相关试卷

1、【问题背景】如图1，已知射线 $O C$ 在 $∠ A O B$ 的内部，若 $∠ A O B$ ， $∠ A O C$ 和 $∠ B O C$ 三个角中有一个角的度数是另一个角度数的两倍，则称射线 $O C$ 是 $∠ A O B$ 的“量尺金线”．
【问题感知】
（1）一个角的平分线__________这个角的“量尺金线”；（填“是”或“不是”）
【问题初探】
（2）如图2， $∠ M P N = 60^{°}$ ．若射线 $P Q$ 是 $∠ M P N$ 的“量尺金线”，求 $∠ Q P N$ 的度数．
【问题推广】
（3）在（2）中，若 $∠ M P N = x^{°}$ ， $0^{°} < x \leq 60^{°}$ ，射线 $P F$ 从 $P N$ 位置开始，以每秒旋转 $3 °$ 的速度绕点 $P$ 按逆时针方向旋转，当 $∠ F P N$ 首次等于 $180^{°}$ 时停止旋转，设旋转的时间为 $t (s)$ ．请直接写出当 $t$ 为何值时，射线 $P M$ 是 $∠ F P N$ 的“量尺金线”？（用含 $x$ 的式子表示出 $t$ 即可）

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2、小明不小心将作业本上一个正确的演算过程擦掉了一块，且擦掉的部分是多项式，过程如下所示，设擦掉的多项式为 $M$ ．
$2 (x - 5) -$ （） $= x^{2} + 8 x - 7$

(1)、求多项式 $M$ ；

(2)、已知 $N = 2 x^{2} + 3 a x$ ，若 $M + N$ 的结果中不含 $x$ 的一次项，求 $a$ 的值．

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3、 $2025$ 年粤港澳大湾区跨境交通升级，深港两条跨境专线巴士分别从深圳龙岗候机楼和香港尖沙咀同时出发、相向而行，两地相距 $90$ 公里．已知深圳出发的巴士速度比香港出发的巴士快 $10$ 千米 $/$ 时，经过 $1.5$ 小时两车在莲塘口岸相遇．求香港出发的巴士和深圳出发的巴士的速度各是多少？

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4、已知关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x^{|k| - 1} + 2 m - 2 = 0$ 是一元一次方程．

(1)、求 $k$ 的值．

(2)、若关于 $x$ 的方程 $(k - 2) x^{|k| - 1} + 2 m - 2 = 0$ 与方程 $2 x = 6 - x$ 的解相同，求 $m$ 的值．

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5、为了解学生周末两天的读书时间，校团委随机调查了部分学生的读书时间x（单位：min），把统计数据分为四组A（ $30 \leq x < 60$ ），B（ $60 \leq x < 90$ ），C（ $90 \leq x < 120$ ），D（ $120 \leq x < 150$ ）．其中落在B组的数据为：85，60，70，75，65，78，80，62，75，78，85，76，80，70，65，72．根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图：
请根据以上信息，回答下列问题：

(1)、这次抽样调查的样本容量是______；

(2)、补全频数分布直方图；

(3)、扇形统计图中C组所对应的扇形圆心角度数为______度；

(4)、若本校七年级共有400人，请估计阅读时间（ $90 \leq x < 150$ ）的学生共有多少人？

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6、按要求完成作图

(1)、尺规作图：已知 $∠ α, ∠ β$ ，求作 $∠ A B C$ ，使得 $∠ A B C = ∠ α - ∠ β$ ．（不写作法，但要保留作图痕迹）

(2)、如图，延长线段 $A B$ 到点C，使得 $A C = 3 A B$ ．（保留作图痕迹，不写作法）

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7、解方程：

(1)、 $5 x = 3 (x - 4)$ ；

(2)、 $\frac{3 x + 2}{2} - \frac{2 x - 1}{4} = 1$ ．

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8、计算：

(1)、 $(\frac{1}{12} - \frac{1}{6} + \frac{3}{4}) \times 36$

(2)、 ${(- 2)}^{2} - | - 7 | + 3 - 2 \times (- \frac{1}{2})$

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9、如图 $1$ ，在长方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在 $A D$ 上，且 $∠ B E A = 55 °$ ，分别以 $B E$ 、 $C E$ 为折痕进行折叠并压平．如图 $2$ ，若 $∠ A^{'} E D^{'} = 16 °$ ，则 $∠ D E C$ 的度数为．

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10、如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体的每一个面都有一个数，且相对面上的两个数互为倒数，那么代数式 $\frac{a}{c} - b$ 的值等于．

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11、已知从n边形的一个顶点引出的所有对角线，恰好将该多边形分成10个三角形，则这个n边形的边数为．

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12、醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中代表碳原子，代表氧原子，代表氢原子．第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是（）

A、18 B、20 C、22 D、24

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13、某商品进价为1530元，按商品标价的九折出售时，利润率是 $15 %$ ，商品标价是多少元？设商品标价为x元，可列方程为（）

A、 $90 % x - 1530 = 1530 \times 15 %$ B、 $90 % x = 1530 \times (1 - 15 %)$ C、 $1530 \times 90 % = x (1 + 15 %)$ D、 $90 % x = 1530 \div (1 + 15 %)$

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14、如图，点A在点O的正北方向，点B在点O南偏东 $61 ° 5 0^{'}$ 的方向上，则 $∠ A O B$ 的度数为（）

A、 $118 ° 1 0^{'}$ B、 $118 ° 5 0^{'}$ C、 $28 ° 1 0^{'}$ D、 $28 ° 5 0^{'}$

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15、把有理数 $a$ ， $b$ 表示在数轴上，对应点位置如图所示，下列式子中，不正确的是（　　）

A、 $|a| < |b|$ B、 $b - a < 0$ C、 $a + b > 0$ D、 $- a > - b$

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16、若 $a$ ， $b$ 为有理数，且 $|a + 2| + {(b - 2)}^{2} = 0$ ，则 ${(\frac{a}{b})}^{2024}$ 的值为（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- 2024$ D、2024

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17、如图， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A C$ 为 $⊙ O$ 的弦， $A D$ 平分 $∠ B A C$ ，交 $⊙ O$ 于点D， $D E ⊥ A C$ ，交 $A C$ 的延长线于点E．

(1)、求证：直线 $D E$ 是 $⊙ O$ 的切线

(2)、若 $A E = 8$ ， $⊙ O$ 的半径为5，求 $D E$ 的长．

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18、如图，将图1中的大正方形剪成4个相同的小长方形和一个小正方形，并将它们无重叠地放入到图2的大长方形中，若图2中未被覆盖的阴影部分的周长为 $30$ ，则由此可知图1中小长方形较长的边为．

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19、如图1为正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ ，连接 $D G, B E$ ．

(1)、正方形 $A E F G$ 绕点A旋转，如图2，线段 $D G$ 与 $B E$ 之间有怎样的关系？请说明理由；

(2)、如图3，若四边形 $A B C D$ 与四边形 $A E F G$ 都为矩形，且 $A D = 2 A B, A G = 2 A E$ ，猜想 $D G$ 与 $B E$ 的关系，并说明理由；

(3)、在（2）问的情况下，连接 $G E$ （点 $E$ 在 $A B$ 上方），若 $G E ∥ A B$ ，且 $A B = \sqrt{5}$ ， $A E = 1$ ，求 $D G$ 的长．

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20、如图在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2．D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰Rt△DCE，使∠CED＝90°，连接BE，则线段BE的最小值为．

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