .

(2)、【类比探究】

如图Z11-6，若四边形ABCD是平行四边形，请说明边长与对角线的数量关系.

(3)、【拓展应用】

如图Z11-7，四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD相交于点O，E为AO的中点，F为BC的中点，连结EF.若AB=8，BD=8，AC=12，直接写出EF的长度.

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10、【教材呈现】现行人教版九年级下册数学教材85页“拓广探索”第14题：

14.如图，在锐角△ABC中，探究 $\frac{a}{s i n A}, \frac{b}{s i n B}, \frac{c}{s i n C}$ 之间的关系.（提示：分别作AB和BC边上的高.）

【得出结论】 $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} .$

(1)、【基础应用】在△ABC中，∠B=75°，∠C=45°，BC=2，利用以上结论求AB的长.

(2)、【推广证明】进一步研究发现，

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C}

不仅在锐角三角形中成立，在任意三角形中均成立，并且还满足

\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} =

2R（R为△ABC外接圆的半径）.

请利用图①证明： $\frac{a}{s i n A} = \frac{b}{s i n B} = \frac{c}{s i n C} = 2 R .$

(3)、【拓展应用】

如图②，在四边形ABCD中，AB=2，BC=3，CD=4，∠B=∠C=90°.求过A，B，D三点的圆的半径.

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11、阅读理解：

对于 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n$ 这类特殊的代数式，可以按下面的方法分解因式：

$x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = x^{3} - n^{2} x - x + n = x （ x^{2} - n^{2} ） - （ x - n ） = x （ x - n ）（ x + n ） - (x - n) = (x - n) (x^{2} + n x - 1) .$

理解运用：

如果 $x^{3} - (n^{2} + 1) x + n = 0,$ 那么 $(x - n) (x^{2} + n x - 1) = 0,$ 即有x-n=0或 $x^{2} + n x - 1 = 0,$ 因此，方程x-n=0和 $x^{2} + n x - 1 = 0$ 的所有解就是方程 $x^{3} - (n^{2} + 1) x +$ n=0的解.