相关试卷

1、“数字人民币”应用场景范围逐步扩大.若转入 6元记作+6元，那么转出 7元记作（ )

A、-7元 B、+7元 C、 $\frac{1}{7}$ 元 D、 $\pm 7$ 元

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2、【旋转构造】

(1)、【问题背景】如图1，P是等边 $△ A B C$ 外一点， $∠ A P B = 3 0^{\circ},$ 则 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2} .$
小明为了证明这个结论，将 $△ P A B$ 绕点A逆时针旋转（ $6 0^{\circ},$ 请根据此思路完成这个证明；

(2)、【迁移应用】如图2，P是等边 $△ A B C$ 内一点，且 $P C^{2} + P B^{2} = P A^{2},$ 则 $∠ B P C =$ .

(3)、【拓展提升】如图3，在等腰直角 $△ A B C$ 中， $B A = B C, ∠ A B C = 9 0^{\circ},$ 点P在 $△ A B C$ 外部，且 $∠ B P C = 4 5^{\circ},$ 若PC=6，求 $△ A P C$ 的面积.

(4)、如图4，在四边形ABCD中， $A D ‖ B C,$ 点 E在四边形ABCD内部，且 $D E = E C, ∠ D E C = 9 0^{\circ},$ $∠ A E B = 13 5^{\circ}, A D = \sqrt{3}, B C = \sqrt{5},$ 求AB的长.

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3、【费马点】

(1)、【问题背景】在已知△ABC所在平面内求一点P ，使它到三角形的三个顶点的距离之和最小（如图1).这个问题是有着“业余数学家之王”美誉的法国律师费马在 1640 年前后向意大利物理学家托里拆利提出的，所求的点被人们称为“费马点”.解决方法如下：
如图2，把△APC绕A 点逆时针旋转60°得到 $△ A P_{1} C_{1}$ （点P 、C的对应点分别为点P₁、C₁)，连接PP₁.当B、P、P₁、C₁四点在同一直线上时，点P是△ABC的“费马点”.
证明过程如下：
由旋转可知 $△ A P C ≅ △ A P_{1} C_{1},$
则 $P_{1} C_{1} = P C, A P = A P_{1},$
$∵ ∠ P A P_{1} =$     ▲    ，
$∴ △ A P P_{1}$ 为等边三角形，
∴    ▲    ，
$P A + P B + P C = P P_{1} + P B + P_{1} C,$
∴当B、P、P₁、C₁四点在同一直线上时， PA+PB+PC的值
最小，即点P 是△ABC的“费马点”.
此时： ∠APB=∠APC=∠BPC=   ▲    .

(2)、【迁移应用】如图3，已知锐角△ABC，分别以AB， AC为边向外作正△ABE和正△ACD，连接CE、BD相交于P点， CE交AB于点M ， BD交AC于点N. 求∠CPD的度数.
（经过一定的证明我们可知：所得点P 也是△ABC的“费马点”)

(3)、【拓展提升】如图4， △ABC中， ∠ABC=60°，点P是△ABC内一点， AB=4， BC=6，求 PA+PB+PC的最小值.

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4、【代数推理】如果一个正整数能表示为两个正整数的平方差，那么称这个正整数为“智慧数”.小华和小明对“智慧数”进行了深入的研究.

(1)、小明的方法是从小到大逐一列举：
3 $= 2^{2} - 1^{2}, 5 = 3^{2} - 2^{2}, 7 = 4^{2} - 3^{2}, 8 = 3^{2} - 1^{2}, 9 = 5^{2} - 4^{2}, 11 = 6^{2} - 5^{2}, \dots$ …
则小明列举的第8个“智慧数”是.

(2)、小华在小明列举的基础上发现：除1外，所有的正奇数都是“智慧数” ，并进行了如下证明：
证明：设k是正整数，
$∵ {(k + 1)}^{2} - k^{2} = (k + 1 + k) (k + 1 - k) = 2 k + 1,$
又∵k是正整数，
∴2k+1为大于或等于3的奇数.
∴除1 外，所有的正奇数都是“智慧数”.
她还发现：除4外，所有能被4整除的正整数都是“智慧数” ，请参考上面的方法进行证明。

(3)、用含有k的式子表示除1、2、4外的其它非“智慧数”：.（k是正整数)

(4)、根据（3）的结论，将所有的“智慧数”从小到大排列，第2025个“智慧数”是多少?

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5、如图，在锐角 $△ A B C$ 中，点E是AB边上一点， $B E = C E, A D ⟂ B C$ 于点D， AD与EC交于点G.

(1)、求证： $△ A E G$ 是等腰三角形.

(2)、若BE=10，CD=3，G为CE中点，求AG的长.

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6、“满筐圆实骊珠滑，入口甘香冰玉寒”，提子是一种甘甜爽口的水果，富含维生素C，深受大家喜爱，某水果超市为了解两种提子市场销售情况，购进了一批数量相等的青提和红提供客户对比品尝，购买2千克红提和5千克青提用了78元，购买3千克红提和4千克青提用了75元.

(1)、求每千克红提和青提进价各是多少元.

(2)、若该水果商城决定再次购买同种红提和青提共40千克，且再次购买的费用不超过450元，且每种提子进价保持不变，若红提的销售单价为13元，青提的销售单价为18元，则该水果超市应如何进货，使得第二批的红提和青提售完后获得利润最大?最大利润是多少?

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7、如图，△ABC的三个顶点都在边长为1的小正方形组成的网格的格点上，以点O为原点建系.

(1)、将△ABC先向上平移5个单位，再向右平移 1 个单位得到△A₁B₁C₁ ，画出△A₁B₁C₁ ，并直接写出A₁的坐标 ▲ ；

(2)、将△A₁B₁C₁绕点（0，-1)顺时针旋转90°得到△A₂B₂C₂ ，画出△A₂B₂C₂；

(3)、 △A₂B₂C₂是由△ABC绕点（写坐标)顺时针旋转度得到的.

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8、解不等式组：

(1)、 $\{\begin{cases} \begin{matrix} 3 x - 2 < 2 x + 2 \end{matrix} \\ 6 - x \geq 1 - 3 （ x - 1) \end{cases}$

(2)、 ${\begin{matrix} 5 x + 12 > 6 - 3 x \\ \frac{4 + x}{3} - 1 \geq \frac{1 - x}{3} . \end{matrix}$

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9、如图， D是等边三角形ABC外一点，连接AD、BD、CD，已知BD=8， CD=3，则AD的最小值为.（此时∠BDC=

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10、如图△ABC中， $A C = \sqrt{2}, A B = 3, ∠ C A B = 4 5^{\circ},$ ，将BC边绕点B顺时针旋转90°至BD，连接AD，则AD=.

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11、在Rt△ABC中， ∠C=90°， BC=6，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC、AB于点E、F；再分别以点E、F为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ EF的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP交BC于点D.若∠B=∠CAD，则BD的长为.

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12、如图，点O是等边△ABC内一点， OA=2， OB=2 $\sqrt{3}$ ， OC=4，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，则 $S_{△ A B C} - S_{△ A O C}$ 的值为（ )

A、 $5 \sqrt{3}$ B、 $4 \sqrt{3}$ C、 $\frac{9 \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{11 \sqrt{3}}{2}$

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13、若关于x的不等式组 ${\begin{matrix} 2 x - a < 0 \\ \frac{x - 1}{2} + 2 \leq x \end{matrix}$ 的解集只有3个整数解，则a的取值范围是（ )

A、10<a≤12 B、10≤a<12 C、9≤a<10 D、9<a≤10

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14、如图，△ABC中， ∠BAC=55°，将△ABC逆时针旋转（ $α （ 0^{\circ} < α < 5 5^{\circ})$ 得到△ADE ， DE交AC于F .当α=42°时，点D恰好落在BC上，此时∠AFE等于（ )

A、80° B、82° C、84° D、86°

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15、如图，在△ABC中， BC=9cm.将△ABC沿BC所在直线向右平移，所得的对应图形为△DEF ，当点E在点C左侧时，连接AD，若AD=2CE，则平移的距离是（ )

A、12cm B、9cm C、6cm D、15cm

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16、如图，函数y= ax+4和y=2x的图象相交于点A（m，3)，则不等式 ax+4>2x的解集为（ )

A、 $x < \frac{3}{2}$ B、x<3 C、 $x > \frac{3}{2}$ D、x>3

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17、下列由左到右的变形中属于因式分解的是（ )

A、 $24 x^{2} y = 3 x \cdot 8 x y$ B、 $x^{2} + 2 x + 1 = {(x + 1)}^{2}$ C、 $x^{2} - 2 x - 3 = x (x - 2) - 3$ D、 $(x + 3) (x - 3) = x^{2} - 9$

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18、下列图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ )

A、 B、 C、 D、

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19、如图1，△ABC中，AB=AC，P为BC中点，点D在AB上（不与A，B重合），过点D作DM⊥BC，垂足为M，连结CD，过CD的中点E作EN⊥BC，垂足为N.

(1)、若BC=8，当D为AB中点时，求PM的长.

(2)、求 $\frac{B M}{P N}$ 的值.

(3)、如图2，连结AE，过点E作EQ⊥AE交DM于点Q，连结BQ，求证：QB=QD.

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20、学校数学兴趣小组探究如下数学问题：边长为2的正方形ABCD内如何放置一个边长尽可能大的正六边形EFGHIJ（可与正方形边接触）.
小组成员提出以下两种方案：
方案一：如图1，正六边形一边落在边BC上，顶点J，G分别在两边AB，CD上.
方案二：如图2，正六边形四个顶点E，G，H，J分别在四条边上.
请分别求出以上两种方案中正六边形的边长，并比较哪种方案的正六边形边长更大.

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