相关试卷

1、下列说法正确的是（）

A、 $9$ 是 $3$ 的算术平方根 B、 $- 8$ 的立方根是 $- 2$ C、 $0.1$ 的平方根是 $0.01$ D、 $\pm \frac{1}{2}$ 是 $\frac{1}{4}$ 的算术平方根

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2、下列命题中是真命题的是（）

A、过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B、两条直线被第三条直线所截，内错角相等 C、连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D、有理数和数轴上的点是一一对应的

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3、在实数 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ ， $π - \sqrt{2}$ ， $\frac{14}{3}$ ， $\sqrt[3]{- 8}$ ， $0.010010010001$ 中，无理数的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、在菱形 $A B C D$ 中，点 $E$ 为射线 $B C$ （不与 $B$ 点重合）上一动点，连接 $A E$ ，点 $F$ 为 $A E$ 中点，连接 $B F$ ，将 $△ A B F$ 沿 $B F$ 翻折得到 $△ G B F$ ，连接 $G E$ ．

(1)、如图1，连接 $A G, G E$ 与 $A G$ 的位置关系是； $G E$ 与 $B F$ 的位置关系是；

(2)、如图2，若 $∠ D = 60 °$ ，当点 $E$ 运动到 $B C$ 中点时，求 $\frac{E G}{B F}$ 的值；

(3)、已知 $A B = 6, ∠ D = 60 °$ ，若 $∠ A E G = 60 °$ ，则 $C E$ 的长为．

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5、综合应用

(1)、【问题感知】
如图①，在等边 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ，点M、N分别在边 $A C 、 B C$ 上，若N是 $B C$ 中点，则线段 $M N$ 长度的最小值为．

(2)、【问题呈现】
若图①中“N是 $B C$ 中点”改为“ $A M = C N$ ”，再求线段 $M N$ 长度的最小值．
【问题解决】
如图②，若把等边 $△ A B C$ 中“N是 $B C$ 中点”改为“ $A M = C N$ ”，如何求线段 $M N$ 的最小值．
解决方法：小明将通过构造平行四边形，将双动点问题转化为单动点问题，再通过定角发现这个动点的运动路径，进而解决上述问题：过点C、M分别作 $M N$ 、 $B C$ 的平行线，并交于点P，作射线 $A P$ ．则 $∠ C A P$ 为度，线段 $M N$ 长度的最小值为．

(3)、【应用迁移】
如图③．某房屋在维修时需使用钢丝绳进行加固处理，小明根据问题画出了示意图④，MN是一条两端点位置和长度均可调节的钢丝绳．四边形 $B C D E$ 是矩形， $A B = A C = C D = 2$ 米， $∠ A C B = 30 °$ ，若点M在 $A C$ 上，点N在 $D E$ 上， $A M = D N$ ．求钢丝绳 $M N$ 的最小值．

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6、2024年南国书香节已在广州琶洲顺利举行．某学校在活动期间购买甲、乙两种图书．已知乙图书比甲图书每本价格多10元，用5000元购买的甲图书和用6000元购买的乙图书数量相同．

(1)、求出甲、乙两种图书每本的价格分别是多少；

(2)、若计划购买甲、乙两种图书共50本，购书总费用不超过2860元，则最少购进甲图书多少本？

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7、如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C$ 是 $⊙ O$ 的弦， $A E ⊥ O C$ 于点 $D$ ，交 $B C$ 于 $F$ ，与过点 $B$ 的直线交于点 $E$ ，且 $B E = E F$ ．

(1)、求证： $B E$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $⊙ O$ 的半径为 $10$ ， $O D = 6$ ，求 $B E$ 的长．

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8、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $B D$ 平分 $∠ B A C$ 交 $A C$ 于点D，且 $∠ D B C = ∠ A$ ．

(1)、尺规作图：过点C作 $C H ⊥ A B$ ，垂足为点H（要求：保留作图痕迹，不写作法）；

(2)、求 $∠ A$ 的度数．

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9、若“ $∗$ ”是一种新的运算符号，并且规定 $a * b = a \times b - a \div b$ ，则 $(−4)$ $∗$ 2= ．

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10、如图，已知圆锥底面圆的半径为 $2 cm$ ，母线长为 $6cm$ ，一只蚂蚁从点A出发沿圆锥侧面一周（回到原来的位置A）所爬行的最短路径为 $cm$ ．

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11、已知：( ${x - 5)}^{x}$ =1，则整数 x= .

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12、如图，一把直角三角板的顶点A，B在 $⊙ O$ 上，边BC，AC与 $⊙ O$ 交于点D，E，连结DE，已知 $∠ B = 60 °$ ，则 $∠ A E D$ 的度数为（）

A、120° B、110° C、100° D、90°

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13、王老师给全班同学留了一个特色寒假作业，画一张有关兔子的图画，以下四个图形是开学后收上来的图画中的一部分，其中是轴对称图形的是（　　）

A、 B、 C、 D、

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14、如图1，已知点D在 $△ A B C$ 的边BC上，连接AD， $⊙ O$ 是 $△ A B D$ 的外接圆，AC切 $⊙ O$ 于点A.

(1)、【探究发现】小敏通过探究发现：如图2中，过点A作 $⊙ O$ 的直径AE，连接ED，根据已知条件，可以证明 $∠ C A D = ∠ B$ .请你根据小敏的思路，写出完整的证明过程.

(2)、【拓展迁移】当 $C A = 3$ ， $B D = \frac{16}{5}$ 时.
①求 $\frac{A D}{B A}$ 的值；
②求 $△ A B C$ 面积的最大值，并求出此时 $⊙ O$ 的半径.

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15、如图，二次函数 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其对称轴是直线 $x = 1$ ，点A的坐标为（-1，0）.

(1)、求此二次函数的表达式.

(2)、若 $n > 0$ ，当 $n \leq x \leq n + 2$ 时，求二次函数 $y = - \frac{3}{4} x^{2} + b x + c$ 的最小值（用含有n的代数式表示）.

(3)、当 $t \leq x \leq t + 1$ 时，若二次函数的最大值比最小值大2，求t的值.

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16、小明爸爸外出散步，从家出发走向离家1200米的报亭，走了15分钟后发现没带上眼镜，就马上电话小明让其送来小明接到电话带上眼镜立即从家里出发（通话时间忽略不计）小明爸爸又走了5分钟到达报亭，在没戴眼镜的情况下看报10分钟后，小明终于给爸爸送上了眼镜.戴上眼镜后继续看报10分钟，然后又用了40分钟返回到家里.而小明把眼镜交给爸爸后，按原来的速度继续步行10分钟到达离家m米的文具商店购买圆规（小明在文具商店的时间忽略不计），然后仍按原来的速度由原路返回，在离家还有n米处时追上爸爸后一起回到家里，已知小明和爸爸离开家的路程s（米）与各自的步行时间t（分）之间的函数图象如图所示.

(1)、求a和m的值；

(2)、求b和n的值；

(3)、小明从文具商店出来到追上爸爸的时间段中，求小明离开家的路程s（米）关于步行时间t（分）的函数表达式.

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17、已知平行四边形ABCD，在边AD上画点M，使CM⊥AD于点M.
甲、乙两位同学的作图方法如下.
甲：如图1，以点C为圆心，CD长为半径画弧交边AD于D，E两点，再分别以点E，点D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ ED长为半径画弧，两弧交于点F，作射线CF交边AD于点M，则点M为符合要求的点.
乙：如图2，分别以点C，点D为圆心，大于 $\frac{1}{2}$ CD长为半径画弧，两弧交于点E，F，作直线EF交边CD于点O，再以点O为圆心，OD长为半径画弧交边AD于点M，连结CM，则点M为符合要求的点.
请判断甲、乙两位同学的作法是否正确，并选择其中一种作法说明判断理由。

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18、为了解九年级学生每周利用DeepSeek进行搜索、答疑、写作等科技赋能学习的情况，学校“AI智能探究小组”成员随机调查了该校m名九年级学生一周内的使用次数，根据统计的结果，绘制出如下两幅不完整的统计图.
根据以上信息，解答下列问题.

(1)、填空：m=；n=.

(2)、补全条形统计图，并求所调查的这批学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数的中位数.

(3)、若该校共有九年级学生900名，请你根据样本数据，估计该校九年级学生每周利用DeepSeek进行赋能学习次数达8次及以上的学生人数.

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19、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C = 10$ ，点D在边BC上，且 $B D = \frac{1}{3} B C = 4$ ，连结AD.

(1)、求AD的长.

(2)、求sin∠BAD的值.

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20、解方程组： ${\begin{array}{l} 2 y - x = 7, \\ x + 3 y = - 2 . \end{array}$

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