相关试卷

1、下列消防安全标志中，是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2、“截长补短”添加辅助线构造全等三角形是常见的辅助线添加方法，可以根据题目要求和图形特征，灵活运用此方法添加辅助线，构造全等三角形解决线段（角）的数量关系问题．

某数学小组借助以下数学问题对“截长补短”添加辅助线构造全等三角形的方法进行了深入学习：

已知在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D$ ， $E$ ， $F$ 分别是直线 $B C$ ， $C D$ 上的点．

（1）如图，若 $A B ⊥ C B$ ， $A D ⊥ C D$ ， $E$ ， $F$ 分别在线段 $B C$ ， $C D$ 上，且满足 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试探究线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

数学小组探究此问题的方法是：延长 $C B$ 到点 $G$ ，使 $B G = D F$ ．连接 $A G$ ，先证 $△ A B G$ 与 $△ A D F$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A E G$ 的全等，可得到 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．经过以上分析，直接写出线段 $E F$ ， $B E$ ， $F D$ 之间的数量关系为__________．

（2）如图，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ ，点 $E$ ，点 $F$ 分别在线段 $C B$ ， $D C$ 的延长线上，且满足 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ，试探究线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

数学小组的同学们先猜想线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系，然后借助第（1）问中研究问题的思路和方法进行探讨，发现有以下两种证明方法：

方法1：延长 $B E$ 至点 $G$ ，使得 $B G = D F$ ，先证 $△ A B G$ 与 $△ A D F$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A E G$ 的全等，可得到线段 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 的之间的数量关系．

方法2：在 $D F$ 上截取 $D G = B E$ ，先证 $△ A D G$ 与 $△ A B E$ 的全等，再证 $△ A E F$ 与 $△ A G F$ 的全等，可得到 $E F$ ， $B E$ ， $D F$ 之间的数量关系．

请你写出猜想结果，并选择一个方法添加辅助线完成证明．

（3）如图，若 $∠ A B C + ∠ A D C = 180 °$ 不变，点 $E$ 在 $C B$ 的延长线上，点 $F$ 在 $C D$ 的延长线上，若 $E F = B E + D F$ ，请直接写出 $∠ E A F$ 与 $∠ B A D$ 的数量关系．

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3、数形结合是解决数学问题的一种重要思想方法，借助图形的直观性，可以帮助理解数学问题．
（1）请写出图1，图3阴影部分的面积分别能解释的数学公式．
图1：__________；图2： ${(a - b)}^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}$ ；图3：__________．
这几个数学公式都可以从“数”和“形”两个角度进行探究，并通过公式的变形或图形的转化解决很多数学问题．例如：如图4，已知 $a + b = 3$ ， $a b = 1$ ，求 $a^{2} + b^{2}$ 的值．
方法一：从“数”的角度解：
$∵ a + b = 3$ ，
$∴ {(a + b)}^{2} = 9$ ，即： $a^{2} + 2 a b + b^{2} = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ a^{2} + b^{2} = 7$ ．
方法二：从“形”的角度解：
$∵ a + b = 3$ ，
$∴ S_{大正方形} = 9$ ，
又 $∵ a b = 1$ ，
$∴ S_{2} = S_{3} = a b = 1$ ，
$∴ S_{1} + S_{4} = S_{大正方形} - S_{2} - S_{3} = 9 - 1 - 1 = 7$ ．即 $a^{2} + b^{2} = 7$ ．
类比迁移：
（2）若 $a + b = 5$ ， $a b = 6$ ，则 $a^{2} + b^{2} =$ __________．
（3）若 $a$ ， $b$ 为非负数， $a - b = 3$ ， $a b = 1$ ，则 $a + b =$ __________．
（4）若 $(5 - x) (x - 1) = 3$ ，则 ${(5 - x)}^{2} + {(x - 1)}^{2} =$ __________．
（5）如图5，点 $C$ 是线段 $A B$ 上的一点，以 $A C$ ， $B C$ 为边向两边作正方形，设 $A B = 10$ ，两个正方形的面积和 $S_{1} + S_{2} = 72$ ，求图中阴影部分面积．

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4、如图，在 $△ A B C$ 中， $A C = B C$ ， $∠ A C B = 90 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 的延长线上， $M$ 是 $B D$ 的中点， $E$ 是线段 $C A$ 上一动点，且 $C E = C D$ ，连接 $A D$ ，作 $D F ⊥ A D$ 交 $E M$ 延长线于点 $F$ ．猜想线段 $A D$ 与 $D F$ 的数量关系，并证明你的结论．

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5、观察下列一组等式：
$(a + 1) (a^{2} - a + 1) = a^{3} + 1$ ；
$(a - 2) (a^{2} + 2 a + 4) = a^{3} - 8$ ；
$(a + 3) (a^{2} - 3 a + 9) = a^{3} + 27$ ；
$(a - 4) (a^{2} + 4 a + 16) = a^{3} - 64$ ．

(1)、利用你的发现填空．
① $(x - 3) (x^{2} + 3 x + 9) =$ _____；
② $(2 x + 1)$ （_____） $= 8 x^{3} + 1$ ；
③（_____） $(x^{2} + 4 x y + 16 y^{2}) = x^{3} - 64 y^{3}$ ；

(2)、利用你发现的规律计算： $(a + b) (a - b) (a^{2} + a b + b^{2}) (a^{2} - a b + b^{2})$

(3)、利用你发现的规律解决问题．若 $a + b = 3$ ， $a b = - 10$ ，则 $a^{3} + b^{3}$ 的值为__________．

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6、如图，在 $Rt △ A B C$ 和 $Rt △ D E C$ 中， $∠ B = ∠ D E C = 90 °$ ，延长 $D E$ 交 $A B$ 于点 $F$ ，已知 $A B = D E$ ， $A C = D C$ ，若 $A F = 3$ ， $D E = 7$ ，求 $E F$ 的长度．

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7、如图， $△ A B C$ 中， $A D$ 是 $B C$ 上的高， $A E$ 平分 $∠ B A C$ ， $∠ B = 65 °$ ， $∠ C = 45 °$ ，求 $∠ D A E$ 的度数．

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8、如图，在 $△ A C F$ 和 $△ B D E$ 中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一直线上， $∠ C A F = ∠ D B E$ ， $A B = C D$ ， $∠ E = ∠ F$ ．求证： $C F ∥ D E$ ．

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9、先化简，再求值： $[(3 x + 1) (3 x - 1) - {(2 x + 3)}^{2} + (x + 2) (x + 5)] \div x$ ，其中 $x = - 1$ ．

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10、计算： $m^{7} \cdot m^{5} + {(- m^{3})}^{4} - {(- 2 m^{4})}^{3}$

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11、如图，已知 $A D$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的中线，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 、 $D A$ 的延长线上， $C E = B C ， A F = A D$ ，如果 $△ A B C$ 的面积是8，那么 $△ D E F$ 的面积等于．

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12、如图， $△ A B C ≌ △ A D E$ ， $∠ B = 30 °$ ， $∠ C = 105 °$ ，则 $∠ E A D =$ ．

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13、计算： $(- 28 x^{4} y^{2}) \div (7 x^{4} y) =$ ．

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14、如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A$ ， $B$ 分别在 $x$ 轴， $y$ 轴上， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ，若 $O A = 2$ ， $O B = 4$ ，则点 $C$ 的坐标为（）

A、 $(6, - 2)$ B、 $(- 6, - 2)$ C、 $(4, - 2)$ D、 $(- 4, - 2)$

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15、下列各式添括号，正确的是（）

A、 $a + b - c = a + (b + c)$ B、 $- 3 x + 6 y - 3 = - 3 (x + 2 y + 1)$ C、 $a - b + 2 m = a - (- b + 2 m)$ D、 $10 - 2 x + y^{2} = (10 - 2 x) + y^{2}$

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16、下列多项式相乘，能用平方差公式计算的是（）

A、 $(x + 2) (x + 2)$ B、 $(- x + y) (x - y)$ C、 $(x - y) (x + y)$ D、 $(- x - y) (x + y)$

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17、与如图所示的正方形图案全等的图案是（）

A、 B、 C、 D、

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18、下列运算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{5} = a^{10}$ B、 $a^{6} \div a^{3} = a^{3}$ C、 ${(a^{3})}^{2} = a^{5}$ D、 ${(- 2 a^{2})}^{2} = - 4 a^{4}$

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19、下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A、2，2，5 B、3，4，7 C、3，6，8 D、3，5，9

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20、阅读下列式子：
$\frac{1}{1 \times 2} = 1 - \frac{1}{2}$
$\frac{1}{2 \times 3} = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
$\frac{1}{3 \times 4} = \frac{1}{3} - \frac{1}{4}$
．．．
则

(1)、 $\frac{1}{n (n + 1)} =$ ___________；

(2)、计算： $\frac{1}{2} - \frac{1}{6} - \frac{1}{12} - \frac{1}{20} - \frac{1}{30} - \frac{1}{42}$ ；

(3)、计算： $\frac{1}{1 \times 5} + \frac{1}{5 \times 9} + \frac{1}{9 \times 13} + \dots + \frac{1}{2021 \times 2025}$

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