相关试卷

1、如图，直线 $m ∥ n$ ，一把含 $30 °$ 角的直角三角尺按所示位置摆放，若 $∠ 1 = 32 °$ ，则 $∠ 2$ 的度数是（）

A、 $13 °$ B、 $28 °$ C、 $32 °$ D、 $58 °$

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2、以下给出的几何体中，从正面看是长方形，从上面看是圆的是（）

A、 B、 C、 D、

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3、据统计，泸州老窖2024年前三季度实现销售总额243亿元，其中24300000000用科学记数法表示为（）

A、 $2.43 \times 10^{8}$ B、 $2.43 \times 10^{9}$ C、 $2.43 \times 10^{10}$ D、 $2.43 \times 10^{11}$

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4、李老师在数学课上开展小组活动，同学们将两个全等的含 $30 °$ 的直角三角板完全重合放置，固定一个顶点．然后将其中一个直角三角板绕这个顶点旋转，来探索图形旋转的奥妙．
已知：如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A D E$ 中， $∠ A C B = ∠ A D E = 90 °$ ， $A C = A E = 4$ ， $∠ B = ∠ D = 30 °$ ．
【初识图形】
（1）如图，在 $△ A D E$ 绕点A旋转过程中，当点E恰好落在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上时，连接 $C E$ 、 $B D$ ．则 $C E$ 的长为， $B D$ 的长为．
【深度探析】
如图，在 $△ A D E$ 绕点A旋转过程中，当 $A D ∥ B C$ 时，连接 $B D 、 C E$ ，延长 $C E$ 交 $B D$ 于点F．
（2） $∠ B C F$ 的度数为， $∠ D E F$ 的度数为；
（3）求证：点F为线段 $B D$ 的中点．
【拓展探究】
（4）在 $△ A D E$ 绕点A旋转过程中，试探究B、D、E三点能否构成以 $D E$ 为直角边的直角三角形．若能，求写出线段 $B E$ 的长；若不能，请说明理由．

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5、【阅读材料】：将四项及四项以上的多项式进行因式分解，我们一般使用分组分解去，对于四项多项式的分组分解法有两种分法：一是“ $3 + 1$ ”分组，二是“ $2 + 2$ ”分组．两种分组的主要区别在于多项式中是否存在三项可以构成完全平方，若可以构成完全平方，则采用“ $3 + 1$ ”分组；若无法构成，则采用“ $2 + 2$ ”分组．
例如：
$a m + b m + a n + b n$
$= (a m + b m) + (a n + b n)$
$= m (a + b) + n (a + b)$
$= (a + b) (m + n)$

$x^{2} + 2 x + 1 - 4$
$= (x^{2} + 2 x + 1) - 4$
$= {(x + 1)}^{2} - 4$
$= (x + 1 + 2) (x + 1 - 2)$
$= (x + 3) (x - 1)$
像这种将一个多项式适当分组后，再分解因式的方法叫做分组分解法．
【学以致用】：因式分解：
（1） $m p + n q - m q - n p$ ；
（2） $81 - 4 x^{2} + 12 x y - 9 y^{2}$ ．
【拓展延伸】：对于四项以上的多项式，我们可以据其特征适当地将某一项拆成两项，再进行分组，进而因式分解来解决问题，请你利用这样的思路试一试．
①已知 $a, b, c$ 为等腰 $△ A B C$ 的三边长，且满足 $a^{2} + b^{2} = 20 a + 24 b - 244$ ，求等腰 $△ A B C$ 的面积；
②如图，长方形ABCD，已知 $S_{长方形 A B C D} = x^{2} - x y - 2 y^{2}$ ，其中 $x > 2 y$ ，且 $y > 0$ ，求长方形ABCD的边AD，AB的长度．（ $A D > A B$ ，用含 $x, y$ 的式子表示）

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6、已知A为整式，计算 $\frac{x - 4}{x^{2} - 9} \div \frac{A}{x - 3}$ 结果为 $\frac{1}{x + 3}$ ．

(1)、求整式A；

(2)、嘉嘉说：“因为 $x \neq 3$ ，所以原式的计算结果不可能为 $\frac{1}{6}$ ． ”
淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全，原式还应有其他无法取得的结果”．
请对淇淇的说法进行说理．

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7、已知：如图， $∠ A B D = ∠ A C D = 90 °$ ， $∠ C B D = ∠ B C D$ ，连结 $A D$ ．
（1）求证： $Δ A B D ≌ Δ A C D$ ．
（2）若 $∠ B A D = 30 °$ ， $A B = 2 \sqrt{3}$ ，求 $B C$ 的长．

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8、先化简，再求值： $(1 - \frac{5}{m + 2}) \div \frac{m^{2} - 9}{m + 3}$ ，其中 $m = \sqrt{3} - 2$ ．

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9、如图，在平面直角坐标系中，直线 $l_{1}$ ： $y = x + 1$ 与直线 $l_{2}$ ： $y = a x + b$ 交于点 $A (m, \frac{3}{2})$ ，则关于x的不等式组 $a x + b > x + 1 > 0$ 的解集为．

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10、如图，两个完全一样的直角三角形重叠在一起，将其中的一个三角形沿着点B到点C的方向平移到 $△ D E F$ 的位置， $A B = 10$ ， $D O = 4$ ，若平移距离为7，则阴影部分面积为．

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11、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $B D$ 平分 $∠ A B C$ ，如果 $C D = 2$ ，点D到 $A B$ 的距离是．

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12、如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ，高 $A D$ 与角平分线 $B E$ 相交于点 $F$ ， $∠ D A C$ 的平分线 $A G$ 分别交 $B C$ ， $B E$ 于点 $G$ ， $O$ ，连接 $F G$ ，下列结论：① $∠ C = ∠ E B G$ ；② $∠ A E F = ∠ A F E$ ；③ $A G ⊥ E F$ ；④ $G F ⊥ A B$ ，其中所有正确结论的序号是（）

A、①②④ B、②③ C、③④ D、②③④

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13、如图，在平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点的坐标分别为 $A (1, 0)$ ， $B (2, 3)$ ， $C (3, 1)$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ ，得到 $△ A B^{'} C^{'}$ ，则点 $B^{'}$ 的坐标为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $(4, - 1)$ C、 $(- 3, 2)$ D、 $(3, - 2)$

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14、不等式组 $\{\begin{matrix} \frac{x}{2} + 1 \geq 0 \\ 2 x < 4 \end{matrix}$ 的整数解有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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15、小明利用完全平方公式进行因式分解“ $x^{2}$ $+ 4 y^{2} = (x + 2 y)^{2}$ ”时，墨迹将“ $x^{2}$ $+ 4 y^{2}$ ”中的一项及其符号染黑了，则墨迹覆盖的这一项是（）

A、4xy B、2xy C、 $- 4 x y$ D、 $- 2 x y$

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16、下列从左边到右边的变形，属于因式分解的是（）

A、 $8 a^{2} b^{3} = 2 a b^{2} \cdot 4 a b$ B、 $(a + 4) (a - 4) = a^{2} - 16$ C、 $a^{2} - 4 a + 4 = a (a - 4) + 4$ D、 $a^{2} - 4 a + 4 = {(a - 2)}^{2}$

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17、以下新能源汽车图标是中心对称，但不是轴对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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18、若 $a < b$ ，则下列不等式中不正确的是（）

A、 $a + 3 < b + 3$ B、 $- a < - b$ C、 $a - 2 < b - 2$ D、 $\frac{a}{5} < \frac{b}{5}$

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19、【问题提出】
已知正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E G F$ 共顶点A，把正方形 $A E G F$ 绕点A顺时针旋转一定的度数，连接 $B G$ ，探究 $B G$ 的长．
【问题探究】
（1）如图（1），若正方形 $A E G F$ 的边 $A F$ 落在正方形 $A B C D$ 的边 $A D$ 上时，当 $A E = 5, A B = 7$ 时， $B G =$ _________；
（2）如图（2），当 $A E = 2$ ，正方形 $A E G F$ 的边 $G F$ 的中点刚好落在点D时，求 $B G$ 的长．
（3）阅读材料并解决问题：
在 $Rt △ A C B$ 中，设其中一个锐角 $∠ A$ 度数为 $α$ ，
则 $\sin α = \frac{a}{c}, \cos α = \frac{b}{c}$ ，
$∴ \sin^{2} α + \cos^{2} α = \frac{a^{2}}{c^{2}} + \frac{b^{2}}{c^{2}}$ ，
$∵ ∠ C = 90 °$ ，根据勾股定理：在 $Rt △ A C B$ 中： $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ ，
$∴ \sin^{2} α + \cos^{2} α = \frac{a^{2} + b^{2}}{c^{2}} = \frac{c^{2}}{c^{2}} = 1$
请运用以上材料的结论，完成以下探究：
一般情形，如图（3），当旋转度数为 $m (45 ° < m < 90 °), A B = a, A E = b$ ，请你用含有a，b，m的式子直接表示出 $B G$ 的长．
【拓展应用】
（4）如图（4），已知长方形 $A B C D$ 和长方形 $A E F G$ 全等，把长方形 $A E F G$ 绕点A顺时针旋转，当 $A E$ 所在的直线恰好过 $B G$ 的中点O时，当 $A B = 6, B C = 3$ 时，请直接写出 $B G$ 的长．

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20、尺规作图起源于古希腊的数学课题，指的是只用没有刻度的直尺和圆规作图，并且只允许使用有限次，来解决不同的平面几何作图问题．数学课堂上，黄老师给同学们呈现了这样一个数学问题：如图，在矩形纸片 $A B C D$ 中，点E在 $A D$ 边的中点，将矩形纸片折叠，使点B与点E重合．

(1)、请在图中作出折痕，交 $A B$ 边于点F，交 $C D$ 边于点G，连接 $E F$ ，并在矩形纸片内用尺规作出一点M，使得四边形 $B F E M$ 是菱形，请给出证明；（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）

(2)、在（1）的条件下，若折痕 $F G$ 交 $B E$ 于点H，连接 $A H$ ，若 $A H$ 长为6， $B F$ 为 $2 \sqrt{11}$ ，直接写出 $F M$ 的长．

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