相关试卷

1、若 $| a | = 3 ， | b | = 4$ ，且 $|a - b| = b - a$ ，则 $a b$ 等于（　　）

A、1 $2$ B、 $- 12$ C、1 $2$ 或 $- 12$ D、不能确定

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2、定义新运算“ $\otimes$ ”，规定： $a \otimes b = |a| - b^{3} .$ 则 $(- 2) \otimes (- 1)$ 的运算结果为（）

A、 $- 5$ B、 $- 3$ C、 $5$ D、 $3$

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3、将 $- 3 - (+ 6) - (- 5) + (- 2)$ 写成省略括号的和的形式是（　　）

A、 $- 3 + 6 - 5 - 2$ B、 $- 3 - 6 + 5 - 2$ C、 $- 3 - 6 - 5 - 2$ D、 $- 3 - 6 + 5 + 2$

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4、下列各数： $- 1$ ， $4.112134$ ， 0， $\frac{22}{7}$ ， $3.14$ ， $0. \dot{1} \dot{5}$ ，其中分数有（）

A、6个 B、5个 C、4个 D、3个

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5、有理数 $\frac{3}{5}$ 的相反数是（）

A、 $- \frac{3}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{5}{3}$ D、 $- \frac{5}{3}$

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6、如图1，点E是正方形 $A B C D$ 的边 $B C$ 上一点，以 $A E$ 为对称轴将 $△ A B E$ 对折得到 $△ A F E$ ，再将 $A D$ 与 $A F$ 重合折叠，折痕与 $B F$ 的延长线交于点 $H$ ， $B H$ 与 $A E$ 交于点 $G$ ，连接 $D H$ ， $C H$ ．

(1)、设 $B H$ 与 $C D$ 交于点 $I$ ，证明： $△ A B E ≌ △ B C I$ ；

(2)、探索 $A H$ ， $C H$ 和 $D H$ 之间的数量关系，并加以证明；

(3)、如图2，若正方形边长为4，点E在射线 $B C$ 上运动，当 $E C = \frac{1}{4} B C$ 时，请直接写出 $△ A D H$ 的面积的值．

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7、成都某学校组织数学兴趣小组开展探究代数式 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (x \geq 0)$ 的最小值，张老师巧妙的运用了“数形结合”的思想．具体做法是：如图，C为线段 $B D$ 上一动点，分别过B、D作 $A B ⊥ B D$ ， $E D ⊥ B D$ ．连接 $A C$ 、 $E C$ ．已知 $A B = 1$ ， $D E = 2$ ， $B D = 4$ ．设 $B C = x$ ，则 $A C = \sqrt{x^{2} + 1}$ ， $C E = \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4}$ ，则问题转化成求 $A C + C E$ 的最小值．
【探究发现】
（1）我们知道当A、C、E在同一直线上时， $A C + C E$ 的值最小，于是可求得 $\sqrt{x^{2} + 1} + \sqrt{{(4 - x)}^{2} + 4} (x \geq 0)$ 的最小值等于______．
（2）请你利用上述方法和结论，试构图求出代数式 $\sqrt{x^{2} + 4} + \sqrt{{(12 - x)}^{2} + 9} (x \geq 0)$ 的最小值．
【拓展迁移】
（3）请你用构图的方法试求 $\sqrt{{(4 + x)}^{2} + 4} - \sqrt{x^{2} + 1} (x \geq 0)$ 的最大值．

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8、阅读材料：《见微知著》谈到，从一个简单的经典问题出发，从特殊到一般，由简单到复杂，从部分到整体，由低维到高维，知识与方法上的类比是探索发展的重要途径，是开启思想阀门，发现新问题、新结论的重要方法．例如 $(\sqrt{2} + 1) (\sqrt{2} - 1) = 1 ， (\sqrt{6} + \sqrt{3}) (\sqrt{6} - \sqrt{3}) = 3$ ，观察它们的结果，积不含根号，我们称这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式的除法可以这样解：如 $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \times \sqrt{2}}{\sqrt{2} \times \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{2 + \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}} = \frac{{(2 + \sqrt{2})}^{2}}{(2 - \sqrt{2}) \times (2 + \sqrt{2})} = 3 + 2 \sqrt{2}$ ．像这样通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去的过程，叫分母有理化．
解决问题：

(1)、将 $\frac{1}{\sqrt{5}}$ 分母有理化得_______， $\frac{1}{\sqrt{6} - \sqrt{5}}$ 分母有理化得______．

(2)、 $x = \frac{\sqrt{5} + 2}{\sqrt{5} - 2} ， y = \frac{\sqrt{5} - 2}{\sqrt{5} + 2}$ ，求 $x^{2} + y^{2}$ 的值；

(3)、利用上述方法，化简 $\frac{3}{1 + \sqrt{2}} + \frac{3}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \frac{3}{\sqrt{3} + \sqrt{4}} + \dots + \frac{3}{\sqrt{99} + \sqrt{100}}$ ．

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9、如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $B C = 6$ ，点 $D$ 为斜边 $A B$ 上的一点，连接 $C D$ ，将 $△ B C D$ 沿 $C D$ 翻折，使点 $B$ 落在点 $E$ 处，点 $F$ 为直角边 $A C$ 上一点，连接 $D F$ ，将 $△ A D F$ 沿 $D F$ 翻折，点 $A$ 恰好与点 $E$ 重合．若 $D C = 5$ ，则折痕 $D F$ 为．

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10、如图，有一圆柱，其高为15，它的底面周长为10，蚂蚁在圆柱表面爬行，从点A爬到点B，其中B离上沿3，则蚂蚁经过的最短路程为．

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11、（1）实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 $\sqrt{a^{2}} - |a + b| - \sqrt[3]{{(b - c)}^{3}}$ ．
（2）如果 $\sqrt{7}$ 的小数部分为a， $\sqrt{13}$ 的整数部分为b，求 $a + b - \sqrt{7}$ 的值．

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12、解方程

(1)、 $4 x^{2} - 1 = 24$ ；

(2)、 $\frac{1}{3} {(x - 1)}^{3} = 9$ ．

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13、计算

(1)、 $\sqrt{18} - {(\sqrt{2} + 1)}^{2} + (\sqrt{3} + 1) (\sqrt{3} - 1)$ ；

(2)、 $\sqrt{\frac{4}{25}} - \sqrt[3]{- 8} + |1 - \sqrt{2}| + \sqrt{2} (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、 ${(π - 1)}^{0} + {(\frac{1}{2})}^{- 1} + |5 - \sqrt{27}| - \sqrt{64}$ ；

(4)、 $- 1^{2025} + {(\frac{1}{2})}^{- 2} + {(3.14 - π)}^{0} - |- 2|$ ．

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14、如图所示的网格是由相同的小正方形组成的网格，点 $A ， B ， P$ 是网格线的交点，则 $∠ A P B =$ $°$ ．

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15、 $\sqrt{49}$ 的平方根是； $- \frac{1}{64}$ 的立方根是．

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16、如图在 $4 \times 4$ 的网格中，每个小正方形的边长均为1，则 $B$ 到直线 $A C$ 的距离为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{10}}{5}$ B、 $\frac{7 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{3 \sqrt{5}}{10}$

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17、下列运算结果正确的是（）

A、 $\sqrt{5} + \sqrt{2} = \sqrt{7}$ B、 $\sqrt{25} = \pm 5$ C、 $\sqrt{{(- 5)}^{2}} = - 5$ D、 $\sqrt{5} \times \sqrt{2} = \sqrt{10}$

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18、下列二次根式中，是最简二次根式的是（）

A、 $\sqrt{11}$ B、 $\sqrt{0.1}$ C、 $\sqrt{\frac{2}{3}}$ D、 $\sqrt{27}$

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19、在平面直角坐标系中，已知点 $A (a, 0)$ 在x轴的负半轴上，点 $B (0, b)$ 在y轴的正半轴上．

(1)、如图1，过点B作 $B C ⊥ A B$ ，且 $B C = A B$ ，连接 $A C$ ，点C在第一象限，若实数a、b满足： $|a + 2| + \sqrt{b - 4} = 0$ ，请直接写出点A、B、C的坐标；

(2)、如图2，在x轴上一点 $M (b, 0)$ ， $M N ⊥ A B$ 于点N，连接 $O N$ ，求证： $N O$ 平分 $∠ A N M$ ；

(3)、如图3，若 $a = - 6$ ， $b = 12$ ，点 $P (m, 0)$ 在x轴正半轴上， $P Q ⊥ A B$ 于点Q，连接 $O Q$ ，当 $O Q$ 平分 $∠ A O B$ 时，求m的值及 $△ A B P$ 的面积．

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20、已知 $O A = O B$ ， $O C = O D$ ， $∠ A O B = ∠ C O D = α$ ，连接 $A C$ ， $B D$ 交于点M．

(1)、如图①，若 $α = 25 °$ ，则 $∠ A M B$ 的度数为；

(2)、如图②，若 $α = 60 °$ ，连 $O M$ ，则 $∠ A M O$ 的度数为；

(3)、如图③，若 $α = 90 °$ ，作 $O E ⊥ A C$ 于点E，延长 $E O$ 与 $B D$ 分交于点F．求证：点F是 $B C$ 的中点．

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