相关试卷

1、下列二次根式中，是最简二次根式的是( )

A、 $\sqrt{\frac{1}{3}}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\sqrt{4 a} (a \geq 0)$ D、 $\sqrt{8}$

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2、综合与实践
从特殊到一般是研究数学问题的一般思路，综合实践小组以特殊四边形为背景就三角形的旋转放缩问题展开探究．
特例研究
在正方形 $A B C D$ 中， $A C ， B D$ 相交于点O．

(1)、如图1， $△ A D C$ 可以看成是 $△ A O B$ 绕点A逆时针旋转并放大k倍得到，此时旋转角的度数为， k的值为；

(2)、如图2，将 $△ A O B$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放大得到 $△ A E F$ （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在 $O D$ 上，点F落在 $B C$ 上，求 $\frac{B F}{O E}$ 的值

(3)、类比探究
如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $∠ A B C = 60 °$ ， O是 $A B$ 的垂直平分线与 $B D$ 的交点，将 $△ A O B$ 绕点A逆时针旋转，旋转角为α，并放缩得到 $△ A E F$ （点O，B的对应点分别为点E，F），使得点E落在 $O D$ 上，点F落在 $B C$ 上．猜想 $\frac{B F}{O E}$ 的值是否与α有关，并说明理由；

(4)、若（3）中 $∠ A B C = β$ ，其余条件不变，探究 $B A ， B E ， B F$ 之间的数量关系（用含β的式子表示）．

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3、如图 $C D$ 是 $⊙ O$ 直径，A是 $⊙ O$ 上异于 $C, D$ 的一点，点B是 $D C$ 延长线上一点，连 $A B$ 、 $A C$ 、 $A D$ ，且 $∠ B A C = ∠ A D B$ ．

(1)、求证：直线 $A B$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $B C = 2 O C$ ，求 $t a n ∠ A D B$ 的值；

(3)、在(2)的条件下，作 $∠ C A D$ 的平分线 $A P$ 交 $⊙ O$ 于P，交 $C D$ 于E，连 $P C$ 、 $P D$ ，若 $A B = 2$ $\sqrt{6}$ ，求 $A E$ • $A P$ 的值．

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4、【综合与实践】
为了研究杠杆原理，丁丁制作了一架特殊的托盘天平（如图1），天平支点 $O$ 左右两侧各有一个托盘，其中左侧的托盘 $A$ 位置固定不动，且其中放置的重物大小也固定不变，右侧的托盘 $B$ 可以根据其中放置砝码的大小在右边的支架上左右移动，以便调节天平使其左右两边保持平衡．
丁丁改变托盘 $B$ 中砝码的质量并移动托盘的位置，当天平平衡时，分别记录了托盘 $B$ 与支点 $O$ 的距离、托盘 $B$ 中砝码的质量，得到几组数据如下表所示，请根据表中数据解决下列问题，

托盘 $B$ 与支点 $O$ 的距离 $x / c m$
1
1.5
2
2.5
3
托盘 $B$ 中的砝码质量 $y / g$
600
400
300
240
200

(1)、丁丁通过实验发现，托盘 $B$ 中的砝码质量 $y$ 是托盘 $B$ 与支点 $O$ 的距离 $x$ 的函数．在图2中画出这个函数的图象，并求出函数的表达式．

(2)、当托盘 $B$ 与支点 $O$ 的距离为 $4 c m$ 时，求托盘 $B$ 中砝码的质量．

(3)、当某次天平处于平衡状态时，此时托盘 $B$ 中砝码的质量是 $100 g$ ．将托盘 $B$ 中的砝码增加 $20 g$ ，若使天平再次平衡，托盘 $B$ 应该如何移动？

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5、 2025年春晚名为《秧BOT》的舞蹈，机器人们以精准的动作和热情的表演让观众体验到了传统文化与现代科技完美的跨界融合．机器人为了完美的转动手绢，表演时需要和舞者保持一定的间距．图2是其侧面示意图，胳膊与机器人身体的夹角 $∠ N A B = 4 5^{∘}$ ，胳膊 $A B = 40 c m$ ， $O B = 30 c m$ ，旋转的手绢近似圆形，半径 $O C = 25 c m$ ， $O C$ 与手臂 $O B$ 保持垂直．肘关节 $B$ 与手绢旋转点 $O$ 之间的水平宽度为 $12 c m$ （即 $B D$ 的长度）．

(1)、求 $∠ A B O$ 的度数；

(2)、机器人跳舞时规定手绢端点 $C$ 与舞者安全距离范围为 $30 \sim 40 c m$ ．在图2中，机器人与舞者之间距离为 $100 c m$ ．问此时手绢端点 $C$ 与舞者距离是否在规定范围内？并说明理由．（参考数据： $s i n 66 . 4^{∘} \approx 0.92$ ， $c o s 66 . 4^{∘} \approx 0.40$ ， $s i n 23 . 6^{∘} \approx 0.40$ ， $\sqrt{2} \approx 1.4$ ）

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6、如图，平行于 $y$ 轴的直尺（一部分）与反比例函数 $y = \frac{m}{x} (x > 0)$ 的图象交于点 $A$ ， $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ ， $D$ ，连接 $A C$ ，点 $A$ ， $B$ 的刻度分别为5，2，直尺的宽度 $B D = 2$ ， $O B = 2$ ，设直线 $A C$ 的解析式为 $y = k x + b$ ．

(1)、求反比例函数解析式和直线 $A C$ 的解析式；

(2)、请结合图象直接写出不等式 $k x + b > \frac{m}{x}$ 的解集；

(3)、沿 $x$ 轴负方向平移直尺，当 $B C$ 恰好平分 $∠ A B D$ 时，直接写出直尺平移的距离．

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7、如图，在 $▱ A B C D$ 中，点E在 $A D$ 的延长线上， $B E$ 与 $C D$ 交于点F．

(1)、求证： $△ A B E ∽ △ C F B$ ；

(2)、若 $△ D E F$ 的面积为4， $\frac{D F}{C F} = \frac{2}{3}$ ，求 $△ A B E$ 的面积．

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8、在边长为1的正方形的网格中， $△ A B C$ 的顶点均为格点（网格线的交点）．（要求使用无刻度的直尺画图）

(1)、以A点为位似中心，在网格区域内将 $△ A B C$ 放大2倍得到 $△ A B_{1} C_{1}$ ．

(2)、在线段 $A B$ 上画一个点M，使 $\frac{B M}{A M} = \frac{1}{3}$ ．

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9、计算： $2 c o s 45 ° + {(π - 3.14)}^{0} + | \sqrt{2} - 1 | + {(\frac{1}{4})}^{- 1}$ ．

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10、如图，实线部分是一个正方体展开图，点A，B，C，D，E均在 $△ M B N$ 的边上，则 $c o s M$ 的值为．

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11、如图，是一个几何体的三视图（图中尺寸单位： $c m$ ），根据图中所示数据计算这个几何体的侧面积是 $c m^{2}$ （结果保留 $π$ ）．

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12、已知：如图，四边形 $A B C D$ 是边长为1的正方形，对角线 $A C 、 B D$ 相交于点O．过点O作一直角 $∠ M O N$ ，直角边 $O M 、 O N$ 分别与 $O A 、 O B$ 重合，然后逆时针旋转 $∠ M O N$ ，旋转角为 $θ (0 ° < θ < 90 °)$ ， $O M 、 O N$ 分别交 $A B 、 B C$ 于E、F两点，连接 $E F$ 交 $O B$ 于点G，则下列结论中正确的是(填序号)．
① $E F = \sqrt{2} O E$ ；② $S_{四边形 O E B F} : S_{正方形 A B C D} = 1 : 2$ ；③ $B E + B F = \sqrt{2} O A$ ；④ $O G \cdot B D = A E^{2} + C F^{2}$ ．

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13、如图，点 $P$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象上任一点， $P A$ 垂直 $x$ 轴，垂足为 $A$ ，设 $△ O A P$ 的面积为 $S$ ，则 $S$ 的值为（）

A、1 B、2 C、3 D、 $\frac{1}{2}$

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14、如图，四边形 $A B C D ∽$ 四边形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，则 $B^{'} C^{'}$ 的长度 $x$ 和角 $β$ 的大小分别是（）

A、 $x = 2, β = 78 °$ B、 $x = 2, β = 88 °$ C、 $x = 4.5, β = 78 °$ D、 $x = 4.5, β = 88 °$

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15、已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象在第二、四象限内，图象上有两个点分别为 $A (3, y_{1})$ ， $B (5, y_{2})$ ，则 $y_{1}$ 与 $y_{2}$ 的大小关系为（）

A、 $y_{1} > y_{2}$ B、 $y_{1} = y_{2}$ C、 $y_{1} < y_{2}$ D、无法确定

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16、如图，直线 $l_{1} ∥ l_{2} ∥ l_{3}$ ，直线 $a, b$ 与 $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ 分别交于点 $A, B, C$ 和点 $D, E, F$ ．若 $A B : B C = 2 : 3$ ， $E F = 6$ ，则 $D E$ 的长是（　　）

A、4 B、6 C、9 D、12

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17、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 60 °$ ，则 $c o s A =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、1

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18、下列各点中，在反比例函数 $y = \frac{6}{x}$ 的图象上的是（）

A、 $(- 2, 3)$ B、 $(2, - 3)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(3, 3)$

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19、如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边AD和CD上，过点B作BH⊥EF于点H，连结BE，BF.

(1)、若BH=AB，求证： AE+CF=EF；

(2)、如图2，已知 $A E^{2} + C F^{2} = E F^{2} .$
①若AE=2，CF=4，求正方形ABCD 的边长和BH的长；
②如图3，过点E作AD的垂线交BH于点G，连结FG.已知.BG+EF=6，求阴影部分的面积.

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20、如图1，矩形ABCD中，以点A为圆心，AD长为半径画弧交BC于点E，连结AE，DE.

(1)、若∠CDE=20°，求∠AEB 的度数；

(2)、若AD=10，AB=6，求DE的长；

(3)、如图2，作∠AEB 的平分线交AB于点F，恰有EF=DE，求∠CDE 的度数.

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托盘 $B$ 与支点 $O$ 的距离 $x / c m$	1	1.5	2	2.5	3
托盘 $B$ 中的砝码质量 $y / g$	600	400	300	240	200