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1、若关于x的一元二次方程 $x^{2} + 2 x + 3 m = 0$ 有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是．

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2、用配方法将方程 $x^{2} + 6 x = 5$ 化成 ${(x + 3)}^{2} = n$ 的形式，则 $n$ 的值为．

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3、已知关于x的一元二次方程 $a x^{2} + b x + 1 = 0$ 的两根之差为2，则代数式 $12 a - b^{2}$ 的最大值为（）

A、 $- 8$ B、 $- 2$ C、4 D、10

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4、若方程 ${(x - 3)}^{2} = 17$ 的两根为a和b，且 $a > b$ ，则下列结论中正确的是（）

A、a与b相等 B、a与b互为相反数 C、 $a - 3$ 是17的算术平方根 D、 $b - 3$ 是17的算术平方根

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5、若直角三角形的两边长是方程 $x^{2} - 14 x + 48 = 0$ 的实根，则该直角三角形的面积是（）

A、18 B、24或6 $\sqrt{7}$ C、32 D、18或36

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6、若方程 $(m + 1) x^{| m - 1 |} + m x + 1 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $m$ 的值是（）

A、 $m = 1$ B、 $m = - 1$ C、 $m = 3$ D、 $m = - 1$ 或 $m = 3$

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7、2020年市政府投资2亿元人民币建设了廉租房，预计2022年投资10亿元人民币建设廉租房，若在这两年内每年投资的增长率相同．设每年市政府投资的增长率为x，根据题意，列出方程为（）

A、 $2 {(1 + x)}^{2} = 10$ B、 $2 (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} = 10$ C、 $2 + 2 (1 + x) + 2 {(1 + x)}^{2} = 10$ D、 $2 (1 + x) = 10$

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8、关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + b x - 1 = 0$ 的实数根的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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9、已知关于x的方程 $x^{2} + m x - 2 = 0$ 的一个根是1，则m的值是（）

A、1 B、2 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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10、下列方程中，是一元二次方程的是（）

A、 $2 x + 3 = 4 - x$ B、 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ C、 $x^{2} - 2 y + 4 = 0$ D、 $x^{2} + 3 = \frac{5}{x}$

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11、在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °, A C = B C$ ，点 $O$ 是 $A B$ 的中点，点 $D$ 是射线 $C A$ 上一点，过点 $C$ 作 $C E ⊥ B D$ 于点 $E$ ，连接 $E O$ ．

(1)、如图1，若 $C D = 1, C B = 3$ ，求 $C E$ 的长；

(2)、如图2，过点 $O$ 作 $O F ⊥ O E$ 交 $B D$ 于点 $F$ ，求证： $O E = O F$ ；

(3)、如图2，在（1）的条件下，请直接写出 $O E$ 的值．

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12、如图，四边形 $A B C D$ 的四个顶点都在网格上，且每个小正方形的边长都为1．

(1)、 $C D =$ ．

(2)、连接 $B D$ ，判断 $△ B C D$ 是什么三角形？请说明理由．

(3)、求四边形 $A B C D$ 的面积．

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13、《整式的乘法》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．民兴七年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究．

(1)、【初步探究】
如图（1），直角三角形纸片三条边长分别为a，b，c（ $b < a < c$ ），小组同学用四个这样的纸片拼成了一个大正方形，中间空一个小正方形（阴影部分）．
①一个直角三角形纸片的面积为 ▲ ，小正方形边长为 ▲ ．（用含a，b的代数式表示）
②请用两种不同的方法表示出阴影部分（小正方形）的面积，从而探究出a，b，c三者之间的关系．（需化简）

(2)、【结论运用】
如图2，已知， $△ A B C$ 是直角三角形， $∠ C = 90 °$ ．请利用上面得到的结论求解．
①若 $A C = 3 ， B C = 4$ ，求 $A B$ 的长．
②若 $A C = 6$ ， $A B$ 的长比 $B C$ 的长大2，求 $A B$ 的长．

(3)、【应用拓展】
如图3，已知，在 $△ A B C$ 中， $A B = 13 ， A C = 15 ， B C = 14$ ，请求出 $△ A B C$ 的面积．

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14、如图， $A D$ 是 $△ A B C$ 的角平分线，且 $A B = A C$ ，过点D作 $D E ∥ A C$ ，交 $A B$ 于E点．

(1)、求证： $△ A D E$ 是等腰三角形；

(2)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求 $A D$ 的长．

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15、如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B ∥ D C$ ， $A B = D C$ ， $E A$ 平分 $∠ D E B$ ；

(1)、试说明： $B E = B A$ ；

(2)、若 $D E = 1$ ， $A B = 13$ ， $B C = 5$ ，请判断 $△ B C E$ 的形状，并说明理由．

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16、等边三角形的高长为3，则面积为．

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17、在直角三角形中，斜边及其中线之和等于 $12 c m$ ，那么斜边长是 $c m$ ．

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18、如图，圆柱的高为8cm，底面半径为 $\frac{6}{π}$ cm，一只蚂蚁从点 $A$ 沿圆柱外壁爬到点 $B$ 处吃食，要爬行的最短路程是（）

A、6cm B、8cm C、10cm D、12cm

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19、在 $R t △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ，若 $B C = 3, ∠ A = 30 °$ ，则 $A C$ 的长度为（）

A、6 B、 $3 \sqrt{3}$ C、3 D、 $\sqrt{3}$

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20、如图，以直角三角形的三边为边或直径，分别向外作正方形、半圆、等边三角形、半圆，这四个图形中 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{3}$ 之间的关系满足 $S_{1} + S_{2} = S_{3}$ 的个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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