相关试卷

1、二次函数 $y = \frac{m}{6} x^{2} - \frac{2 m}{3} x + m (m ＞ 0)$ 的图象交y轴于点A，顶点为P，直线PA与x轴交于点B。

(1)、当m=1时，求顶点P的坐标；

(2)、若点Q（a，b）在二次函数 $y = \frac{m}{6} x^{2} - \frac{2 m}{3} x + m （ m ＞ 0 ）$ 的图象上，且b>m，试求a的取值范围；

(3)、在第一象限内，以AB为边作正方形ABCD，
①求点D的坐标（用含m的代数式表示）；
②若该二次函数的图象与正方形ABCD的边CD有公共点，请求出符合条件的m的整数值。

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2、问题背景：《几何原本》是古希腊数学家欧几里得的一部不朽著作，是数学发展史的一个里程碑。在该书的第2卷“几何与代数”部分，记载了很多利用几何图形来论证的代数结论，其中把几个图形拼成一个新的图形，再通过两种不同的方式计算同一个图形的面积，可以得到一个等式，借助几何给人以强烈印象将抽象的逻辑规律体现在具体的图形之中。

(1)、问题探究：
请根据图①写出一个等式：；

(2)、如图②，点C在线段BP上，分别以BC、CP为边作正方形ABCD和正方形CPEF，连接BD、BE。如果BP=10，BC·CP=22。试求出阴影部分的面积.

(3)、拓展应用：
如图③，在等腰直角△ABC中，∠BAC=90°，D为BC的中点，E为边AC上任意一点（不与端点重合），过点E作矩形EHDG分别交AD于点H，交BC于点G，过点B作BF∥AC交EG的延长线于点F.记△BFG与△CEG的面积之和为S₁ ， △ABD与△AEH的面积之和为S₂.请问 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值是否为定值?若为定值，请求出这个定值.若不是定值，请说明理由.

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3、如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG.

(1)、求证：四边形CEFG是菱形；

(2)、若AB=5，AD=13，求四边形CEFG的周长.

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4、惠州南站是深惠同城重要高铁站点，如图①，高铁座椅靠背、折叠小桌板可绕支点旋转，蕴含丰富几何变化规律。现将高铁座椅侧面抽象为几何图形进行操作探究：
如图②，已知支架BC、连接靠背AB与小桌板CD，点E为杯托位置，BC=37cm，CE=10cm，初始状态AB⊥地面，CD∥地面，∠ABC=35°，

(1)、操作一：静态测量计算
求初始状态下，点C到靠背AB的垂直距离。（结果精确到1cm）

(2)、操作二：旋转变换探究
如图③，固定支点B，将靠背AB绕点B顺时针旋转，直至AB与小桌板支架BC重合。已知杯托E处凹陷深度为0.7cm，乘客的水杯恰好能竖直放在杯托处（点E）、缝隙忽略不计，请综合线段长度与旋转高度的变化，计算高铁乘客水杯的最大安全高度。
（结果精确到1cm，参考数据： $s i n 3 5^{\circ} \approx 0.57, c o s 3 5^{\circ} \approx 0.82, t a n 3 5^{\circ} \approx 0.70)$

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5、小刚的妈妈到离家1200米的电影院看电影，到电影院时发现手机丢在家里，此时距电影放映还有20分钟，于是她立即步行（匀速）回家，在家拿手机用了2分钟，然后骑自行车（匀速）返回电影院，已知小刚的妈妈骑自行车的速度是步行速度的2.5倍，小刚的妈妈骑自行车到电影院比她从电影院步行到家少用了9分钟.

(1)、小刚的妈妈步行的速度是每分钟多少米?

(2)、小刚的妈妈能否在电影放映前赶到电影院?

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6、为落实“双减”政策，惠州市推行“周三无作业日”活动。相关主管部门为了解某学校学生对该活动的满意度，对该学校分别从小学部、初中部各随机抽取10名学生，对活动满意度进行问卷调查，打分情况（满分10分）如下：
小学部：7，7，8，8，8，8，8，9，9，10
初中部：9，7，9，6，10，6，8，9，9，7

(1)、现从小学部抽取的这10名学生中的前4名（7，7，8，8）中随机选取2人，求这2人的打分都不低于8分的概率；

(2)、若评分不低于8分的学生占比达到65%及以上，则认为该校活动开展效果良好。已知该校小学部有1200人，初中部有800人，请根据样本估计总体，判断该校“周三无作业日”活动开展效果是否良好，并说明理由。

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7、惠阳区计划在一片直角三角形的空地上，打造以淡水老城文化为主题的休闲广场。已知空地为Rt△ABC，∠ACB=90°，AB边紧邻规划的环城步道，AC边是便民服务通道，BC边是连接淡水老城入口的观景步道。设计方案以BC边上的点O为圆心，OB为半径修建圆形的文化主题景观区，该圆形区域与观景步道AB交于点D。

(1)、实践与操作：计划在便民服务通道AC上设置一个与点A、点D距离相等的便民服务点E，请你用直尺与圆规作出边AC上满足条件的点E，并连接DE（不写作法，保留作图痕迹）。

(2)、判断与证明：只有当指示线DE与圆形景观区相切时，才能符合广场规划。请根据现有条件，判断是否符合广场规划，并说明理由。

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8、先化简后求值： $(\frac{2 x}{x + 1} - \frac{x}{x - 1}) \cdot \frac{x^{2} - 1}{x},$ 其中x=2。
下面是甲、乙两同学的部分运算过程：
同学
部分运算过程
甲同学
解：原式 $= [\frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}] \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} = \dots$
乙同学
解：原式= $= \frac{2 x}{x + 1} \frac{x^{2} - 1}{x} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} = \dots$

(1)、甲同学解法的依据是；乙同学解法的依据是；（填序号）
①等式的基本性质 ②分式的基本性质 ③乘法分配律 ④乘法交换律

(2)、请你选择上面的一种解法，写出完整的解答过程。

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9、如下图⑴，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6.如图下⑵，将这张扇形纸片折叠，使点A与点O恰好重合，折痕为CD，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为。

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10、如下图，四边形ABCD与四边形EFGH位似，位似中心点是点O，若 $\frac{O E}{O A} = \frac{3}{5}$ ，则 $\frac{F G}{B C}$ =。

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11、如下图，在一些国旗和标志中，五角星是一种常见的图案。五角星还出现在一些宗教、文化和艺术的符号中，它也与黄金分割等数学原理相关。另外某些晶体、分子结构呈正五角星对称。若某化学分子结构为标准正五角星，五个尖角大小完全相同，则每个尖角的度数是。

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12、计算： $\sqrt{16} + {(- 2)}^{3} + ∣ - 1 ∣$ =。

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13、反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 过点（2，-3），则k=。

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14、如下图，在平行四边形纸片ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，现将该纸片翻折，使点A落在CD边的中点E处，折痕为FG，点F，G分别在边AB，AD上，则GE的长为（）

A、 $2 \sqrt{3}$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、2.8 D、2.2

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15、二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 开口向上，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴左侧，下列结论正确的是（）

A、a<0 B、b<0 C、c>0 D、 $b^{2} - 4 a c > 0$

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16、如下图，点A，B，C在⊙O上，连接OA，AB，BC，OC.若∠AOC=130°，则∠ABC的度数为（）

A、100° B、110° C、115° D、130°

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17、惠阳皆歌是市级非遗音乐，某校开展皆歌传唱活动，10名同学演唱评分（满分10分）：7、8、9、8、7、10、8、9、8、7。下列关于该组数据的判断，错误的是（）

A、众数是8 B、中位数是9 C、平均数是8.1 D、极差是3

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18、如下图，直线m//n，把一块含45°角的直角三角板ABC按如图所示的方式放置，点B在直线n上，∠A=90°，若∠1=25°，则∠2等于（）

A、70° B、65° C、25° D、20°

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19、下列运算正确的是（）

A、2a+3b=5ab B、 $4 a^{2} - 2 a^{2} = 2 a^{2}$ C、3（a-b）=3a-b D、-（a+1）=-a+1

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20、预计2027年，某地电子信息产业产值约达620亿元，用科学记数法表示620亿为（）

A、 $6.2 \times 1 0^{10}$ B、6.2×10¹¹ C、 $6.2 \times 1 0^{12}$ D、6.2×10⁹

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同学	部分运算过程
甲同学	解：原式 $= [\frac{2 x (x - 1)}{(x + 1) (x - 1)} - \frac{x (x + 1)}{(x - 1) (x + 1)}] \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} = \dots$
乙同学	解：原式= $= \frac{2 x}{x + 1} \frac{x^{2} - 1}{x} - \frac{x}{x - 1} \cdot \frac{x^{2} - 1}{x} = \dots$